一种基于1 bit压缩感知的毫米波信道估计算法

李心安，余开文

(重庆邮电大学 a.新一代宽带移动通信重点实验室； b.通信与信息工程学院,重庆 400065)

0 引 言

毫米波频段(30～300 GHz)尚存大量未用频谱，因频带宽和信息容量大等特点，其成为了下一代移动通信的主要选择[1-3]。较高的路径损耗是毫米波通信的主要挑战之一，大规模多输入多输出(Multiple Input Multiple Output, MIMO)系统在基站侧和终端侧使用波束赋形补偿路径损耗是一种有效的解决方案[4]。

从硬件的角度来看，天线数目的增加导致接收端模数转换器(Analog-to-Digital Converter, ADC) 数量增多。高速(≥1 GSamples/s)且高精度(≥ 6 bits)的ADC对便携式终端设备而言，其成本和功耗都太高，或硬件不可实现[5-6]。接收电路的主要耗能元件为ADC，ADC的功耗随系统带宽线性增长，随量化比特数指数增长[7]。

利用毫米波信道在角度域的稀疏性，Ahmed Alkhateeb等人[8]采用网格化的方法，将毫米波信道估计问题转化为3个参数的估计问题，即离开角、到达角和信道向量非零元素的值，其中离开角和到达角由信道向量非零元素的位置唯一确定；Jianhua Mo等人[9]采用期望最大(Expectation Maximization, EM)算法对量化前的接收信号求条件期望，再用传统的信道估计算法求解，得到信道向量的最大似然估计。

为了在提高估计精度的同时降低算法复杂度，本文提出了EM算法和正交匹配追踪(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)算法相结合的估计信道矩阵，即EM-OMP算法，同时结合广义正交匹配追踪(Generalized Orthogonal Matching Pursuit,GOMP)算法每次迭代按相关性依次选取多个原子。

本文符号约定：α、a和A分别为标量、列向量和矩阵；AT和AH分别为矩阵的转置和共轭转置；║A║F和║a║2分别为矩阵的Frobenius范数和向量的l2范数；A⊗B为克罗内克积(Kronecker Product)；vec(A)为矩阵的列向量化。

1 通信系统模型

在毫米波MIMO系统中，接收端的接收信号：

毫米波信道采用Saleh-Valenzuela信道模型：

式中：αn为第n条路径的复增益；Npath为路径数；φn和θn分别为第n条路径的到达角和离开角，其均服从均匀分布，即φn、θn～U(-π/2,π/2)；Λ=diag{α1,α2,…,αn}为n条路径的复增益α1,α2,…,αn组成的对角矩阵；AR为各条路径接收阵列导向矢量ar(φi)(i=1,2,…,Npath)组成的矩阵，定义为AR=[ar(φ1)ar(φ2) …ar(φNpath)]；AT为各条路径发送阵列导向矢量at(θi)(i=1,2,…,Npath)组成的矩阵，定义为AT=[at(θ1)at(θ2) …at(θNpath)]。

发送端和接收端均采用均匀线阵，阵列响应矢量可表示为

式中：M为天线数量；j为虚数单位；λ为波长；θ为方向角；d为相邻天线阵元间距，这里取d=λ/2。毫米波信道通常是视距传播或近似视距传播，只有很少的反射路径[10-11]，因此，通常有Npath≪min{Nr,Nt}。

信道矩阵的稀疏网格化可表示为

式中：UR∈CNr×Nr和UT∈CNt×Nt均为字典矩阵；HS为等效信道矩阵。

这里忽略量化到达角、离开角和实际到达角、离开角之间的误差。从HS中非零元素的位置可以得出毫米波信道量化到达角和离开角，非零元素的值表示毫米波信道复增益。信道矩阵的稀疏表示将信道矩阵的估计问题转化为到达角、离开角和信道矩阵非零元素值的估计问题，即信道矩阵非零元素位置和值的估计问题。

2 问题建模

在训练阶段，令X∈CNt×K为训练矩阵，K为训练长度。训练矩阵取X=UTZ，Z为等效训练矩阵，故有：

式中：Y为接收的训练矩阵；N∈CNt×K为各个元素独立同分布的复高斯噪声矩阵。上式的实值形式为

3 EM-OMP算法

EM算法如下所示：

循环：

OMP算法在每次迭代时，通过计算当前残差与所有待选原子的内积，选择最大相关原子，再通过最小二乘(Least Square，LS)算法计算该原子的系数，逐步近似原始信号。OMP算法主要包括两个步骤，寻找最优原子和计算该原子的系数。

