CEV模型下考虑风险相关性的保险组合时间一致性投资策略

刘小涛，刘海龙

(上海交通大学 安泰经济与管理学院，上海 200030)

近年来，伴随着资本市场供给侧改革的持续进行，监管层开始不断鼓励保险资金投资权益资产。证监会指出要大力推动长期资金入市，充沛直接融资源头活水。银保监会发布《关于优化保险公司权益类资产配置监管有关事项的通知》，通知指出根据保险公司各项营运指标，明确八档权益类资产监管比例，最高可到占上季末总资产的45%。截至2020年3季度末，保险资金投资A股已达总市值的3.44%。

和一般的投资组合不同，由于在运作过程中存在保费收入和赔付支出，保险组合与生俱来面临盈余风险。当涉足权益资产投资时，组合还必然面临着市场风险。特别地，当保险组合持有那些与其承保业务密切相关的风险资产时，组合将进一步面临盈余资金流和市场波动的相关性风险。例如保险公司在给上市公司提供保单服务的同时可能投资该公司的股票，所以投资端和保险端都会暴露该上市公司的风险，即投资业务和保险业务存在风险关联。一旦有风险事件发生，就可能同时引起赔付端和资产端的波动，从而对组合产生不利影响。此外，由于保险资金运作时间一般较长，在组合管理过程中，市场的风险收益特征也可能随时间发生变化，于是组合还面临市场时变风险。如何在综合考虑这些因素的前提下求解保险组合的投资策略，是保险资产管理实务和学术研究关心的重点话题之一。

不变弹性方差(CEV)过程是一个随机波动率模型，近年来被广泛应用于保险组合选择问题。如假定盈余过程是带漂移的布朗运动，荣喜民等[1]分别在CRRA和CARA效用下研究了保险人的最优投资问题。Gu等[2]分别在CRRA和CARA效用下研究了保险人的最优比例再保险和投资问题。Gu等[3]在CARA效用下分别考虑了保险人的最优投资和超额损失再保险及投资问题，并在正弹性方差系数假设下严格证明了解的相关验证定理。Li等[4-5]同时研究了CARA型保险人和再保险人的最优投资和再保险问题。Li等[6]在均值方差准则下研究了保险人和再保险人的时间一致投资策略。Wu等[7]利用勒让德对偶变换技巧研究了对数效用下的最优再保险及投资问题。李冰等[8]研究了CARA型保险人的最优鲁棒超额损失再保险和投资策略。聂高琴[9]在HARA效用下研究了再保险与投资策略。假定盈余过程为经典的Cramér-Lundberg模型，李启才等[10]进一步研究了CARA型保险人的比率合约与超额损失混合再保险和最优投资问题。假定盈余过程是带跳过程和漂移项的布朗运动，Xiang等[11]、Liang等[12]以及曾敏等[13]研究了CARA型保险投资人的最优再保险和投资问题。Zheng等[14]考虑了保险人的鲁棒最优再保险投资策略。Wang等[15]同时研究了CARA型保险投资人和再保险投资人的最优投资和再保险问题。Zhou等[16]进一步考虑了与历史业绩相关的资金流，研究了相应的超额损失再保险和投资问题。在均值方差准则下，Shen等[17]研究了一类包括但不限于CEV模型下的预先承诺再保险投资策略。Lin等[18]求解了最优时间一致再保险投资策略。

尽管目前已有大量文献基于CEV模型研究了保险组合选择问题，但是仍然存在不足之处。首先，大量文献[2-9，11-14，16-18]均假设驱动保险盈余过程的布朗运动与驱动CEV模型的布朗运动完全不相关，从而忽视了保险市场和金融市场的风险相关性，并最终得到了和普通投资组合完全相同的投资策略，因而无法体现出保险组合管理业务的独特性。其次，少数文献则走向了另一个极端，文献[1，15]中假设盈余风险过程和CEV过程中的布朗运动完全相关，即保险市场和金融市场背后完全由同一风险驱动，从而忽视了保险业务的特异性风险。事实上，一方面，因为受系统性风险的影响，盈余过程和风险资产存在一定的风险相关性。特别地，如果保险组合还投资其承保上市公司的股票，将进一步强化这种风险。另一方面，盈余与自身的业务属性密切相关，但并非完全相关。因此，一个较为合理的假设便是部分相关。其实早在基于几何布朗运动模型的保险资产配置的奠基文献[19]中就已经考虑到这点，只是随后在时变投资环境中众多学者却大多忽视了该因素。

