二维空间中一类Boussinesq方程组的结构稳定性

石金诚 肖胜中

摘 要：研究了二维空间中一类Boussinesq方程组的解对Boussinesq系数λ的连续依赖性。首先，通过不式的技巧推导出一些有用的先验估计，特别是利用Sobolev不等式与微分不等式得到速度梯度的范数估计。其次，借助于这些估计，推导出解的差的范数所满足的微分不等式。最后，通过求解该微分不等式，得到了解对Boussinesq系数λ的连续依赖性结果。

关键词：Boussinesq方程组;结构稳定性;连续依赖性;溶解度

中图分类号：O175.29

文献标志码：A

近年来，许多学者开始研究偏微分方程的解对系数的收敛性或连续相依性问题，这类问题称为偏微分方程解的结构稳定性。传统的稳定性主要是研究解对初始数据变化的连续依赖性。然而，越来越多的学者认为连续依赖性的研究不能只局限于初值条件，还应该包含系数、模型本身的边界条件等，这也是我们讨论的结构稳定性。因为我们想知道，方程的一个小改变或者系数的微小变化是否会对方程的解造成巨大影响。在AMES和STRAUGHAN[1]的专著中系统地研究了这种结构稳定性。在实际中，无论是数据测量还是建立模型的过程中都不可避免地存在误差，一个微小的误差是否会导致解的急剧变化，这对后续研究至关重要，所以研究解的结构稳定性是有意义的。

多孔介质中流体方程组的解的性态研究已经成为数学与力学领域的热点问题。现有的研究主要集中在Brinkman、Darcy和Forchheimer方程组的模型上。NIELD和BEJIAN[2]、STRAUGHAN[3]的书中广泛地讨论了多孔介质中的这些模型， 得到多孔介质流体方程组在不同条件下的解的性态。部分学者研究了多孔介质中的Brinkman、Darcy、Forchheimer方程以及其他多孔介质方程的Saint-Venant原则，例如文献[4]得到了多孔介质中的流体方程组的空间衰减估计结果。更多的文献研究了多孔介质中的流体方程组的结构稳定性， 得到了一些连续依赖性与收敛性的结果（见[5-12]）。特别地，文献[13-20]取得了一些新的结果。这些文献集中研究了Brinkman、Forchheimer、Darcy类方程组的结构稳定性，对其他类别的非线性方程组，由于非线性项的处理难度大，使得研究它们的结构稳定性较少，特别是含有Boussinesq非线性项流体方程组。

在文献[16]中， 作者研究了三维空间中的一类双扩散的流体方程组的结构稳定性。该方程组由动量守恒方程、能量守恒方程以及溶解度守恒方程组成。在构建动量守恒方程的过程中采用了Boussinesq逼近。本文继续研究该方程组的结构稳定性，讨论二维空间中的方程组

uit+λujui，j=-p，i+Δui+giT-hiC

uixi=0

Tt+uiT，i=ΔT

Ct+uiC，i=ΔC+Lf（T）-kC （1）

其中：ui表示速度，p表示压强，T表示温度以及C表示溶解度。gi（x）和hi（x）表示引力函数，为了计算方便，假设gi（x）满足g≤1以及hi（x）满足h≤1。f（x）是连续可微的函数，Lf（T）为化学平衡项，Δ为拉普拉斯算子， λ、L和k均是大于零的常数，λ是Boussinesq系数，L为化学平衡系数，k为化学反应率。在文献[2-3，21]中均有该方程组的详细介绍。方程组（1）在Ω×[0，τ]区域内成立，其中Ω是R2中有界单连通的星形区域，τ是给定的常数且0≤τ<∞。

给定的边界条件为

ui（x，t）=0，Tn+k1T=g（x，t），Cn+k2C=h（x，t），（x，t）∈Ω×[0，τ]（2）

其中，k1、k2是大于零的常數。此外，初始条件为

ui（x，0）=ui0（x），T（x，0）=T0（x），

C（x，0）=C0（x），x∈Ω（3）

首先给出一些关于速度、温度以及溶解度的先验估计，借助这些先验估计，得到解对Boussinesq系数λ的连续依赖性结果。文献[16]中得到的是局部的结构稳定性结果（在某个时间内存在）。本文中所考虑的边界条件已改变，在推导速度的梯度估计过程中所用到的微分不等式不一样，最终得到方程组解的结构稳定性结果。与文献[22]相比，本文在考虑对Boussinesq系数λ的连续依赖性的过程中需要用到∫Ωu2dx的界，而在[22]中仅能得到∫t0∫Ωu2dxdη的界。如何得到∫Ωu2dx界是本文研究的最大难点。按照[22]中所提供方法是无法得到的，而本研究较好地克服了这一困难。

