标准I、II型马蹄形断面临界水深直接计算式

刘西乐，赵名彦*，李如意，刘子辉，赵亚锋，孙杰

▪灌溉水源与输配水系统▪

标准I、II型马蹄形断面临界水深直接计算式

刘西乐1，赵名彦1*，李如意1，刘子辉1，赵亚锋1，孙杰2

（1.河北省水利科学研究院，石家庄 050051；2.河套学院，内蒙古 巴彦淖尔 015000）

【】针对马蹄形断面几何形式复杂，其临界水深为高次超越方程，难以直接求解，现有公式多为分段函数且存在误差大、适用范围小等问题，提出一种方便实用且具有较高精度的临界水深直接算法。通过对明渠临界流方程进行恒等变换，统一标准I、II型马蹄形断面临界水深计算方程，基于数学理论构造替代函数模型，并通过带粒子释放的优化PSO算法对研究范围内的真值按照预设函数模型进行逼近。建立了标准I、II型马蹄形断面临界水深直接计算式。通过对现有公式的归纳比选、误差分析及实例计算表明，该式形式简单不分段、计算方便快捷且物理概念明确，在工程实用范围内计算相对误差绝对值最大分别为0.37%和0.40%，具有较高的计算精度。建立的马蹄形断面临界水深直接计算式在简捷性、适用范围、精度等方面综合评价较好，实用推广性强。

水力学；临界水深；马蹄形断面；PSO算法

0 引 言

【研究意义】临界水深是明渠流态判别的重要参数[1]，是明渠水工断面设计和水力计算不可避免的要素，具有广泛的应用和较高的精度要求[2]。【研究进展】由于临界水深的求解无直接解析式，因此众多学者进行了大量的研究，目前对于断面形式较为简单的渠道，如梯形[3-5]、圆形[6-7]、城门洞[8-10]及悬链线形[10-11]等，其临界水深计算研究已取得了不少成果，为实际工程问题的解决提供了很大便利。马蹄形断面适用于地质条件差或洞轴线与岩层夹角较小的情况[12]，优越的受力及过流条件使其在无压输水隧洞中的应用越来越广泛。马蹄形断面临界水深常用求解方法有图表法[13]、迭代法[14]、函数替代法[15-20]等。文献[15-18]给出了马蹄形断面临界水深的函数替代式，三者形式较为简单，但为分段函数，使用不便；文献[19]引入特征参数，给出了马蹄形断面临界水深计算通用式，公式同样为分段函数；文献[20]依据优化拟合原理，以标准剩余差最小为目标函数，提出一种无须分段的简化计算方法，该式只适用于侧拱段和部分顶拱段。【切入点】图表法和迭代法存在计算精度低、计算烦琐、收敛速度慢、使用不便等缺点，难以满足工程实用要求。函数替代法使用方便应用性强，但现有函数式多为分段函数，适用范围小，且精度均在0.5%以上。【拟解决的关键问题】为此，本文对马蹄形断面临界流水深计算方程组进行恒等变换，将临界水深求解问题转化为求解非线性约束优化问题，并构造反函数模型。采用MATLAB软件编程实现带粒子释放的优化PSO算法，对预设模型进行逼近拟合，以期提出一套形式简捷、物理概念明确、适用范围较广、精度较高的标准马蹄形断面临界水深直接计算式。

1 临界水深的基本计算方程

临界水深是断面单位能量最小的水深，可用于判别明渠水流流态[14]，其基本计算方程为：

式中：为流量（m3/s）；g为重力加速度（m/s2）；为流速分布不均匀系数，通常取1.0；为过水断面面积（m2）；为水面宽度（m）。

1.1 标准马蹄形隧洞断面构成

标准马蹄形断面是由2个不同半径的4段圆拱组成，分别为1个半径为的底拱、2个半径为的侧拱以及1个半径为的顶拱，并根据的不同，又分为标准I型（=3）和标准II型（=2）。如图1、图2所示。

由图1、图2可知，标准I、II型马蹄形过水断面有3种工况，即水面位于底拱段（0≤≤）、水面位于侧拱段（＜≤）和水面位于顶拱段（＜≤）。不同工况下过水断面对应的水深（m）；为底拱对应的圆心半角或两侧拱对应的圆心角（rad）；为水深处于底拱段时过水断面宽对应的圆心半角（rad）；为侧拱未临水段对应的圆心角（rad）；为水深处于顶拱段时过水断面宽对应的圆心角（rad）；为底拱高（m）。

1.2 标准马蹄形隧洞断面水力要素

为统一标准马蹄形过水断面水力要素，引入类型参数=/[19]，=3时为标准I型马蹄形断面，=2时为标准II型马蹄形断面（表1、表2）。

图1标准I型马蹄形过水断面

图2 标准II型马蹄形过水断面

表1 断面相关参数

其水力要素如表2所示。

表2 标准马蹄形断面水力要素

1.3 标准I、II型马蹄形断面临界流方程

由临界水深基本计算方程和水力要素方程可知，标准I、II型马蹄形断面临界流方程为高次隐函数，为简化计算过程，引入过水断面无量纲参数=(Α2/g5)1/3以及无量纲临界水深=/。则3种工况下的未知圆心角可用无量纲临界水深表示：

