圆孔和矩形孔夫琅禾费衍射的MATLAB仿真对比研究

何皓轩 史仟芝 杨莎 刘家兴

摘 要：根据夫琅禾费衍射的基本原理，利用MATLAB仿真模拟圆孔和矩形孔的夫琅禾费衍射，观察孔径大小与夫琅禾费衍射图样的关系，发现孔径越小，衍射现象越明显。接着通过矩形孔和圆形孔互为内接圆和外接圆的关系进行对比，研究衍射屏形状对夫琅禾费衍射图样的影响，分析其夫琅禾费衍射图样的特征，衍射图样对孔的形状有较大的依赖关系，且在孔径大小相当的情况下，矩孔的夫琅禾费衍射比圆孔的夫琅禾费衍射更加明显。计算机仿真能快速、准确的改变衍射屏的形状和大小，这对学生形象、直观的理解夫琅禾费衍射提供一种有益的辅助手段。

关键词：夫琅禾费衍射;MATLAB仿真;圆孔;矩形孔

中图分类号：O436.1 文献标识码：A

Abstract：According to the basic principle of Fraunhofer diffraction，the Fraunhofer diffraction of circular hole and rectangular hole is simulated by MATLAB，The relationship between the aperture size and Fraunhofer diffraction pattern was observed，and found that the smaller the aperture，the more obvious the diffraction phenomenon.Then，the influence of the shape of the diffraction screen on the Fraunhofer diffraction pattern is studied and the characteristics of the Fraunhofer diffraction pattern are analyzed，The diffraction pattern has a great dependence on the shape of the hole，and the Fraunhofer diffraction of the distance hole is more obvious than that of the circular hole when the aperture size is the same.It has a certain reference significance for students to understand Fraunhofer diffraction vividly and intuitively.

Keywords：Fraunhofer diffraction;MATLAB simulation;circular hole;Rectangular hole

1 概述

光绕过障碍物偏离直线继续向前传播而进入几何阴影，并在屏幕上出现光强分布不均匀的现象称为光的衍射，光的衍射现象是说明光波动性的实验依据，而夫琅禾费衍射实验是大学物理实验的基础实验之一[1-3]。认识衍射现象的图样特征是大学物理教学中必须掌握的内容，但在现实生活中光的衍射现象是不明显的，通常情况下不易为人们所觉察，而在实验室中，虽然夫琅禾费衍射实验简单易做，但是实验中所选用的衍射屏的形状、大小相对单一，并且当衍射条件改变时衍射图样的变化有时肉眼是较难分辨出来的，不能很好地反映衍射图样与衍射屏的形状、孔径大小的关系，因此需要借助计算机来对衍射图样进行仿真模拟，达到对衍射现象的直接观察和理解的目的[4-6]。文中通过理论分析，利用MATLAB软件进行仿真，模拟圆孔和矩孔的夫琅禾费衍射图像，对比不同衍射屏孔的形状和大小的衍射图样关系。

2 夫琅禾费衍射原理

在光学上，夫琅禾费衍射（以约瑟夫·冯·夫琅禾费命名），又称远场衍射，是波动衍射的一种，在场波通过圆孔或狭缝时，衍射光强重新进行分布的一种现象。在标量衍射的理论中，夫琅禾费近似是在菲涅耳衍射积分远场近似的进一步处理的基础上得到的，其计算公式如下[7]：

2.1 圆孔夫琅禾费衍射原理

如果在观察夫琅禾费单缝衍射的装置中，用小圆孔代替狭缝，仍以激光作为光源，那么可以观察到夫琅禾費圆孔衍射图样，夫琅禾费圆孔衍射在屏上任一点的光强为[8]：

式中θ表示衍射角，R为圆孔半径，λ为光的波长。

2.2 矩形孔夫琅禾费衍射原理

在观察夫琅禾费单缝衍射的装置中，若用矩形孔代替狭缝，仍以激光作为光源，那么可以观察到夫琅禾费矩形孔衍射图样，夫琅禾费矩形孔衍射的强度分布公式为[8]：

3 夫琅禾费衍射的Matlab仿真

3.1 夫琅禾费圆孔衍射的Matlab仿真

根据公式（3），利用Matlab软件进行编程运算，在入射光波长和其他条件保持不变的情况下，如λ=632.8nm，当圆孔半径R=1mm时，衍射图样如图1所示，衍射图是一组同心的明暗相间的圆环，中央亮斑的光强很强，远大于第二亮环的光强，从中央亮斑向外，随着级次的增加，条纹宽度变窄，与参考教材[5，6]对比现象一致，且衍射效果更加明显;改变圆孔的半径，如圆孔半径当R=0.1mm和R=001mm时，衍射图样分别如图2和图3所示，由图可知，在其他条件不变的情况下，随着半径的减小，衍射图样中央亮斑变大，衍射条纹变宽，分布比较分散，衍射图样更加明显，衍射宽度与圆孔尺寸成反比，即圆孔的尺寸越小衍射光斑的尺寸越大。