文中采取以下符号约定，用逗号表示求偏导，用，i表示对xi求偏导，如： u，i表示为uxi，重复指标表示求和，ui，i=∑2i=1uixi，ui，jui，j=∑2i，j=1uixj2，‖·‖p表示Lp范数。

1 先验估计

在本节中将推导出一些有用的引理。

引理1 对于速度的梯度，有如下估计：

∫Ωui，jui，jdx≤（n1（t））12（∫Ωui，tui，tdx）12+

TMΩ12（n1（t））12+CMΩ12（n1（t））12（4）

其中：TM、CM是大于零的常数，n1（t）是单调递增且大于零的函数， Ω是Ω的体积。

证明 在方程组（1）的第1个方程两边同时乘以ui，并且在Ω上积分，由散度定理和式（2），可得

∫Ωui，tuidx=-∫Ωui，jui，jdx+∫ΩgiuiTdx-∫ΩhiuiCdx（5）

对于式（5），由Schwarz不等式，可得

∫Ωui，jui，jdx≤（∫Ωui，tui，tdx）12（∫Ωuiuidx）12+（∫ΩT2dx）12（∫Ωuiuidx）12+（∫ΩC2dx）12（∫Ωuiuidx）12 （6）

運用[22]中的式（4）、（5）和（18）的结果，可知

sup[0，τ]‖T‖≤TM（7）

sup[0，τ]‖C‖≤CM（8）

∫Ωuiuidx≤n1（t）（9）

其中：TM、CM是大于零的常数，n1（t）是单调递增且大于零的函数。

联合式（6）～（9），可得

∫Ωui，jui，jdx≤（n1（t））12（∫Ωui，tui，tdx）12+TMΩ12（n1（t））12+CMΩ12（n1（t））12

引理2 对于速度ui，有如下估计：

ddt∫Ωui，tui，tdx≤λ2r2（∫Ωui，tui，tdx）32（n1（t））12+n2（t）∫Ωui，tui，tdx+∫ΩT2，tdx+∫ΩC2，tdx（10）

