函数的“前世今生”

唐崇明

早在古希腊时期，人们就在运动的过程中种下了函数的种子，但这颗伟大的数学种子一直没有生根发芽，直到14世纪才稍有起色，而对这颗种子浇水施肥的人就是法国数学家奥雷斯姆。他在研究一个匀速减到零的速度问题时，想要把速度用图像表示出来。于是，他就用一条水平线上的点来表示时间，称为“经度”;用竖直线上的点来表示速度，称为“纬度”。大家对“经度”和“纬度”是不是感觉很熟悉？这就是我们已经学过的直角坐标系的原型。在研究过程中，奥雷斯姆画了一条线段来描述速度逐渐减小到零的运动，于是，在函数这个精确的概念还没出现时，图像就深深地融入函数的血液里。大家对这样的图像是不是也感到很熟悉？这样的图像其实就是我们所学习的一次函数的图像。

15世纪，哥伦布发现新大陆，开启了大航海时代。船长们在茫茫大海上航行时，经常遇到一个令人头疼的问题：该如何确定船在大海上的位置呢？数学家们开始了对运动以及事物变化的研究。笛卡尔在针对这类问题的研究中提出了一个对函数发展至关重要的词——“变量”。例如，在航行过程中把时间称为自变量，船航行的路程因為时间的变化而变化，所以称为因变量。之后，莱布尼茨创造出了“函数”这个词，并把函数表示为由变量和常数共同组成的样式，但此时的函数定义与我们学习的函数定义似乎还是不一样。

在莱布尼茨创造出“函数”这个词后，函数的定义在数学史上还经历了5次扩张。

第一次扩张发生在1718年，约翰·伯努利在莱布尼茨的基础上对函数进行了定义：由一个变量x与常数构成的任意表达式，称为x的函数。后来，数学家欧拉把函数定义为：变量的函数是一个解析表达式，它是由这个变量和一些变量以任何方式组成的。这就是函数的第二次扩张。但欧拉的定义仍然没有脱离表达式对函数的限制，例如，随着时间的变化，潮水的水位也在不断变化，此时，无法用具体的表达式来表示。到了1821年，柯西把函数定义为：在某些变数间存在着一定的关系，当给定其中某一变数的值，其他变数的值随之确定时，则将最初的变数叫作自变量，其他各变数叫作函数。在他的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有表达式。我们发现，柯西的研究削弱了表达式的地位而加强了变化的重要性。直至1837年，狄利克雷突破了函数表达式对函数定义的局限性，他认为：对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那么y叫作x的函数。这就是人们常说的经典函数定义。同学们学习的定义就来自狄利克雷的贡献。现在肯定有同学要问：“那函数的第五次扩张又产生了哪些变化呢？”这个问题我们将在高中阶段学习函数的“集合定义”时解答。

在函数的发展过程中，不仅有外国人的身影，我国数学家也有着巨大贡献。李国平是我国著名数学家、物理学家、文学家，他和华罗庚、苏步青并称为中国数学界“三大巨擘”。李国平出国留学后在法国庞加莱研究所工作，但是他时刻没有忘记自己的祖国。1939年，在国家危难之际，他毅然归国，在四川大学数学系任教。李国平以“函数论”为研究方向，陆续在半纯函数唯一性问题、有理函数表写问题、整函数理论应用、解析函数逼近等研究方向获得多项重要成果，为函数的发展贡献了中国的一份力量。

（作者单位：江苏省建湖县秀夫初级中学）