3.2 夫琅禾费矩孔衍射的Matlab仿真

根据公式（4），利用Matlab软件进行编程运算，在入射光波长保持不变的情况下，如λ=632.8nm，当矩孔边长a=1mm，b=5mm时，衍射图样如图4所示，衍射亮斑集中分布在x轴和y轴上，呈“十”字状，且x方向衍射比y方向的衍射更加明显;随着a的变大，y方向的衍射变得越来越明显，如a=3mm，b=5mm时，衍射图样如图5所示;当a=5mm，b=5mm时的衍射图样如图6所示，即当a=b时，x方向的衍射和y方向的衍射一样，所以，衍射扩展与矩孔的宽度成反比，在哪个方向上限制，就在该方向上扩展。通过图4～6的三维图还可以发现，衍射孔由长方形变化到正方形的过程中，三维图样从扁平逐渐变为立体。

3.3 圆孔与矩孔夫琅禾费衍射的Matlab仿真对比

圆孔与矩形（正方形）孔对比，當2R=a=b时，即圆孔大小为方形孔的内接圆的衍射图样如表1所示，比较表1中A组和B组，圆孔的衍射图样为明暗相间的同心圆环，矩形孔的衍射图样为“十”字形明暗相间图案，即夫琅禾费衍射图样对衍射屏的形状有较大的依赖关系，且在圆孔的直径等于正方形孔的边长的情况下，正方形孔衍射屏可观察到的次最大级数更多，衍射现象更加明显，三维图形未有明显差异。于是，又做了圆孔为正方形孔的外接圆的夫琅禾费衍射图样对比研究，即圆孔半径和正方形边长满足R2=a2+b2，（a=b）时的夫琅禾费衍射图样，如表2所示，还是发现矩孔的夫琅禾费衍射次最大级数多于同孔级别的夫琅禾费圆孔衍射，在三维图像上矩孔比圆孔稍大，所以，在孔径相差不大的情况下，矩孔（正方形孔）的夫琅禾费衍射比圆孔的夫琅禾费衍射更加明显。

结语

本文利用夫琅禾费衍射标量场理论，分别模拟了光在圆孔和矩孔情况下的夫琅禾费衍射图样，发现随着孔尺寸的减小，衍射效果更加明显，这与理论上是一致的。通过内接圆和外接圆的对比，分析了孔形状对夫琅禾费衍射衍射图样的影响，在孔径相差不大的情况下，矩孔（正方形孔）的夫琅禾费衍射比圆孔的夫琅禾费衍射更加明显，这充分体现了计算机模拟仿真可使教学手段更直观、更丰富的特点。

参考文献：

[1]陈嘉富，王智勇，于斌，等.单缝衍射仿真实验设计及分析[J].大学物理，2020，39（12）：67-74.

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[3]谭毅.矩孔夫琅禾费衍射图样的仿真研究[J].实验室研究与探索，2013，32（07）：41-42+125.

[4]丁震.MATLAB软件在光学实验中的应用[J].中学教学参考，2012，4（11）：63-64.

[5]陈蕾，余丽芳，霍童.复色光光栅衍射实验的MATLAB仿真[J/OL].物理与工程：1-4[2021-06-30].

[6]赵靓，南香伶，张林海，等.泊松亮斑的模拟仿真研究[J].大学物理实验，2020，33（01）：82-84.

[7]梁铨廷.物理光学[M].北京：电子工业出版社，2018：154-213.

[8]姚启钧.光学教程[M].北京：高等教育出版社，1988：64-93.

项目：贵州师范学院大学生科研项目（2020DXS084）

作者简介：何皓轩（2000— ），男，汉族，贵州纳雍人，贵州师范学院物理与电子科学学院2019级物理学本科生。

*通讯作者：刘家兴（1985— ），男，贵州正安人，硕士，副教授，主要从事大学物理教学方面的研究工作。