为此，本文在综合考虑随机波动率风险以及保险盈余和金融市场相关性风险的基础上，求解保险人在动态均值方差准则下的投资策略。假设风险资产价格过程服从不变弹性方差(CEV)模型;保险盈余过程满足扩散近似模型，并且驱动盈余过程的布朗运动和驱动CEV过程的布朗运动过程存在部分相关性。这种相关性刻画了保险市场和金融市场背后可能受相同风险因素的影响，同时也可能受自身独有因素的影响。最后，假定投资者具有均值方差目标，即管理人试图在一定的风险水平下获取尽可能多的收益，或者在保证获取同等收益的前提下承担尽可能小的风险。为了保证投资策略的稳定性以及不同时刻进入组合的盈余资金流被“公平对待”，本文旨在求解时间一致(纳什均衡)投资策略。为了说明保险组合投资策略和一般投资组合投资策略的本质区别，重点分析了其特例——最优对冲问题(最小方差组合)。

本文的创新点主要体现在3个方面:首先，在模型设定上同时考虑了CEV随机波动率风险和保险盈余与金融市场的相关性风险，相对于其他仅考虑单一风险的工作更加贴合实际;其次，在求解方法方面主要采用了Feynman-Kac公式求解扩展HJB方程组化简得到的偏微分方程组，而其他文献[1-18]主要采用了变量分离的方法，这些方法不能处理CEV模型下考虑风险相关性的保险最优投资问题;最后，在结果上利用特殊函数给出了最优时间一致投资策略的显式解，并通过对投资策略的结构分析，指出了保险组合投资策略和普通组合投资策略的本质不同，而其他文献得到的保险组合投资策略和普通组合投资策略完全相同。此外，本文还分析了由风险相关性引起的投资策略差异对投资者福利的影响。

1 问题描述

本节首先给出一些基础假设，然后基于此建立保险组合在均值方差目标下的时间一致投资问题。

考虑一个定义在[t，T]时间段内的连续时间马尔科夫经济，所有不确定性由满足通常条件的赋域空间刻画。其中表示截止到s时刻经济体中的所有可用信息;Z1(s)，Z2(s)是定义在P测度上的两个独立的标准一维布朗运动，分别表示金融市场和保险行业的独立风险源。在后文中，不加显式说明的假设所有随机过程和随机变量均适应于域流，以及本文涉及的所有随机变量的矩是良好定义的。进一步假定:

(1)资产可以无限拆分且交易在[t，T]内连续进行。

(2)没有各种交易税费。

(3)没有买空卖空交易限制且借贷利率相等。

不失一般性，假定组合可以投资于一只无风险资产(银行账户)和一只风险资产，无风险资产的价格过程为

式中，r＞0表示无风险利率。风险资产的价格过程S(s)满足CEV模型:

式中:μ＞r表示期望瞬时收益率;σ＞0是一个常数;2α是方差弹性系数;σS(s)α为s时刻的瞬时波动率。由于当α∈[-1/2，0)时，过程式(2)能以一定的正概率到达原点，即价格可能会触及0。为了排除这种情况，假设α∈(-∞，-1/2)∪[0，+∞]。由于风险资产的价格S(s)是随机的，故风险资产的瞬时波动率也是随机的，因此，投资者面临随机时变的投资机会集。

参考文献[1-3，19]，假定盈余过程为带漂移的布朗运动，即扩散近似模型:

式中:μm，σm均为常数;ρ∈[-1，1]表示盈余风险和金融市场风险的相关性;W表示投资者在t时刻的初始禀赋。值得强调的是，在该假设下，如果ρ≠±1，因为市场上有两个独立的风险源，所以通过交易风险资产始终无法对冲掉盈余过程的特异性风险，则此时考虑的市场模型是非完备的。除非当ρ=±1时，市场是完备的。

