两轮自平衡可移动机器人能耗最优运动轨迹规划方法

杨怡婷

(天津滨海职业学院 机电工程系,天津 300451)

通过两轮自平衡可移动机器人电能转换效率的提高，可保证机器人能够在一定的电能供给条件下移动更长的距离并完成更多的动作[1-4].为此提出了一种能耗最优运动轨迹规划方法，考虑了电机的运动特性和轨迹跟踪器的指令响应过程，并分别建立了对应的模型，与轨迹规划相结合利用频域分析创建了线性能耗模型，同时基于局部目标点间的最小能耗运动轨迹算法进行了整体最优轨迹的规划.对提出的方法进行了仿真实验，验证了所创建模型的正确性和方法的有效性.

1 能耗模型

为了能够微观地分析机器人行动过程中的能耗和运动轨迹，将机器人的运动轨迹划分为由多个行动局部目标点连接而成的曲线段[5-6].机器人从当前轨迹运动到预定轨迹的能量消耗分为两部分，即运动能耗和非运动能耗.由于轨迹控制器的动态响应会引起机器人动作的超调或滞后，在轨迹变换过程中机器人的运动能耗不仅要用于驱动机器人运动克服地面摩擦力，还要用于机器人运动状态的改变，所以运动能耗包含变状态能耗Estate和稳定状态能耗Efri两个部分.

1.1 变状态能耗

机器人在运动过程中驱动电机的输入电压变化情况如图1所示.机器人由当前轨迹运动到预定轨迹的前Ts秒时间为机器人行动的过渡阶段，在这个时间段内机器人进行运动状态调整，电能消耗除了克服地面摩擦驱动机器人运动之外，还需实现机器人的速度加减，这两部分的总体能耗为Estate.

图1 机器人运动过程中电机电压变化

(a)侧视图

(b)俯视图

(1)

式中，A为机器人状态参数所组成的矩阵，B为机器人控制器参数矩阵，u为左右两侧滚轮驱动电机的输入电压，C为6×6的单位矩阵.结合以上各运动角速度的计算方法和机器人PID控制器的控制增益可分别得到轨迹参数转换模块的传递函数矩阵T(s)和轨迹跟踪器的传递函数矩阵G(s)，通过拉普拉斯变换将式(1)转换为机器人的传递函数矩阵H(s)，则机器人的运动状态变化量Δr与电机输入电压Δu的传递函数表达式为：

(2)

考虑电机的实际电能消耗和移动时左右两侧滚轮的输出电压ul和ur，机器人在当前轨迹移动过程中的变状态能耗在时域中的表达式为：

(3)

式中，Rm为驱动电机电阻值，Ts为变状态持续时间，ul-和ur-分别为上一次运动过程中的输出电压.利用傅里叶变换将式(3)的时域表达式转换为相同能量输出的频域表达式：

(4)

将式(4)展开，引入C=ul-×Δr、D=ur-×Δr替代多项式中的常数项.由于机器人移动速度变化量Δv、角速度变化量Δw以及运动方向的变化量σ均为固定值，所以机器人系统在频域上的变状态能耗总量表达式可转化为：

(5)

由式(5)可见，机器人在变状态阶段的能耗取决于上一段运动轨迹的输出功率P_和当前轨迹的运动状态变化量Δr.

1.2 稳定状态能耗

Efri=[b1(υ-+Δυ)2+b2(w-+Δw)2](T-Ts),

(6)

式中，v_和w_分别为在前一段运动轨迹中机器人的位移速度和滚轮旋转角速度，b1和b2均为常数.

2 最优运动轨迹规划方法

一定数量的局部目标点划分为多个曲线段的机器人运动轨迹中，每一条曲线段都呈圆弧形，设圆弧形轨迹的圆心角为γ，则机器人在该段轨迹运动的总能耗可通过机器人运动状态的转换变量γ与运动时间T来表示，因此，调整预定轨迹的变化量Δr和运动时间T即能获得机器人的最优运动轨迹.机器人在相邻两个局部目标点之间的运动轨迹如图3所示.