然而，基于EM-OMP算法的信道向量估计存在两个问题：一是条件期望对量化前接收信号的估计与实际信号之间存在估计误差；其次是每次迭代只选取一个索引使算法的运行时间较长。其中，条件期望所带来的误差可通过迭代使其收敛[9-11]，由于1 bit量化只保留了原始信号的符号信息，条件期望的估计性能与信噪比(Signal to Noise Ratio，SNR)有关，这一点将在第5节详细说明。

4 EM-GOMP算法

OMP和GOMP算法基于贪心准则从感知矩阵中选取与当前残差具有最大相关性的列向量。两种算法的区别在于，进行重构时，OMP算法每次迭代过程中只选择与当前残差最大相关的原子，而GOMP算法在每次迭代过程中会选择与当前残差相关的原子集合，然后在该集合中按照相关性从大到小依次选取若干原子。相对于OMP算法，GOMP算法的搜索选择方式能够更好地保证从信号能量相近或不完全和不精确的阵列接收信号中恢复信号，能更准确地找出信号的所在角度。

GOMP的具体过程是，预先定义每次迭代选取原子的数量num，按照下列准则选取num个最大相关列：

式中，ψsupp为支撑集supp对应列组成的子矩阵。重复上述步骤，直至选出所有路径。

EM-GOMP算法如下所示：

循环：

循环：

寻找num个最大相关列

更新残差和循环变量：

直到i≥Npath；

5 仿真分析

图1所示为不同信道估计算法在不同SNR条件下的NMSE曲线。由图可知，EM-OMP和EM-GOMP算法在性能上均优于EM算法。其中，EM算法在求矩阵伪逆时，分别选取了Penrose-Moore伪逆矩阵和基于矩阵分解的伪逆矩阵。系统SNR<20 dB时，EM-OMP算法的NMSE为EM算法的1/10。其原因在于，EM算法并未利用信道的稀疏性，在高维矩阵求伪逆运算时，耗时长且估计精度差。EM-GOMP算法在每次迭代选取两个原子时，其估计精度与EM-OMP算法几乎一致，在每次迭代选取3个原子时，其估计精度比EM-OMP算法降低了2 dB。无论哪种算法，当SNR分别大于某一门限时，其性能随着SNR的增大急剧降低。这是由于，1 bit ADC只保留了接收信号的符号信息，当接收信号的模很大时，使用条件期望估计会带来较大的估计误差。这是量化系统中的一种典型现象，称为随机共振[12-14]。

图1 不同SNR情况下的NMSE对比

为了对比各个算法的计算复杂度，表1给出了EM-OMP、EM-GOMP和EM算法单次迭代的耗时统计。算法仿真软件为Matlab R2018b，硬件环境为16 GB 随机存取存储器(Random Access Memory，RAM)和 Intel Core i5-10300H 中央处理器(Central Processing Unit，CPU)。由表可知，算法耗时由高到低依次为：EM(Penrose-Moore伪逆)、EM(矩阵分解伪逆)、EM-OMP、EM-GOMP(num=2)和EM-GOMP(num=3)。EM算法耗时较长是因为高维矩阵的伪逆运算量大。EM-GOMP算法每次迭代选取多个原子，故其耗时比EM-OMP算法更短，且每次迭代选取的原子数量越多，其耗时就越短。

表1 每次迭代的耗时统计

图2所示为路径数为2、SNR=10 dB时，各信道估计算法采用不同导频长度的NMSE曲线。由图可知，随着导频长度的增加，估计算法的准确性越来越高。同时随着导频长度的增加，曲线斜率的绝对值越来越低，这说明当导频长度较大时，如图所示为当导频长度为512时，再增加导频长度带来的性能提升有限。

图2 不同导频长度情况下的NMSE对比

6 结束语

本文针对高精度ADC毫米波通信系统的成本和功耗高问题，在接收端采用1 bit量化器，并利用压缩感知技术进行毫米波大规模MIMO系统的信道估计。考虑毫米波大规模MIMO信道在角度域的稀疏性，为了便于实际应用，本文设计了EM-OMP算法，每次迭代选取与当前残差最大相关的一个原子。为了进一步提高算法效率，设计了EM-GOMP算法，每次迭代选取多个最大相关原子，降低了算法的迭代次数。仿真结果表明，本文所提EM-OMP和EM-GOMP算法估计性能高于EM算法，同时算法复杂度低于EM算法。