令w s表示投资者在时刻s∈[t，T]投资于风险资产S(s)的资金，则剩余资产投资于无风险资产B(s)。于是在策略w s下，投资组合净值的动态变化过程为

称投资策略w s是可容许的，如果∀s∈[t，T]，则w s是可测的，并且有以及财富过程式(4)有唯一强解。令表示所有的可容许策略的集合。给定初始财富W(t)=W和即期价格S(t)=S，本文假设投资者具有如下目标:

式中，γ＞0是投资者的风险厌恶系数，Et[·]=E[·|W(t)=W，S(t)=S]。

由于包含了终端财富期望的非线性项，目标式(5)具有时间不一致性，因而不能使用常规的贝尔曼最优性原理以及建立在此基础上的经典哈密顿-雅克比-贝尔曼(HJB)方程来处理该问题。早期的均值方差组合优化文献[20-21]考虑了预先承诺策略，即只保证初始时刻的财富经过投资后达到全局最优。然而，这种策略不具时间一致性，投资者在后续执行投资策略时有一定的动机去偏离初始时刻做出的承诺。文献[22-25]中指出，时间一致性决策要求理性投资者在一个时刻制定的另一时刻的投资策略在其他时间看来也是最优的，这种投资策略也称为纳什均衡策略。对于非自融资组合，时间一致性还同时保证了不同时刻进入的盈余资金流均能被“公平对待”。因此，本文主要研究组合选择问题式(5)的时间一致投资策略。

定义1(时间一致投资策略) 给定任何初始状态(s，W，S)∈[t，T]×ℝ×ℝ+，考虑可容许策略w*(s)，并定义如下策略:

则称w*为时间一致或纳什均衡策略。

注记1如果μm，σm=0，本文考虑的问题与文献[22]中考虑的CEV模型下的自融资均值方差组合选择问题相同。

注记2大量涉及保险组合选择问题的文献同时考虑了投资和再保险策略。为了和普通组合的投资策略进行对比，这里只考虑投资策略。此外，中国保险行业2019年度的数据也显示，再保险资产总规模大概占原保险资产总规模的3%不到，因此，在实践中再保险服务可能“求而不得”。

2 问题求解

本节首先根据时间不一致随机控制理论建立值函数所满足的非线性偏微分方程组，然后根据猜测到的值函数形式将其化简为抛物型偏微分方程组，进而利用随机分析理论对其进行求解，从而给出原始方程组的显式解，并最终得到时间一致投资策略。

2.1 扩展HJB方程组建立

对于最优投资问题式(4)、(5)，由于资产组合净值的动态过程中包含了W，S两个状态变量，故可以记值函数为:

式中，w*为时间一致最优投资策略。值得注意的是，和效用函数目标对应的经典随机控制问题不同，这里涉及两个值函数。根据文献[23]中给出的连续时间不一致随机控制理论，有如下结果:

定义2(扩展HJB方程组) 对于约束于动态预算过程式(4)的时间不一致随机控制问题式(5)，如果存在两个函数J(t，W，S)和g(t，W，S)∈，则对应的扩展HJB方程组为:

为了简化符号，在全文中不加显式说明的根据需要省略函数的自变量部分，例如在式(13)中，f∶=f(t，W，S)。函数的偏微分也延续该做法，即f t∶=∂f(t，W，S)/∂t，其他函数及偏微分符号含义以此类推。

2.2 扩展HJB方程组化简

首先化简扩展HJB方程组(8)～(12)。将式(13)分别代入式(8)、(11)，可得如下两个方程:

由于方程项数较多，维度较高，偏微分方程组(14)、(15)较难求解，故首先通过移除可分离状态变量来降维。参考文献[22]，猜测J(t，W，S)，g(t，W，S)具有如下形式:

这样就消去了财富状态变量W。对方程式(18)取w的一阶条件，可得

至此已经将最优时间一致投资组合选择问题化简为两个低维度的偏微分方程。下面将求解式(21)及式(23)，然后将解代入式(20)即可得到最优时间一致投资策略。

2.3 抛物型偏微分方程组求解

为了进一步给出值函数的显式表达，本节继续求解抛物型偏微分方程式(21)、(23)。对于式(23)，有如下结论:

证明根据Feynman-Kac公式，可以将S)表示为如下条件期望:

式中，E[·|S(t)=S]表示原始概率测度P下的条件期望，且S(s)服从随机过程式(2)。根据定理5，将E[S(s)-2α|S(t)=S]代入式(26)，经过化简即可得到式(24)。当α=0时，有

2.4 扩展HJB方程组的解和均衡投资策略

整理上述结果可以得到扩展HJB组方程的解以及对应的时间一致投资策略。

定理3扩展HJB方程组(8)～(12)的解J(t，W，S)，g(t，W，S)如下。如果α≠0，则有:

这里Γ(·)是伽马函数，1F1(a;b;z)表示合流超几何函数，其定义为

当α=0时，相应的解简化为:

下面的定理给出了对应的投资策略。

定理4对于动态预算约束式(4)下的时间一致投资问题式(5)，相应的最优时间一致投资策略为w*。当α≠0时，有

证明将式(39)、(43)分别代入式(20)，化简后得到式(45)、(47)。这里使用了公式

注记3令μm，σm=0，本文给出的最优时间一致投资策略式(45)退化为文献[22]中推论1的结果。

注记4注意到最优时间一致投资策略w*，即投资于风险资产的财富数量和CARA效用下类似，不依赖于财富规模本身W。

一旦得到了最优时间一致投资策略，便可以得到最优时间一致策略下投资组合净值的动态变化过程以及终端财富分布:

推论1最优时间一致投资组合在T时刻的财富为

其对应的期望和方差分别:

进一步可以通过联立两者消去γ得到有效前沿。

证明见附录B。 证毕

3 结果分析

3.1 均衡投资策略结构和值函数

本节将通过对最优时间一致投资策略和值函数的结构分析，详细讨论其经济含义。显然，可以将投资策略w*分解为如下结构:

为了分析其最优时间一致投资策略的经济学含义，首先考虑当盈余过程参数取特殊值时的结果。

注意到，当μm=0，σm=0时，意味着模型不存在盈余资金流或者说组合是自融资的。如果投资者的投资策略是买入并持有无风险债券，则在T时刻的效用函数和均值函数均为:J(t，W，S)=Wexp((T-t)r)。然而，如果投资者是采用最优时间一致投资策略，此时的均值函数多了一项则该项表示投资于风险资产获得的期望增益，同时也可知为获得这些收益所需要承担的风险，即:

式(57)给出的最优时间一致投资策略由短视投资需求和动态对冲需求两部分组成。可以证明:

即说明短视投资策略在s时刻只保证下一瞬间s+ds时刻的财富W(s+ds)在T时刻的终值对应均值方差目标达到最优。短视策略遵循凯利公式，即其完全由瞬时夏普比率、瞬时波动率和风险厌恶系数决定。然而，由于随机波动率的存在，决策集在未来会发生变化，投资者在决策时必须考虑这种因素，因而导致了动态对冲需求wdhedge(t)。

但是与文献[22]中不同，因为本文考虑了风险可部分对冲的盈余资金流，值函数中多出了一项

表示盈余资金流经过投资之后的期望均值;而

表示接受盈余资金流需要承担的风险。于是

表示由盈余资金流导致的额外效用变化，亦即盈余资金流的无差异效用价格在T时刻的终值。从资产定价的角度看，盈余资金流是一系列不可交易的未来收益流，可以看作是一个实物期权，h(t，S)则表示其在T时刻的价值，即实物期权价格终值。注意到，式(32)中漂移项系数为无风险利率，所以测度本质上为风险中性测度。当ρ=±1时，因为盈余风险可以完全对冲，所以对应的市场是完备的，盈余资金流最终也不带来额外的风险，实物期权价格与风险中性价格一致。

而此时的最优时间一致投资策略中，除了短视和动态投资需求之外，还出现了额外两项wshedge(t)和wdeltahedge(t)，分别称其为静态对冲需求和德尔塔对冲需求。为了分析静态对冲需求，假设投资者只采取静态投资策略，即在s时刻投资wshedge(s)=-ρσmS(s)-α/σ数量的财富于风险资产，则该组合的财富变化过程为

注意到，式(62)中只包含盈余过程中的不可对冲风险dZ2(s)，而可对冲风险dZ1(s)项则消失了。这说明，wshedge完全对冲掉了盈余过程中的可对冲风险。在完备市场情形下，即ρ=±1，相应的不可对冲风险也消失了。

