具有自适应行为的SIS传染病模型建模与分析*

崔健萌， 靳祯

(山西大学 复杂系统研究所，疾病防控的数学技术与大数据分析山西省重点实验室，山西 太原 030006)

在传染病的研究[1-2]中，复杂网络已经成为刻画人类实际接触行为的有效工具，而复杂网络上的传染病传播动力学也得到了大量的研究[3-6].Gross等人[7]在2006年考虑了传染病在网络上的传播过程中易感者可能会断开与染病者邻居的连接而与其他易感者建立新连接的自适应行为，发现了在此机制下的复杂疾病传播动力学行为，包括周期震荡和双稳现象.自此，这类自适应动态网络上的传染病传播动力学成为研究的热点领域，个体自适应行为影响疾病传播动力学的认识和理解得以加深[8-12].然而这些工作中涉及的网络传染病动力学模型都相对比较复杂，难以分析其动力学行为.为此，本文利用均匀混合假设[13-14]刻画个体因传染病传播的自适应接触行为，从而有效降低了SIS传染病模型方程的维数以及分析的难度，并研究了平衡点的存在性和稳定性.

1 模型的建立

为方便讨论，本文只考虑c=N的情况

(1)

2 平衡点的存在性

类似于基本再生数的定义，定义系统(1)的自适应再生数

(2)

为得到系统(1)的地方病平衡点E*=(S*,I*),解方程组

(3)

将方程组(3)的两个方程相加可得

(4)

将(4)式代入(3)式的第二个方程，可得关于I*的二次方程

F(I*)=A(I*)2+BI*+C=0，

(5)

其中

C=Λμ(γ+μ)(R0(1-ω2)-1)，

由韦达定理可知，方程F(I*)=0有两不相等的实根，

其中

Δ=B2-4AC=(R0μ(γ+μ)(ω-1)+μω(γ+μ))2+4R0μ2ω(ω-1)2(μ+γ)2>0.

以下分三种情况讨论地方病平衡点的存在性:

综上可得：

3 平衡点的稳定性

先研究平衡点的局部稳定性，计算系统(1)的雅可比矩阵

其中

证明系统(1)在无病平衡点E0处的雅可比矩阵

其特征值为

证明系统(1)在地方病平衡点E*处的雅可比矩阵的特征方程为λ2-tr(J)λ+det(J)=0，经计算可得

根据Hurwitz判据[16]可知特征方程的根均具有负实部，故地方病平衡点局部渐近稳定.

证明构造Lyapunov函数V(S,I)=I,计算V(S,I)沿系统(1)轨线的全导数得到

证明令

设Dulac函数[16]为B(S,I)=1/I,则

根据Bendixson-Dulac判别法可知，系统(1)不存在闭轨线，故地方病平衡点E*全局渐近稳定.

4 结语