图3 相邻局部目标点之间的运动轨迹

预定轨迹的起点即当前位置的坐标为(xi-1，yi-1)，运动目标位置的坐标为(xi，yi)，当前运动状态向量为(vi-1，wi-1，φi-1).图3中的粗实线曲线段为最优预定轨迹，其右侧细实线为机器人运动方向不变情况下的光滑轨迹，那么相对于前一段运动轨迹，当前预定轨迹的变化量应为(Δvi，Δwi，σi)，运行时间为Ti，由此可通过相邻两个局部目标点之间的直线距离di和预定轨迹的圆心角ϒi分别推导出Δri中的Δvi、Δwi和σi，引入参数变量θ1、θ2，即可得到由变量γi和Ti所组成的预计轨迹总能耗表达式为：

(7)

为了获得式(7)的最小值，求解以下偏导方程：

(8)

将结果代入Δvi、Δwi和σi的计算式，即可得到预定轨迹相对于前一段运动轨迹的最优变化量.

3 仿真测试

3.1 能耗模型参数与最优运动轨迹

以两轮自平衡可移动机器人为测试对象，采用LQR-PID轨迹跟踪控制器控制机器人的运动，为了保证控制精度，设定机器人的移动速度不大于1 m/s，为了避免滚轮空转，设定旋转角速度不大于0.35 rad/s，运动角度变化量不大于80°.

在各种设定值的范围内随机选取1 000组机器人运动轨迹，其中700组用于训练能耗模型，剩余300组用于仿真结果测试.运动轨迹的状态量分别为r1=(v1，w1，φ0+σ1)T，…，ri=(vi，wi，φi-1+σi)T，在运动轨迹的起点位置将机器人的运动参数v1、w1和σ1输入控制器，启动机器人并运行10秒，记录第10秒时的左右两侧滚轮驱动电机输入电压ul-和ur-，接下来将v2、w2和σ2输入控制器再驱动机器人运行10秒，此时变状态能耗Estate的对应时间为第10-(10+Ts)秒，稳定状态能耗Efrie的对应时间为第(10+Ts)-20秒，通过实验可得Ts为5.82秒.利用最小二乘法计算能耗模型的参数，可分别获得能耗模型的参数向量θ1(a1，…，a13)和θ2(b1，b2)，具体结果如表1所列.

表1 能耗模型参数

最后通过300组测试数据对表1中的模型参数进行验证，通过这些参数所计算的运动能耗与实际能耗的误差如图4所示.通过测试集验证，运动能耗的绝对误差均不大于1 J，平均相对误差为0.63%，可见通过本文方法创建的能耗模型是贴近实际的.

(a)测试集能耗对比绝对误差

(b)测试集能耗对比相对误差

机器人的预定运动轨迹如图5虚线部分路径，路径上的各个拐点作为运动轨迹的局部目标点，并按照拐点将路径划分为4条局部预定轨迹，通过本文方法分别计算机器人通过各局部目标点时下一段预定轨迹和运行时间，在各段最优轨迹中运行时机器人的状态参数Etotal、T、v2、w2和σ2变化情况如表2所列.

由表2中的数据可见，机器人在第1段运动轨迹的能耗最大，而第2、3、4段轨迹的对应能耗较为接近，与实际情况相符，由此可认为通过该能耗模型所获得的预定最优轨迹与实际最优轨迹应较为接近，为了验证这一结论，将预定轨迹与实际轨迹进行了对比，结果如图6所示.通过第4段曲线起点位置的预定轨迹与实际运动轨迹的对比可见，两条曲线几乎重合，本文方法对最优轨迹的规划有效.

图5 机器人仿真运动轨迹

3.2 同类方法对比

为了进一步验证本文所提最优轨迹规划方法的优越性，将该方法分别与运动距离最短轨迹规划法和能量消耗最低的3次贝塞尔曲线规划法进行综合对比.3种规划方法所对应的机器人预定运行轨迹如图7所示，各方法的最终运行数据如表3所列.

表2 最优运动轨迹对应的机器人状态参数

图6 能耗模型最优轨迹验证

图7 不同规划方法的预定运行轨迹

表3 不同规划方法的最终运行数据

由表3中的数据可见，最短距离规划法和最小能量规划法的能耗比本文所提规划方法的能耗分别高出1.51%和9.26%，且由于所提方法考虑了轨迹控制器的响应过程，更贴近机器人的实际运行状态，因此相较于其它两种方法更为有效和实用.

4 结论

为了降低两轮自平衡可移动机器人在运动过程中的电能消耗，以延长其运行时间和移动距离，提出了一种能耗最优运动轨迹规划方法.通过机器人运动时的变状态能耗和稳定状态能耗分析创建了总能耗模型，利用最小二乘法确定了模型的状态参数，基于圆弧预定轨迹的综合变量选取了最优运动轨迹.仿真实验结果表明，本文所提出的最优运动轨迹规划方法切实有效，相较于其它同类方法具有明显的低能耗优势，可在多个领域中推广应用.