无限滞后测度泛函微分方程的Φ有界变差解的唯一性

丁利波

(西北师范大学 数学与统计学院，甘肃 兰州 730070)

0 引言

1959年，MUSIELAKJ等[1-2]提出了Φ有界变差函数理论，这种理论是一般意义下的有界变差函数理论的发展与推广，而且许多学者对Φ有界变差函数理论进行了深入的研究.文献[3-4]首次将Φ有界变差函数理论与Kurzweil方程理论结合起来，建立了Kurzweil方程的Φ有界变差解的唯一性定理和一类固定时刻脉冲微分系统Φ有界变差解的唯一性.卢金芳等[5]研究了滞后型泛函微分方程的Φ有界变差解的唯一性.Slavik在文献[6]中介绍了一类无限滞后测度泛函微分方程：

(1)

无限滞后测度泛函微分方程已经被许多学者所研究[7-11].

本文考虑无限滞后测度泛函微分方程初值问题

(2)

Φ有界变差解的唯一性，其中x是取值在Rn上的函数，xs(τ)=x(s+τ),τ∈(-∞,0]表示滞后的长度.

1 预备知识

定义1[12]函数U:[a,b]×[a,b]→Rn称为在[a,b]上是Kurzweil可积的，如果存在I∈Rn，使得对任意ε>0，存在正值函数δ:[a,b]→R+，使得对[a,b]上的任何δ-精细分划D={(τi,[αi-1,αi]),i=1,2,…,k},其中τi∈[αi-1,αi]⊂(τi-δ(τi),τi+δ(τi))， 有

设G是Rn+1中的开集，F:G→Rn是对(x,t)∈G,x∈Rn,t∈R定义的Rn值函数.

定义2[12]函数x:[α,β]→Rn称为广义常微分方程

在区间[α,β]⊂R上的解是指对所有的t∈[α,β]，(x(t),t)∈G，且对每个s1,s2∈[α,β]，有

成立.

设Φ(u)是对u≥0定义的连续不减函数，且满足Φ(0)=0.对u>0，Φ(u)>0，本文假定Φ(u)满足下列条件:

(c1)存在u0>0及L>0，使得对0

(c2)Φ(u)是凸函数，即

定义3[1]设[a,b]⊂R,-∞

并称VΦ(x;[a,b])为函数x(t)在[a,b]上的Φ-变差.

定义4设t∈[t0,+∞)，称x(t,t0,φ)是无限滞后测度泛函微分方程初值问题(2)的Φ有界变差解是指

2)xt0=φ；

3)x在[t0,+∞)的任何紧子区间上是Φ有界变差函数；

4)当t∈[t0,+∞)时，(xt,t)∈Ω.

定义5设Ω=O×[t0,+∞)，函数f:Ω→X属于函数族VΦ(Ω,h,ω)，如果f满足以下条件.

H1) 存在一个正值函数δ(τ):[t0,+∞)→R，使得对每个区间[u,v]满足τ∈[u,v]⊂(τ-δ(τ),τ+δ(τ))⊂[t0,+∞)及x∈O，有

‖f(xτ,τ)(g(v)-g(u))‖≤Φ(|h(v)-h(u)|).

(3)

H2) 对每个区间[u,v]，满足τ∈[u,v]⊂(τ-δ(τ),τ+δ(τ))⊂[t0,+∞)及x,y∈O，有

‖f(xτ,τ)-f(yτ,τ)‖(g(v)-g(u))≤ω(‖xτ-yτ‖)Φ(|h(v)-h(u)|).

(4)

其中h:[t0,+∞)→R是不减的左连续函数，ω:[0,+∞)→R是单调递增的连续函数且ω(r)>0,r>0,ω(0)=0.

2 无限滞后测度泛函微分方程Φ有 界变差解的唯一性

下面主要介绍无限滞后测度泛函微分方程的Φ有界变差解及其唯一性定理的相关结果：

定义6无限滞后测度泛函微分方程(2)的Φ有界变差解x:(-∞,t0+η]→Rn称为右行局部唯一解，如果对无限滞后测度泛函微分方程(2)的任何满足xt0=yt0=φ的Φ有界变差解y:(-∞,t0+α]→Rn，存在η1>0,使得对t∈(-∞,t0+η]∩(-∞,t0+α]∩(-∞,t0+η1]，有x(t)=y(t).