无量纲水深界限参数取决于，由表1可知，=3时为标准I型马蹄形断面，x取值约为0.129 173。=2时为标准II型马蹄形断面，x取值约为0.177 124。将水力要素、过水断面特征参数以及3种工况下的未知圆心角（、和）代入式（1）中，可得标准马蹄形过水断面临界水深隐函数表达式：

2 临界水深的直接计算式

由式（3）可以看出，无量纲参数与无量纲临界水深关系在数学角度上可理解为求解一个非线性高次连续分段方程的根，马蹄形断面临界水深的计算实质为求解函数=()（∈[0,2]）的反函数，即值域为[0，2]的函数=-1()。由图3可知，标准I、II型马蹄形断面定义域分别为[0，11.122]和[0，10.888]，当其他物理量已知时，临界水深的计算也就转化为求解定义域内的唯一正实根。由=0.001开始，以0.005步长代入式（3），求得共806组精确数值，绘制成图3。

图3 无量纲临界水深x与无量纲参数k函数关系

观察图3并分析无量纲临界水深与无量纲参数之间的数学关系，构造反函数模型：

由图3可以看出，无量纲临界水深的取值范围理论上为[0，2]。在实际工程中，临界水深很小的工况极为少见，临界水深很小时计算实际意义不大，因此标准I、II型断面模型拟合范围下限分别定为0.120和0.165，水深范围包含了部分底拱段。为避免隧洞输水过程中产生明满流交替的水流现象，无压隧洞水面以上的空间一般不小于隧洞断面的15%，顶部净空高度不小于40cm[12]，不同于正常水深，临界流是一种对应明渠水流断面比能最小的水流现象，既可以产生于某一渠段内，也可产生在某一过水断面上，因此考虑到实际可能存在的情况，文中I、II型断面无量纲临界水深上限均取为2，远满足工程要求。因此无量纲临界水深的取值范围分别为[0.120，2]和[0.165，2]，相应的无量纲参数为[0.114，11.122]和[0.151，10.888]。通过MATLAB编程实现带粒子释放的优化PSO算法对研究范围内的数据按照预设函数模型进行逼近，经对公式简化后得出以下标准马蹄形断面临界水深直接计算式：

标准I型（=3）：

标准II型（=2）：

3 精度分析

为验证式（5）和式（6）的准确性，在给定的研究范围内选取一系列的值，代入标准I、II型马蹄形断面临界流方程组求得相对应的无量纲参数值，再将值代入式（5）和式（6）求得无量纲临界水深的近似值*，并由式（7）求解相对误差：

式中：x为无量纲临界水深初拟值；为无量纲参数；为无量纲临界水深近似计算值；Δ为相对误差。计算结果数据如表3和表4所示。

由表3和表4拟合精度比较可知，本文直接计算式精度较高，其中标准I、II型马蹄形断面在分析范围内最大误差绝对值分别为0.37%和0.40%，误差绝对值平均分别为0.218%和0.219%，本文提出的函数模型形式经逼近后所得式（5）和式（6）具有较高的替代性，公式精度完全满足工程实践的需求。

4 分析与评价

马蹄形断面由于受力特性和水力条件好而被广泛应用于各种输水工程中，在无压输水隧洞中较为常见。因此众学者在探寻标准马蹄形断面临界水深的简便计算方法方面进行了较多研究。传统的图表法存在人为误差较大、迭代法存在计算繁琐且收敛速度慢等问题[16]，因此函数替代法逐渐被有关学者所采用，以王正中[15]、LIU Jiliang[9]、张宽地[16]、赵延风[19]以及吴国庆[17]等为典型代表。但这些方程组为分段函数，使用前需进行临界流量的判别，且计算误差较大。郑博[20]提出了一种幂指函数形式计算公式，无须分段直接计算。但该公式计算精度偏低、适用范围较小、函数关系复杂，不便于工程界推广。表5归纳了现有计算标准马蹄形断面临界水深精度在1%及以下的计算公式和笔者提出的公式，并绘制出了文献[20]公式和下文公式的误差分布图（见图4和图5）。

表3 式（5）误差分析

表4 式（6）误差分析

图4 标准I型相对误差分布图

图5 标准II型相对误差分布图

表5列出了函数替代法较为典型的11套公式，对这些公式从简捷性、适用范围、精度方面进行综合评价。从公式简捷性来看，LIU Jiliang公式、赵延风公式、张宽地公式以及吴国庆公式均为分段函数，使用时需进行适用条件判断，较为不便。郑博公式和作者公式不分段，实际工作中仅需借助具有计算器功能的工具即可快速求解，方便广大基层工程技术人员应用；从公式适用范围来看，各公式均涵盖了工程常用范围，LIU Jiliang公式、赵延风公式、张宽地公式以及吴国庆公式包含了小流量工况，适用性更强，本文公式次之，范围涉及部分底拱段、侧拱段和顶拱段。郑博公式范围最小，为侧拱段和部分顶拱段。就公式精度而言，LIU Jiliang公式和吴国庆公式误差最大，最大误差在1%及以上。赵延风公式、张宽地公式和郑博公式最大误差在0.5%～1%之间，本文公式最大误差为0.40%，是目前精度最高的计算公式。

