初中数学单元教学中的教师MPCK理论研究

摘要：数学学科核心素养正式提出后，对数学教师的课堂教学提出了更高的要求。基于教师的数学学科教学知识（MPCK）的理论研究，提出数学单元教学是最有效的发展学生核心素养的教学决策。教师所具备的MPCK是数学单元教学有效实施的关键，因此以初中数学函数知识为例，在函数单元教学活动中对教师所需的MPCK做具体的理论分析，促进课堂教学中的教师专业发展。

关键词：单元教学;MPCK;函数

1.问题提出

新一轮课程改革以发展学生的学科核心素养为导向，自数学学科核心素养正式提出以来，研究设计单元数学教学的文章不断涌现，单元教学重新走进教育研究者的视野，它与发展学生学科核心素养有着密不可分的关系。数学学科核心素养的体现无法从单一的知识点中体现，而是贯穿数学学科知识结构体系始终，单元教学从主题的知识结构出发，进行知识整合设计，从更高地层次上对知识进行联结与应用，有利于培养发展学生的核心素养。然而，数学单元教学是否能够顺利地进入课堂，并得到有效实施，这对于数学教师提出了更高的专业性要求。本文以初中数学“函数”单元教学为例，对数学教师的学科专业知识在理论研究与教学实践方面进行具体分析。

2.单元教学模式简介

单元教学并不是一个新词，研究的重点集中在单元教学的概念理论层面。喻平[1]从设计与应用层面对数学单元教学提出了四种结构模式，从单元教学的可操作性出发，提出了以问题解过程线索为主题的单元教学模式、以建立个体CPFS结构为主题的单元教学模式、以概念生长作为主题的单元教学模式、以数学思想方法解决问题为主题的单元教学模式。这四种单元教学模式的具体应用，包涵教师对数学知识内容分析、数学课程标准分析、学生学情分析、数学教材分析、数学知识重难点分析、教学方式分析各个方面，因此，单元教学的有效实施，在于数学教师是否有与之相匹配的课堂教学知识。

3.数学学科教学知识（MPCK）简介

美国著名教育学家Shulman于1986年提出“Pedagogical Content Knowledge”，简称PCK，国内学者翻譯为学科教学知识，研究者们对其本质界定为关于教师如何将学科知识传授给不同兴趣和能力的学习者，促使学习者更有效地学习的知识[2]。而数学学科教学知识[3]（Mathematics Pedagogical Content Knowledge，简称MPCK）可以理解为数学教师关于某一特定的数学教学内容如何进行表述、呈现和解释，使得学生更容易接受和理解的知识。李渺，宁连华[4]认为，对于中小学数学教师而言，MPCK 是由数学学科知识（MK）、一般教学法知识（PK）、有关数学学习的知识（CK）以及教育技术知识（TK）融合而成。总体来看，MPCK的效用在于是数学教师如何将所学到的数学学科知识转化为学生能够学习到的数学知识，MPCK体现了一个教师所具备的专业素养，目的是为了提升学生的数学理解、提高学生的数学能力和发展学生的数学素养。

4.函数单元教学中教师的MPCK具体分析

以初中数学函数知识为例，基于李渺和宁连华分析出的MPCK各成分的理论基础，对教师MPCK结合函数单元教学活动提出具体要求。

4.1数学学科知识（MK）

MK包含四个维度，分别是数学观念、学科内容知识、数学思想方法以及数学史知识。

从数学观念维度看，数学教师首先需要对函数单元教学有基本的认知。初中数学函数包括一次函数、反比例函数、二次函数，函数在《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“2011版课标”）属于数与代数部分，对函数表征、函数性质与函数应用提出了具体的要求。以课程标准为准则，从单元教学角度出发分析初中数学函数知识体系，教师首先需要对函数的本质进行深刻理解，以函数本质属性为线索，渗透函数思想解决问题，对函数知识结构有整体认知的基础上，对具体函数进行教学活动设计，从一般函数到具体函数的应用，易于学生理解掌握函数知识，从而获得创造性数学成果。