然而，除非α=0，由于式(62)中仍然含有S(s)，投资者静态对冲过的组合财富仍然面临一定的风险，这就导致了德尔塔对冲需求的出现。注意到，wdeltahedge(t)=-Sh S，因此，可以从资产定价的视角来理解h(t，S)。由于h(t，S)是盈余过程的无差异效用价格，由伊藤引理，投资组合[h(t，S)，-Sh S(s，S(s))]的动力学变化过程为

这意味着相应的风险项被对冲掉了。因此，可以称wdeltahedge(t)为德尔塔对冲需求。

推论3(不考虑风险相关性的保险投资组合)如果ρσm=0，则对应的时间一致投资策略简化为

一方面，如果ρ=0，即金融市场的风险和盈余过程的风险完全独立，则交易风险资产始终无法对冲掉任何的盈余风险，所以相应的静态对冲需求消失了。由于此时的保险市场和金融市场是分离的，盈余过程的价格也就不依赖于金融市场，故德尔塔需求也就不存在了。另一方面，如果σm=0，盈余过程等价于缴费为μm的连续时间年金，则

显然为其终值。因为没有风险需要对冲，所以对应的静态对冲需求和德尔塔对冲需求也都消失了。

上述讨论了盈余资金流参数对于时间一致投资策略的影响。下面将讨论CEV模型的弹性方差系数α对投资策略的影响。

推论4(不考虑随机波动率的保险投资组合)当α=0时，相应的最优时间一致投资策略为

注意到，当α=0时，由于自融资组合对应的投资集是不变的，故动态对冲需求消失了。此时式(62)给出的W c(s)简化为

显然，静态对冲后的盈余组合不依赖于市场状态S(s)，因此也就无需进一步进行德尔塔对冲。在明确投资策略结构后，就可以得到各部分投资策略对于间接效用的贡献。

注记5在g(t，W，S)的表达式(39)中:第1项表示初始禀赋W在T时刻的终值;第2项表示资金流的确定部分在T时刻的累积终值;第3项表示短视投资策略获得的期望收益;第4项表示动态对冲投资策略获得的期望收益，对比式(43)可知当α=0时，该项消失了，但是第3项仍然保留;最后一项表示可对冲部分随机资金流在风险中性测度下的累积条件期望贴现在T时刻的终值。

注记6在的表达式(40)中:第1项表示不可对冲部分随机资金流导致的风险;第2项和第3项分别表示短视投资需求及动态对冲需求所需要承担的风险。

注记7由于ex＞1+x，故由式(39)可知无论α正负，短视投资获得的期望收益率总为正;同时，当α＜-1/2或α＞0时，动态对冲需求获得的期望收益也为正。

3.2 最优对冲保险组合

为了进一步揭示由风险相关性导致的额外投资需求，本节考虑均值方差组合的特殊情形——最小化方差组合。

推论5当γ→∞时，有

推论5表明，对于极度风险厌恶的投资者，其自融资策略会选择不持有任何头寸的风险资产。对于非自融资组合而言，随机流入的资金流会带来一定的被动风险，这是必须事先承担的，除非投资者放弃保险业务。因此，投资者首先需要采用静态对冲投资策略对冲掉资金流瞬时变化的风险，其次需要进一步采用德尔塔对冲投资策略对冲掉资金流实物期权价值变动风险。另外，还可以发现，静态对冲需求和德尔塔对冲需求是不依赖于投资者的风险厌恶系数γ，即由随机资金流导致的额外投资需求是与投资者的偏好无关的。实际上，当γ→∞时，有

即投资目标恰好是最小化组合的风险。如果将盈余资金流视为一个被动持有的不可交易资产，则式(68)等价于文献[26]中考虑的最优时间一致对冲问题。

3.3 福利损失分析

上述分析表明，金融市场和保险行业的风险相关性会导致静态对冲需求和德尔塔对冲需求的出现。那么，这两部分投资需求究竟对投资者的间接效用函数究竟有多大贡献，本节将讨论这一问题。