为验证无须分段的直接计算式的有效性及误差全程分布情况，绘制文献[20]公式及式（5）、式（6）误差分布曲线，如图4、图5所示。从图4和图5同样可以看出，式（5）和式（6）计算精度完全满足工程需求，误差分布曲线成一定周期性摆动，无明显的凹凸点，具有一定的可延展性。标准I型误差范围为[-0.32%，0.37%]，标准II型误差范围为[-0.39%，0.4%]。综合来看，本文公式形式较为简捷、适用范围较广、精度最高，是目前计算标准I、II型马蹄形断面临界水深的综合性能较优公式。

表5 标准马蹄形断面临界水深公式替代法统计表

5 应用算例

滇中引水工程从金沙江虎跳峡以上河段引水，以解决滇中地区严重缺水问题。其中大理II段狮子山隧洞，全长29482m，采用无压引水方式，设计流量135m3/s，断面形式采用标准II型马蹄形断面，圆拱半径=4.65m，以此实例验证本文公式精度及适用性。

解：根据算例中已知参数计算无量纲参数：

将无量纲参数代入式（6）中得：

=0.04+(0.009+11-6.43)-0.142 7=0.716 8 。

经迭代试算的精确解为0.7187，相对误差为=0.26%，求解结果的精度满足工程设计要求。

6 结 论

1）本文所建公式形式简单，物理概念清晰，计算方便快捷，易于推广。公式采用复合幂函数形式，无须进行分段判别可直接进行计算。适用范围包含了部分底拱段、侧拱段和顶拱段，满足工程常用范围需求。在实际应用中只需借助计算器即可计算，克服了查图、查表法的烦琐和迭代计算收敛慢的问题，减轻了基层工程技术人员工作量。

2）通过精度比较和实例计算，在适用范围内计算相对误差绝对值最大分别为0.37%和0.40%，具有较高的计算精度。并从简捷性、适用范围、精度三方面对现有的替代公式进行综合评价，本文公式综合性能较好，可为灌区引水工程和水利水电输水隧洞工程马蹄形断面设计及运行管理提供有益参考。

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Formulae for Calculating the Critical Water Depth in Standard I and II Horseshoe-shaped Open Channels

LIU Xile1, ZHAO Mingyan1*, LI Ruyi, LIU Zihui, ZHAO Yafeng, SUN Jie2

(1. Hebei Provincial Academy of Water Resources, Shijiazhuang 050051, China;2. Hetao University, Bayannur 015000, China)

【】Critical water depth is an important design parameter of open channels. Since standard horseshoe-shaped open channel does not have strict requirements on geological environment and is convenient to construct, it has been widely used in water conveyance projects in both irrigation and other areas. However, the horseshoe-shape is geometrically complex and the calculation of its critical water depth is more difficult than other types of channels. The objective of this paper is to propose an alternative method to overcome this shortcoming.【】We first transformed the critical water depth problem to a nonlinear constrained optimization problem via the identity- transformation of the open channel critical flow equation. We then constructed an inverse function model with the optimization solved by the PSO algorithm with particle release. The results calculated in the practical range was approximated by a pre-set function, from which we derive a formula to calculate the critical water depth for standard I and II horseshoe-shaped channels.【】①Comparison with existing formulas showed that the proposed formula is simple and does not need segmentation; it is thus more efficient and physically sound as it comprises compounded power functions only. The formula can be used to design the bottom arch section, side arch section and top arch section of the open channels, it is thus practically useful for practitioners because its ease for use. ②Comparison with experimental data showed the maximum relative error of the proposed formula for standard I and II channel was 0.37% and 0.40%, respectively, which is comparable to, if not lower than, the existing formulae.【】The formula we proposed for calculating the critical water depth in horseshoe-shaped open channels is accurate and efficient. It can be used by researchers and practitioners to design water-conveyance channels in irrigation projects and other areas.

Hydraulics; critical water depth; horseshoe-shaped open channel; PSO algorithm

刘西乐, 赵名彦, 李如意, 等. 标准I、II型马蹄形断面临界水深直接计算式[J]. 灌溉排水学报, 2021, 40(12): 142-148.

LIU Xile, ZHAO Mingyan, LI Ruyi, et al. Formulae for Calculating the Critical Water Depth in Standard I and II Horseshoe-shaped Open Channels[J]. Journal of Irrigation and Drainage, 2021, 40(12): 142-148.

TV131.4

A

10.13522/j.cnki.ggps.2021005

1672 - 3317（2021）12 - 0142 - 07

2021-01-05

河北省水利科研与推广计划项目（2018-9）；抛物线型混凝土衬砌渠道在河套灌区的应用研究（NJZY17386）

刘西乐（1993-），河北石家庄人。硕士研究生，主要从事水力学及河流动力学方面的研究。E-mail：liuxile0126@163.com

赵名彦（1982-），女。高级工程师，主要从事水工水力学及水土保持方面的研究。

责任编辑：赵宇龙