从数学学科内容知识维度看，函数是学生在小学阶段从未接触过的数学概念，因此教师在函数单元教学时一定要注重函数概念起始对学生的引导。在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。初中数学对于函数概念的定义是一种变量与变量的一一对应关系。而教师在讲解一次函数、反比例函数及二次函数时，往往会忽略函数的对应关系，而是让学生陷入一种函数是y与x之间的解析式的错误认知。数学教师在单元教学中从一般函数的对应关系，过渡到具体函数的对应关系，从概念界定，到函数性质分析与实际应用，能够时刻体现函数的本质属性，不仅有助于培养学生从函数的角度思考问题，对于高中进一步将函数学习函数高层次的抽象定义打下坚实的基础。

从数学思想方法维度看，教师对函数概念要进行有意义的建构，掌握数学教学思想方法，创设数学化的教学情境，引导学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，培养学生从数学的角度出发解决实际问题的能力。函数本质上回答了运动与变化之间的关系，因此在单元教学中，教师可以选择将创设情境与提出数学问题相结合，以“问题串”为教学核心，引导学生在情境中提升学生函数思维。例如在函数单元教学的综合实践活动中，教师可以让学生通过本单元的学习，选择生活中的常见情境，用数学语言描述，描述生活中的函数现象，通过函数课题活动，感受函数在解决运动变化问题中的重要作用。

从数学史知识维度看，学生对于数学概念的认知过程与该概念的历史发展过程有很大的相似程度。函数概念的历史发展源远流长，函数最初是以表格、曲线形态呈现的，莱布尼兹于1714年正式命名“函数”，函数逐渐由几何形态走向代数形态，从函数是解析式开始，到函数“对应说”、“关系说”，函数概念逐渐抽象化，最终形成书本上的函数概念。教师在进行函数单元教学时可以对函数概念发展史进行总结拓展，引领学生跟随数学家的脚步，思考数学家是如何一步一步发现、发展并应用函数的。从数学史中，教师能够让学生感受到数学知识是人类为了社会发展在不断探索的过程中形成。而函数是17世纪的科学家为了解决天体运动如何测量问题引出的一个基本概念，本质上可以解释现实生活中运动与变化的现象。教师对数学史知识的掌握更加有助于培养学生用数学的眼光看待现实世界，提高数学素养。

4.2一般教学法知识（PK）

PK包含四个维度，分别是教育观念、教育理论知识、课程知识以及教学知识。

从教育观念维度看，教师应有单元教学意识。新课程改革要求培养学生的数学素养，学生要会用数学眼光观察现实世界，用数学思维思考现实世界，用数学语言表述现实世界，培养学生的实践精神与创新意识。基于核心素养的单元教学设计是用系统论的观点对教材内容进行有逻辑的重组、整合成相对完整的教学单元，以函数为例，教师对函数单元教学活动设计思路为“总分总”结构强化核心素养培养。

从教育理论知识维度看，教师要掌握单元教学的理论层面的知识，并将理论研究应用于课堂实践，要求教师深入挖掘数学内容，在课堂上体现数学的育人价值，提出对学生思维有启发性的问题，促进学生全面发展。

从课程知识维度看，2011版课标是教师对函数单元教学课程内容理解的基础。2011版课程标准明确提出在义务教育阶段，函数需要掌握的四大主题内容，包括一般函数、一次函数、反比例函数、二次函数，具体要求可以归纳为函数表征、函数性质、函数应用三大阶段。教师对课程标准的理解越深，对课堂教学内容的把握越精准，因此教师要认真阅读、深入理解课程标准中的函数课程知识，从课程知识结构上整体把握函数单元教学逻辑。

从教学知识维度看，在正式开课之前，教师设立明确的函数单元教学目标，函数概念起始课时，教师给出数学化情境，学生基于函数多种表征方式理解函数概念，打破函数与函数解析式混淆的思维模式。教师通过提出数学问题，学生依据数学情境，进行观察、实验、类比、归纳等多种方式的合情推理，教师逐渐增加问题的层次深度，将一般函数与具体函数进行逻辑思维联结，最后引导学生形成函数整体知识结构的思维导图，这对于函数知识构建起到画龙点睛之笔。