如果实际模型中存在风险相关性，但是投资者在决策时忽视了这点，从而只采用短视投资需求和动态对冲需求构成的策略，可以证明，在这种情形下组合的终端财富为

从而投资者采用最优时间一致策略的福利增加值为

显然，盈余过程的可对冲风险(ρσm)越大，通过静态对冲和德尔塔对冲得到的效用增益越大;投资者的风险厌恶程度(γ)越大，通过对冲后产生的效用增益越大;无风险收益率(r)越大，投资者进行对冲后的低风险组合的收益越高。因此，对冲产生的效用增益也就越大。

3.4 数值案例

本节将对最优时间一致策略和值函数进行数值分析，基础参数设为:T=2，t=0，r=0.03，S=15，σ=20，μ=0.08;μm=1 000，σm=300;W=10 000，γ=0.000 5，α=-1.5。这里选用负α主要是为了刻画权益资产的杠杆效应。

图1展示了投资期限和风险资产价格(波动率)对于非自融资组合最优投资策略的影响。当ρ=0时，保险组合的投资策略和自融资组合的投资策略相同。由于风险随投资期限的增加速度快于收益(见式(60))，自融资投资策略随投资期限缩短而增加。另一方面，当弹性方差系数为负数时，高价格意味着低波动率，从而投资比例会显著上升。图1同时表明，当盈余过程的资金流和金融市场存在正(负)风险相关性时，相比于自融资组合或者无风险相关性的非自融资组合，风险资产的投资比例会相应的减少(增加)。

图2展示了金融市场和保险盈余过程风险相关性ρ对投资者福利增益的影响。当ρ=0时，非自融资组合的均衡策略和自融资组合相同，故增益为0;当ρ≠0时，因为非自融资组合还考虑了额外的对冲策略，所以投资者的福利得到了明显的改善。并且投资者面临的可对冲风险越大，对冲策略可管理的风险越大，因此，福利改善也就越明显。对于风险厌恶系数越大的投资者，相同情况下的福利改善效用也就越明显。由于方差目标刻画的风险是对称的，故图2是对称的。

4 结论

假定保险组合可以投资于一只利率为常数的无风险资产和一只价格服从不变弹性方差(CEV)模型的风险资产，保险盈余过程是带漂移的布朗运动，本文考虑了均值方差保险组合选择问题及其特例——最优对冲(最小方差)组合选择问题。通过建立并求解扩展HJB方程组，得到值函数和时间一致投资策略的显式解，并讨论了其经济含义。研究结果表明:

保险组合的时间一致投资策略由短视投资需求、动态对冲需求、静态对冲需求和德尔塔对冲需求4个部分组成。当不考虑盈余资金流与金融市场风险相关性时，投资策略仅包含短视需求和动态对冲需求。静态对冲需求和德尔塔对冲需求旨在最小化终端财富方差。这说明，均值方差保险组合的最优选择问题可以转换为一个普通(自融资)组合的最优选择问题和盈余资金流的时间一致对冲问题。保险组合投资策略和普通组合投资策略差异的本质原因在于其风险管理策略不同:普通投资组合可以选择不持有任何头寸的风险资产，而保险组合因为被动承受盈余风险而需要采取对冲策略。因此，当存在随机资金流和市场的风险相关性时，保险最优选择策略可以分解为投资策略和风险管理策略两部分，忽视风险管理策略会对投资者的福利造成显著的损失。

本文只是对CEV模型下保险组合最优时间一致选择问题的初步研究，仍存在许多问题需要进一步探讨。例如，可以在考虑相关性风险的基础上引入模糊厌恶或状态相关风险厌恶系数等。此外，本文给出的时变市场中保险人均值方差目标时间一致优化问题的值函数形式具有普适性，并不局限于CEV模型，可以将其应用到其他更加一般的时变市场如随机收益率模型或其他随机波动率模型中。

附录A

CEV过程的条件矩

本节主要给出一个关于CEV过程的条件矩公式。

证明式(A1)见文献[22]。由引理1和引理2，有式(A2)。 证毕

附录B

推论1的证明

证明将最优时间一致投资策略式(45)代入式(4)，有1为了避免复合微分符号的歧义，以下使用～g(0，1)(s，S(s))表示～g(t，S)对第2个变量的一阶偏导数在自变量取(s，S(s))时的值，其他复合偏微分符号以此类推)