均布与集中荷载共同作用下固支梁弯扭屈曲临界弯矩精确解研究

张文福 杭昭明 刘迎春 赵文艳 严 威 华俊凯

（1.东北石油大学土木建筑工程学院，大庆 163318；2.南京工程学院建筑工程学院，南京 211167；3.苏州科技大学建筑工程学院，苏州 215000）

0 引言

钢梁由于强度高、自重轻等优点，广泛应用于厂房场馆、铁路、桥梁等方面。钢梁截面通常做成长而窄的形式，而这种形式的缺点是绕强轴和弱轴的惯性矩相差较大，因而钢梁极易发生弯扭屈曲。目前我国规范仅给出了单一荷载下钢梁弯扭屈曲的设计公式，尚未给出多种荷载共同作用下钢梁弯扭屈曲的设计建议。

在复合荷载下钢梁弯扭屈曲研究方面，国外从1940 年开始，Vlasov［1］和Galambos 等［2］就陆续基于平衡法和经典能量法，将屈曲模态取为单一三角函数给出了钢梁在复合荷载下的一阶近似解析解。近年来，国内学者对此也开始了一些探索和研究工作［3-4］。

2017 年，郭兵等［5］对端弯矩和集中荷载共同作用下的简支梁进行了理论屈曲分析，采用Rayleigh-Ritz 法推导了简支梁临界弯矩的通用计算公式，形式与传统公式相同，并且通过算例验证了公式的正确性与泛用性。

2018 年，刘占科等［6］采用Galerkin 法推导了复合荷载下钢梁弯扭屈曲临界弯矩的公式，这里他们考虑了横向荷载作用点高度和截面不对称参数。同时，他们确定了7 种常见工况的等效弯矩系数理论计算式并给出了6种特殊工况的Cb实用计算式，并与国内外文献进行了对比，验证了公式的正确性与适用性。

2019 年，支圆圆和王杜欣［7-8］分别对复合荷载下固支钢梁和连续钢梁弯扭屈曲的临界弯矩进行了研究，他们都基于课题组提出的钢梁临界弯矩计算通式对多种荷载下相应的理论临界弯矩公式进行了推导，并使用有限元方法进行了验证和参数分析。

综上，目前对钢梁弯扭屈曲相关的力学分析，多数是使用Galerkin 法、Rayleigh-Ritz 法等方法，通过单个三角函数来表达侧移和转角，然后利用能量法获得钢梁的临界弯矩解析解，但与无穷项级数解相比，这种解答仅相当于一阶近似解。本文对单轴对称工字形钢梁弯扭屈曲临界弯矩进行了理论研究，先设模态函数为无穷级数形式，然后利用能量变分法，得到了均布与集中荷载下单轴对称工字形固支梁的弯扭屈曲临界荷载的无穷项解答。并以解答的100 项级数为参考，借助MATLAB 程序进行了收敛性研究，最后又建立了有限元模型进行了对比验证。

1 推导过程

1.1 工程概况

本文分析的工程情况为均布荷载与跨中集中荷载共同作用下的工字形固支梁，简图如图1 所示，其中q为均布荷载，p为跨中集中荷载，L为跨度，C（0，0）为截面形心，S（0，y0）为截面剪心。

图1 均布荷载和跨中集中荷载下工字形固支梁的计算简图Fig.1 Calculation diagram of the fixed I-beam under uniform load and concentrated load

为了推得此工况下固支梁弯扭屈曲临界弯矩的无穷项解答，本文根据张文福［9-13］提出的“板-梁理论”及能量变分法的思路，先设模态试函数表达为无穷级数，然后代入总势能方程，再根据势能驻值原理可以得到屈曲方程，即可解得弯扭屈曲的临界弯矩。

1.2 无量纲形式的一阶近似解析解

1.2.1 模态试函数

将截面的位移和转角采用的模态试函数形式设为

式中：u(z)、θ(z)分别为固接梁屈曲时截面的侧向位移和绕剪切中心的扭转角，是关于变量z的函数。

与他人的研究不同，本文在式（1）中引入了h（上下翼缘形心的距离），其目的是将u的待定系数A，变为无量纲参数。

同时，式（1）、式（2）满足固支梁的边界条件：

1.2.2 内力函数

令跨中集中荷载p与均布荷载q存在以下关系，β为集中荷载系数。

则均布荷载和跨中集中荷载共同作用下的固支梁任意截面的弯矩表达式为

根据式（4）可知，最大弯矩位置位于跨中，由此可得出跨中最大弯矩为

1.2.3 总势能方程

均布荷载和跨中集中荷载共同作用下单轴对称工字形固支钢梁弯扭屈曲的总势能表达式为

将截面位移与转角的模态试函数代入式（6），应用MATHEMATICA 软件进行相关积分运算，则有

因此，均布荷载和跨中集中荷载共同作用下单轴对称工字形固支梁弯扭屈曲的总势能方程可表示为

将式（12）乘L3/(h2EIy)，并引入以下无量纲参数和相关表达式

对总势能进行无量纲化，可进一步表示为

1.2.4 屈曲方程

依据势能驻值原理，可得

即可以得到以下屈曲方程：

发展商业养老保险有助于应对人口老龄化趋势和就业形态新变化，进一步保障和改善民生，促进社会和谐稳定，在宁夏发展商业养老保险，符合国家政策导向，顺应宁夏人口结构老龄化的趋势，有助于促进实体经济的发展。