如果无限滞后测度泛函微分方程(2)的每个解x满足xt0=φ是右行局部唯一的，则点(t0,φ)∈Ω称为方程(2)的右行局部唯一点.进一步讲，如果每个(t0,φ)∈Ω是无限滞后测度泛函微分方程(2)的唯一点，则无限滞后测度泛函微分方程(2)具有右行局部唯一性质.

引理1[12]设ψ:[a,b]→[0,+∞)是区间[a,b]上的有界变差函数，h:[t0,+∞)→R是不减的左连续函数，ω:[0,+∞)→R是单调递增的连续函数且ω(r)>0,r>0,ω(0)=0.

如果F(k)+h(b)-h(a)<β，则对任意的ξ∈[a,b]，有ψ(ξ)≤F-(F(k)+h(ξ)-h(a))成立，其中F-:(α,β)→R是函数F的反函数.

定理 1设f∈VΦ(Ω,h,ω)，其中h是不减的左连续函数，ω:[0,+∞)→R是单调递增的连续函数且ω(r)>0,r>0,ω(0)=0.对每一个u>0，有

(5)

则无限滞后测度泛函微分方程(2)的每个满足xt0=φ,(t0,φ)∈Ω的Φ有界变差解x是右行局部唯一的.

证明设x,y:(-∞,t0+η]→Rn无限滞后测度泛函微分方程(2)的满足初始xt0=yt0=φ的两个Φ有界变差解，其中η>0，则

对任意的ε>0，存在正值函数δ(τ):[t0,t]→[0,+∞)，使得对[t0,t]的任何δ-精细分化

D={τi,[αi-1,αi],i=1,2,…,k},

由定义1及定义5的条件H2，有

由文献[1]，有

(6)

令v(t)=VΦ(h,[t0,s]),t0

由ε>0的任意性，有

(7)

其中0<δ

(8)

‖x(t)-y(t)‖≤F-(F(A(δ))+v(t)-v(t0+δ))，

(9)

显然有

F(A(δ))+v(t0+η)-v(t0+δ)≤F(A(δ))+v(t0+η)-v(t0+).

因此，存在δ0>0，使得对δ∈(0,δ0)，不等式F(A(δ))+v(t0+η)-v(t0+)<β成立，由式(9)有

F(‖x(s)-y(s)‖)≤F(A(δ))+v(s)-v(t0+δ).

进一步，有

F(‖x(t)-y(t)‖)-F(A(δ))≤v(t)-v(t0+δ)≤v(t)-v(t0+).

由函数F的定义，对t∈[t0+δ,t0+η]，δ∈(0,δ0)，有

如果对某个t*∈(t0,t0+η]，有‖x(t)-y(t)‖=k>0，对δ∈(0,δ0)，使得δ

这与定理中有关函数ω的条件相矛盾，故对任意的t∈(-∞,t0+η)，有‖x(t)-y(t)‖=0，因此定理结论成立.

定理 2设f∈VΦ(Ω,h,ω)，x:[α1,β1]→Rn,y:[α2,β2]→Rn是无限滞后测度泛函微分方程(2)的两个Φ有界变差解，如果条件(5)成立，且对s∈[α1,β1]∩[α2,β2]，有x(s)=y(s)，则对所有的t∈[α1,β1]∩[α2,β2]∩[s,b]，有x(t)=y(t).

证明因为相交部分[α1,β1]∩[α2,β2]∩[s,b]是形如[s,c],c0，对所有的σ∈[β,β+η]有x(σ)=y(σ).这与β的定义互相矛盾，故M=[s,c].

3 结语

本文在之前学者工作的基础上，借助Φ有界变差函数理论和Henstock-Kurzweil 积分的有关结果，讨论了无限滞后测度泛函微分方程的Φ有界变差解的唯一性定理，并对其进行了证明，将有界变差解的相关结论推广到Φ有界变差解.因此，接下来的工作可以继续讨论无限滞后测度泛函微分方程的Φ有界变差解的Lipschitz稳定性和周期性.