其中：

n2（t）=λ2rTMΩ12（n1（t））12+CMΩ12（n1（t））122+2

证明 由方程组（1）的第1个方程，可得

ddt∫Ωui，tui，tdx=2∫Ωui，tui，ttdx

=2∫Ωui， t（-λujui， j-p， i+ui， jj+giT-hiC）， tdx

=-2∫Ωui，jtui，jtdx-2λ∫Ωui，tuj，tui，jdx+

2∫Ωgiui，tT，tdx-2∫Ωhiui，tC，tdx

≤-2∫Ωui，jtui，jtdx+

2λ（∫Ω（ui，tui，t）2dx）12（∫Ωui，jui，jdx）12+

2∫Ωui，tui，tdx+∫ΩT2，tdx+∫ΩC2，tdx（11）

由文献[22]中的式（20），有如下的二维Sobolev不等式成立：

∫ΩH4dx≤r∫ΩH2dx·∫ΩH2dx（12）

其中，r为大于零的常数。式（12）中取H=ui，t，有

∫Ω（ui，tui，t）2dx≤r∫Ωui，tui，tdx·∫Ωui，jtui，jtdx（13）

联合式（11）和（13），可得

ddt∫Ωui，tui，tdx≤λ2r2∫Ωui，tui，tdx·∫Ωui，jui，jdx+

2∫Ωui，tui，tdx+∫ΩT2，tdx+∫ΩC2，tdx （14）

联合式（4）和（14），可得

ddt∫Ωui，tui，tdx≤λ2r2（∫Ωui，tui，tdx）32（n1（t））12+

n2（t）∫Ωui，tui，tdx+∫ΩT2，tdx+∫ΩC2，tdx

引理3 对于温度和溶解度，有如下估计：

ddt∫ΩC2，tdx≤12k2∫Ωh2，tds+C2M2∫Ωui，tui，tdx+

Ld2∫ΩT2，tdx+Ld2∫ΩC2，tdx （15）

ddt∫ΩT2，tdx≤12k1∫Ωg2，tds+T2M2∫Ωui，tui，tdx（16）

证明 由散度定理和方程组（1）的第4个方程，可得

ddt∫ΩC2，tdx=2∫ΩC，tC，ttdx

=2∫ΩC，t（-uiC，i+c，ii+Lf（T）-kC），tdx

=2∫ΩC，tΔC，tdx-2∫ΩC，tui，tC，idx-

2∫ΩC，tuiC，itdx+2L∫ΩC，t[f（T）]，tdx-2k∫ΩC，tC，tdx

=-2∫ΩC，jtC，jtdx+2∫ΩC，tC，tnds+2∫ΩC，itui，tCdx+2L∫ΩC，t[f（T）]，tdx-2k∫ΩC，tC，tdx（17）

由于T有界，且f∈C1，则

f′（T）≤d2（18）

其中，d2是大于零的常数。对于式（17），由Hlder不等式、式（2）和（18），可得

ddt∫ΩC2，tdx≤-2∫ΩC，jtC，jtdx+2∫ΩC，t（-k2C，t+h，t）ds+

2∫ΩC，itui，tCdx+Ld2∫ΩC2，tdx+Ld2∫ΩT2，tdx

≤-2∫ΩC，jtC，jtdx+12k2∫Ωh2，tds+C2M2∫Ωui，tui，tdx+

2∫ΩC，jtC，jtdx+Ld2∫ΩT2，tdx+Ld2∫ΩC2，tdx

=12k2∫Ωh2，tds+C2M2∫Ωui，tui，tdx+

Ld2∫ΩT2，tdx+Ld2∫ΩC2，tdx （19）

同理，可得

ddt∫ΩT2，tdx≤12k1∫Ωg2，tds+T2M2∫Ωui，tui，tdx （20）

引理4 对于能量函数，有如下估计：

∫Ωui，tui，tdx+∫ΩT2，tdx+∫ΩC2，tdx≤n3（t）（21）

其中

n3（t）=k4F（0）+γk3F（0）+γ（e-12k4t-1）k4e-12k4t2-γ

证明 定义能量函数F（t）如下：

F（t）=∫Ωui，tui，tdx+∫ΩT2，tdx+∫ΩC2，tdx

联合式（10）、（15）和（16），可得

ddtF（t）≤k3F32（t）+k4F（t）+k5（22）

其中

k3=λ2r2n1（τ）

k4=maxC2M+T2M2+n3（τ），1+Ld2

k5=sup[0，τ]12k2∫Ωh2，tds+12k1∫Ωg2，tds

式（22）可写为

ddt（F+γ）≤k3（F+γ）32+k4（F+γ） （23）

其中，γ=k5k4。不妨，令F+γ=G，则有

ddtG≤k3G32+k4G （24）

求解式（24），可得

G≤k4G（0）k3G（0）（e-12k4t-1）+k4e-12k4t2（25）

则有

F（t）≤n3（t）

将式（21）代入式（4），可得到如下结果：

引理5 对于速度的梯度，有如下估计：

∫Ωui，jui，jdx≤n4（t）（26）

其中，n4（t）=（n1（t）n3（t））12+TMΩ12（n1（t））12+CMΩ12（n1（t））12。

2 解对Boussinesq系数的连续依赖性

设（ui，p，T，C）为λ=λ1时式（1）～（3）的解， （ui，p，T，C）为λ=λ2时式（1）～（3）的解。假设ωi=ui-ui，π=p-p，θ=T-T，S=C-C，λ=λ1-λ2，则（ωi，π，θ，S）满足下列方程组

ωit+λujui，j+λ2ujωi，j+λ2ui，jωj=-π，i+Δωi+giθ-hiS

ωixi=0

θt+ωiT，i+uiθ，i=Δθ

St+ωiC，i+uiS，i=ΔS+L（f（T）-f（T））-kS  （27）

边界条件为

ωi=0，θn+k1θ=0，Sn+k2S=0，（x，t）∈Ω×[0，τ]（28）

此外，初始条件为

ωi（x，0）=0，θ（x，0）=0，S（x，0）=0，x∈Ω（29）

将得到以下主要结果：

定理 设（ui，p，T，C）为λ=λ1时初边值问题式（1）～（3）的经典解，（ui，p，T，C）为λ=λ2时初边值问题式（1）～（3）的经典解，（ωi，π，θ，S）是这两个解的差。当λ趋于0时，解（ui，p，T，C）收敛于解（ui，p，T，C）。解的差（ωi，π，θ，S）满足