将上述无量纲屈曲方程用以下矩阵形式表示为

为了使A1、B1不同时为零，必有

将式（23）行列式展开可得

其解可表示为

其中：

综上所述，均布荷载和跨中集中荷载共同作用下单轴对称工字形固支梁无量纲弯扭屈曲临界弯矩解析解可由式（25）解得。

1.3 无穷项数解答

1.3.1 模态试函数

将截面的位移和转角采用的模态试函数设为如下无穷项数形式

1.3.2 内力函数

由于条件相同，因此内力函数同一项级数解答相同。

1.3.3 总势能方程

将截面位移与转角的模态试函数代入式，应用MATHEMATICA软件进行相关积分运算，则有

因此，均布荷载和跨中集中荷载共同作用下单轴对称工字形固支梁弯扭屈曲的总势能方程可表示为

将式（33）乘L3/(h2EIy)，并引入以下无量纲参数和相关表达式，对总势能进行无量化，可进一步表示为

均布荷载和跨中集中荷载共同作用下单轴对称工字形固支钢梁弯扭屈曲无量纲总势能方程可表示为

1.3.4 屈曲方程

根据势能驻值原理，对无量纲广义坐标An求偏导，

可推出如下屈曲方程

为便于求解，式（41）可用如下矩阵形式表示

式（42）中各子矩阵表示如下

同理，依据势能驻值原理，对无量纲广义坐标Bn求偏导，

同样得到以下屈曲方程

将式（44）用以下矩阵形式表示

各子矩阵表示如下

综上所述，均布荷载和跨中集中荷载共同作用下单轴对称工字形固支梁无量纲屈曲方程可表示为

由式矩阵表示的弯扭屈曲方程解得的最小特征值，即为均布荷载和跨中集中荷载共同作用下固支梁弯扭屈曲无量纲临界弯矩的解析解。显然，依据Fourier 级数理论可证明，当级数为无穷项时，则可得到此问题的精确解。

2 收敛性研究

为了证明上述所得无穷项解答的正确性和可适用性同时得到相应的精确解，下面进行收敛性研究。

从数值求解的角度考虑，无穷级数表示的模态试函数的项数只能取有限项，采用MATLAB 程序求解式（63）的特征值屈曲问题。对双轴对称截面A（H400 mm×300 mm×8 mm×12 mm）和单轴对称 截 面B（H400 mm×300 mm×200 mm×8 mm×12 mm）的工字形固支梁在均布荷载和跨中集中荷载共同作用下的屈曲临界弯矩解的收敛性进行分析，如图2 所示，其中梁跨度L=12 m，集中荷载系数β=0.4。其中s=3 时，截面A 在均布荷载和跨中集中荷载共同作用于上翼缘、剪心、下翼缘时的分别于72 项、86 项、83 项收敛。截面B 在均布荷载和跨中集中荷载共同作用于上翼缘、剪心、下翼缘时的分别于84 项、88 项、83 项收敛。当工字形固支梁在均布荷载和跨中集中荷载共同作用下的屈曲临界弯矩解的收敛时，级数解答即为精确解。为便于后续数值计算，这里将近似认为当级数取100项时，级数收敛。

图2 屈曲临界弯矩解收敛性验证Fig.2 Verification of convergence of buckling critical moment solutions

3 有限元验证

下面以上文提及的A（H400 mm×300 mm×8 mm×12 mm），B（H400 mm×300 mm×200 mm×8 mm×12 mm）两种截面为例，来验证精确屈曲方程的可靠性。本文选用SHELL181 壳单元来模拟工字型钢梁，SHELL181有4节点，6个自由度。模型沿高度方向划分10 个单元，沿长度方向划分100 个单元，沿翼缘宽度方向划分8 个单元。另外，为了防止模型过早出现畸变屈曲或局部屈曲，本文采用了张文福教授［12］提出的新的刚周边模拟方法，比常规设置加劲肋的方法更简洁实用且不会增加梁刚度，FEM模型如图3所示。

图3 有限元模型Fig.3 Finite element model

下面用FEM 对钢梁在均布与集中荷载共同下的弯扭屈曲临界荷载于理论解进行对比验证，以A，B 两种截面12 m 跨度作为算例。表1 为FEM 模型解和理论解的对比结果。其中，β为均布荷载与集中荷载的占比分项系数。

由表1可见：

表1 均布荷载和跨中集中荷载共同下固支梁临界弯矩Table 1 The critical moment of the fixed beam under uniform and concentrate load

（1）无穷级数解答与有限元模拟的结果吻合得很好，不论是对双轴对称截面还是对单轴对称截面，其最大误差均在5%以内；

（2）对双轴对称截面，由单个三角函数得到的一阶近似解与有限元模拟的结果的误差较大，上翼缘的最大误差为5.91%，下翼缘的最大误差为22.50%，剪心的最大误差为13.72%；

（3）对单轴对称截面，一阶近似解与有限元模拟的结果的误差巨大，上翼缘的最大误差达-27.13%，下翼缘的最大误差达-15.16%，剪心的最大误差达20.85%。

4 结论

（1）本文基于作者前期建立的能量变分法，推导得到固支梁在均布与集中荷载下弯扭屈曲方程的无穷项级数解。

（2）通过MATLAB 程序，取100 项级数为参考，分别以一个双轴对称工字形截面和一个单轴对称工字形截面为例，研究了无穷项级数解答的收敛性和适用性。

（3）建立了使用新方法设置刚周边的有限元模型，与无穷项级数的理论解进行了对比，误差均在5%以内，说明了无穷项级数解的精确性。

（4）无穷级数解和有限元解答均可证明，由单个三角函数得到的一阶近似解的误差通常较大。以荷载作用在剪心的工况为例，双轴和单轴对称截面的最大误差分别可达13.72% 和20.85%，如此大的误差是工程所不能接受的。因此，对于复合荷载下钢梁弯扭屈曲问题，不宜采用单个三角函数作为屈曲模态来讨论钢梁屈曲问题。