4.3数学学习知识（CK）

CK包含三个维度，分别为学生发展的知识、学生学习的认知因素与非认知因素知识以及学习环境的知识。

从学生发展的知识维度看，初中阶段的学生的思维发展处于从具体形象到抽象的过渡时期，教师依据学生发展的一般规律，设计函数单元教学活动。从学生学习的认知因素与非认知因素知识维度看，函数作为初中数学学习接触到的全新概念，函数具有高度抽象性特点，学生对函数概念的理解有一定的困难。教师课堂教学过程中，结合学生已有生活经验与函数知识相联结，建构函数知识。从教育心理学中情感、意志、动机、兴趣、性格等非认知因素来看，学生学习的非认知因素主要受教师在课堂教学中的教师教学组织策略、教学方法、教育机制的影响。单元教学模式从知识结构上由浅入深，由简到难，由具体到抽象，提高学生学习的自我效能感。

从学习环境的知识维度看，学习数学的环境不仅体现在班级全体学生对数学学习的整体态度上，关键在于数学教师给学生创造数学化的学习环境。数学是一切科学的基础，生活中处处存在数学教育现象，教师引领学生发现环境中的数学之美。函数是描述生活中运动与变化的关系模型，游乐场中绚烂宏伟的摩天轮也存在着某种函数关系，将摩天轮抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度与旋转实践之间具有函数关系。

4.4教育技术知识（TK）

TK包含两个维度，分别是有关传统教学媒体的知识以及有关现代教育技术的知识。

传统教学媒体主要是在教师口头语言的基础上，一些辅助教学的教科书、黑板、模型、实物等简单的媒体材料。随着现在科技的高速发展，现代教育技术是教师必备技能之一。2011版课标提出，数学课程的实施要合理运用现代信息，注意信息技术与课程内容的整合。技术与课堂教学的整合是提高教学与学习效率必经之路。函数单元教学的活动设计结合现代教育技术，除了运用ppt多媒体展示，教师学习使用几何画板、GeoGebra等动态数学演示软件，在课堂上展示变量与变量之间的动态变化过程，直观形象地展示出函数的本质属性。数学动态软件准确描绘出函数图象形成过程，易于学生理解一次函数、反比例函数及二次函数的图象与性质。

5.结语

教师MPCK是数学教师专业发展的具体要求，结合不同的课程内容，教师在数学教学中有不同的课堂组织、呈现、调整等教学行为;单元教学能够体现教师对教学内整体逻辑思维上的把握，集课程、教学、评价为一体的单元教学设计，更加考察教师的学科教学能力。函数知识抽象化的特点使得学生难以理解函数本质，对函数概念的理解浮于表面，认为函数就是y值，将初中数学函数知识进行单元整合教学，促进了教师MPCK的发展。同时，教师运用MPCK做出最有效的教学决策，设计最佳的函数单元教学活动思路，在课堂教学实践中，弥补自身学科专业发展方面的不足，不断丰富自己的学科教学知识，提高数学课堂教学水平。

参考文献：

[1]喻平.数学单元结构教学的四种模式[J].数学通报，2020，59（05）：1-8+15.

[2]常磊，夏小刚，吕传汉.数学“情境─问题”教学中教师的MPCK理论研究[J].数学教育学报，2012，v.21;No.86（05）：67-71.

[3]童莉.数学教师专业发展的新视角──数学教学内容知识（MPCK）[J].数学教育学报，2010，19（2）：23-27.

[4]李渺，宁连华.数学教学内容知识（MPCK）的构成成分表现形式及其意义[J].数学教育学报，2011，v.20;No.77（02）：10-14.

作者簡介：潘家叆（1995年3月-），女，汉族，辽宁省渤海大学，研究生，学科教学（数学）专业。