Gorenstein内射Phantom态射①

王小妹，王占平

西北师范大学 数学与统计学院，兰州 730070

受以上结论的启发，本文主要研究Gorenstein内射Phantom态射．

1 预备知识

本文中所提到的环均指有单位元的结合环，模均指左R-模．R-Mod(Mod-R)表示左(右)R-模范畴．

定义1用H(R)表示R-Mod的态射范畴，其中：

(a)H(R)中的对象是左R-模同态；

使得图

交换．

由文献[12]可得，态射范畴H(R)是局部有限表示的Grothendieck范畴．

2 Gorenstein内射Phantom态射

文献[13]在一般环上引入了Gorenstein内射模的概念．

Gorenstein内射模的类记为ΓI．

由此我们引入Gorenstein内射Phantom态射的概念．

命题1在H(R)中，ΓI-Phantom态射的类关于直积封闭．

证对任意的内射左R-模E，考虑交换图

(i)φ是ΓI-Phantom态射；

是HomR(E，-)-正合的．

(ii)⟹(i)假设(ii)成立，则对任意的内射左R-模E，考虑交换图

有δExt1(E，φ)=0． 因为δ是单的，所以Ext1(E，φ)=0，即φ是ΓI-Phantom态射．

3 高维Gorenstein内射Phantom态射

下面引入高维Gorenstein内射Phantom态射的概念，即n-Gorenstein内射Phantom态射(n∈N+)．

n-ΓI-Phantom态射的类记为Φn-ΓI．

注1当n=1时，1-ΓI-Phantom态射就叫作Gorenstein内射Phantom态射，即ΓI-Phantom态射．

(i)φ是n-ΓI-Phantom态射；

(ii)⇒(iii)⇒(iv)⇒(v)显然．

(v)⇒ (i)考虑行正合的交换图

因为φn-2是Gorenstein内射态射，所以Gn-2，G′n-2是Gorenstein内射模，即Ext2(E，Gn-2)=0，Ext2(E，G′n-2)=0． 则β是满射，所以Ext2(E，kn-2)β=0． Ext2(E，kn-2)=0． 重复上述过程，有Extn(E，φ)=0． 所以φ是n-ΓI-Phantom态射．