∫Ωωiωidx+∫Ωθ2dx+∫ΩS2dx≤λ2r8∫t0n5（η）e∫tηn6（ξ）dξdη（30）

其中：n5（t）=[n1（t）+n4（t）]2，n6（t）=λ22r2n4（t）+C2M+T2M2+L2d222k+4。

证明 在方程组（27）第1个方程的两边同时乘以ωi，并在Ω上积分，由式（12）和Hlder不等式，可得

12ddt∫Ωωiωidx=-λ∫Ωujui，jωidx-λ2∫Ωujωi，jωidx-λ2∫Ωωjui，jωidx-‖ω‖2+

∫Ωgiθωidx-∫ΩhiSωidx

=λ∫Ωujuiωi，jdx-λ2∫Ωωjui，jωidx-

‖ω‖2+∫Ωgiθωidx-∫ΩhiSωidx

≤λ‖u‖24·‖ω‖+λ2‖ω‖24·‖u‖-‖ω‖2+‖θ‖·‖ω‖+‖S‖·‖ω‖

≤λ2ε1r16（‖u‖2+‖u‖2）2+1ε1‖ω‖2+λ22ε2r4（‖u‖2·

‖ω‖2）+1ε2‖ω‖2-‖ω‖2+

‖θ‖·‖ω‖+‖S‖·‖ω‖（31）

其中，ε1、ε2是大于零的任意常数。

式（31）取ε1=2，ε2=2，由Hlder不等式、式（9）和（26），可得

ddt∫Ωωiωidx≤λ2r8[n1（t）+n4（t）]2+λ22r2n4（t）‖ω‖2+‖θ‖2+‖S‖2+2‖ω‖2（32）

在方程组（27）第3个方程的两边同时乘以2θ，并在Ω上积分，由散度定理和式（28），可得

ddt∫Ωθ2dx=2∫ΩθΔθdx-2∫ΩθωiT，idx-2∫Ωθuiθ，idx

≤-2∫Ωθ，iθ，idx+2∫Ωθ，iωiTdx

≤T2M2∫Ωωiωidx （33）

由Lagrange 中值定理，可得

f（T）-f（T）=θf′（ξ），ξ∈（T，T） （34）

同理，在方程组（27）第4个方程的两边同时乘以2S，并在Ω上积分，由散度定理、式（18）、（28）和（34），可得

ddt∫ΩS2dx≤-2∫ΩS，iS，idx+2∫ΩS，iωiCdx+L2d222k∫Ωθ2dx

≤C2M2∫Ωωiωidx+L2d222k∫Ωθ2dx（35）

联合式（32）、（33）和（35），可得

ddt（∫Ωωiωidx+∫Ωθ2dx+∫ΩS2dx）≤λ2r8n5（t）+n6（t）（∫Ωωiωidx+∫Ωθ2dx+∫ΩS2dx）（36）

求解式（36），可得

∫Ωωiωidx+∫Ωθ2dx+∫ΩS2dx≤λ2r8∫t0n5（η）e∫tηn6（ξ）dξdη（37）

式（37）表明，当Boussinesq系数λ趋于0时，解（ui，p，T，C）收敛于解（ui，p，T，C）。

3 结论

利用微分不等式的技巧推导出∫Ωu2dx的界，进而得到解对Boussinesq系数λ的连续依赖性结果。采用类似的方法，也可以得到解对化学平衡系数L，化学反应率k的连续依赖性。本文的方法同样能够推广到Brinkman、Forchheimer以及Darcy类方程组上去。但对于边界系数的结构稳定性研究，由于边界的复杂性，文中所提供的方法将不再适用。如何处理边界项的变化将是研究的难点。此外，本研究考虑的是单一流体方程组，现实生活中可能存在多种混合流体，如何处理多种混合流体方程組的结构稳定性将是后续研究的重点。

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（责任编辑：曾 晶）

Structural Stability for a Class of Boussinesq Equations in R2

SHI Jincheng1， XIAO Shengzhong*2

（1.School of Data Science， Guangzhou Huashang College， Guangzhou 511300， China;

2.Scientific Research Office， Guangdong AIB Polytechnic College， Guangzhou 510507， China）

Abstract：

The continuous dependence of solutions on Boussinesq coefficient λ for a class of Boussinesq Equations is studied in two-dimensional space. Firstly， some useful priory estimates are derived by the technique of inequality. Especially， the bound for the norm of the velocity gradient is obtained by using Sobolev inequality and differential inequality. Then， by using these estimates， a differential inequality satisfied by the norm of the differences of the solutions is derived. Finally， by solving the differential inequality， the continuous dependence of Boussinesq coefficient λ is obtained.

Key words：

Boussines equations; structural stability; continuous dependence; solubility