美式期权定价的有限差分跳点格式研究

2022-01-04张艳萍

山西师范大学学报（自然科学版） 2021年4期

张艳萍

山西工程职业学院，山西太原 030009

期权是一种能让持有人在将来某一时刻以提前商定的价格购进或售出某种标的金融资产的合约[1].在将来某个时刻以敲定价购进标的资产的期权称为看涨期权，售出某标的资产的期权则称为看跌期权.按照合约是否可以提前执行，期权分为欧式期权与美式期权两种.期权实际上赋予了其持有者一种权利，持有者不一定必须行使该权利，而获得这项权利所付的金额即为期权的价格.在实际的交易市场中，由于其强大的风险对冲的功能而被越来越多的投资者所青睐，对期权进行合理定价成为了一个非常重要的金融研究方向.

由Black和Scholes于1973年提出的欧式期权定价的Black-Scholes模型[2]，被认为是现代金融学的一座里程碑，其基本思想是通过预计股价的波动来假设未来股价变化服从某种随机过程，通过建立无风险资产组合再贴现获得期权价格.在基本假设下，欧式期权的定价问题，实质上为一个抛物型偏微分方程的边值问题，但是其解析公式太过复杂，甚至有可能不存在满足边值条件的解，而美式期权由于其提前行权的可能性，再加之Black-Scholes模型的假设比较严格，往往无法求得解析解，需要采用数值方法来求解.目前，主要使用的算法有二叉树法、Monte Carlo法、有限差分法等[3].有限差分法是一类广泛使用的离散方法，常见的有传统显示格式、隐式格式、C-N格式等.显式格式形式简单，计算方便，但是稳定性较差，隐式格式的稳定性好，但是计算繁琐[4].目前将显式格式与隐式格式结合的研究已有很多，如闫俐等[5]利用隐-显和显-隐交替算法来求解美式看跌期权，张德飞等[6]使用加权差分格式计算美式期权.此外还有半差分格式[7]、指数拟合差分方法[8]等.本文将引入有限差分跳点格式[9，10]来求解美式看跌期权定价模型，并通过数值算例验证跳点格式的有效性.

1 美式看跌期权定价模型

Black-Scholes期权定价模型建立的基本假设有：股票价格服从对数正态分布，且股价的波动率r为常数；无风险利率r为常数且对所有的到期日都相同；不支付红利；市场不存在无风险套利机会；市场证券交易是连续的，允许卖空，而且所有证券都是无限可分的.设标的股票在时刻t的价格是S，期权(或其他衍生证券)价格记为V(S,t)，基于这些假设，构建一个包含期权以及标的股票头寸的无风险组合，在风险中性的世界里，根据It引理，得到期权价格满足的偏微分方程

(1)

此方程就是著名的Black-scholes方程[2]，其中σ为标的股票价格波动率，r为无风险利率.

这是一个抛物型的偏微分方程，方程有无数个解，但对于一个特定的期权价格，还应该满足到期日和边界条件.对于美式看跌期权，在到期日T，如果股票价格S低于行权价格K，则选择执行期权，收益为K-S，如果股票价格S高于行权价格K，则选择不执行期权，收益为零，因此到期日的期权价格为

V(S,T)=max{K-S,0} 0

(2)

而在到期日之前的任何时刻都可执行，因此边界条件为

V(0,t)=K0

(3)

(4)

式(2)～式(4)即为美式看跌期权满足的定解条件.显然，方程(1)是一个非线性的偏微分方程，为了求解方便，设x=lnS，τ=T-t，对方程以及终止条件和边界条件进行恒等变换，则可将方程(1)转化为常系数线性偏微分方程，将倒向时间问题转换为正向时间问题，对V=V(x,τ),有

(5)

并设标的股票变化是有界的，边界及初始条件为

V(x,0)=V(lnS,0)=max(K-ex,0) 0V(0,τ)=K0<τV(Smax,τ)=0 0<τ

2 有限差分跳点格式

由于美式期权可以在到期日之前的任何时刻执行，上面我们所建立的偏微分方程定解问题没有解析解，我们采用数值方法来求解.有限差分法的基本思想是将求解的区域用有限个离散点构成的网格来代替，把方程中的微分用差分来近似代替，得到差分方程，进而转化为矩阵或者线性方程组问题，求解得到原方程在离散网格上的近似值，然后利用插值方法求解整个区域上的近似解.下面我们介绍该问题的有限差分跳点格式.

2.1 网格剖分

Vi,j=V(xi,τj)=V(iΔx,jΔτ)i=0,1,...,Mj=0,1,...,N

初值条件及边界条件离散为

Vi,0=max(K-eiΔx,0)i=0,1,...,M

(6)

V0,j=Kj=0,1,2...,N

(7)

VM,j=0j=0,1,2...,N

(8)

2.2 跳点格式的构造

先把网格点(xi,τj)按i+j=奇数或偶数分为两组，分别称为奇数网格点与偶数网格点.从第j个时间层推进到第j+1个时间层时，

(1) 在偶数网格点(xi,τj+1)上构建显式格式

根据函数的Taylor级数展开，用如下的向前差分逼近对时间的一阶偏导数

分别用中心差分、二阶中心差分逼近对S的一阶偏导数、二阶偏导数

则方程(5)化为差分方程

(9)

整理可得

Vi,j+1=aVi-1,j+(1-b)Vi,j+cVi+1,ji+j+1=偶数

(10)

其中

由第j个时间层推进到第j+1个时间层时，式(10)提供了逐个计算偶数网格点(xi,τj+1)处函数取值的表达式，因此这是一个显示的差分格式.再结合式(6)中的初始值Vi,0，首先对时间层j=1上的偶数网格点用式(10)计算，依次按时间推进，直到算出最后一个时间层上偶数网格点的函数值.

(2)在奇数网格点(xi,τj+1)上构建隐式差分格式

根据函数的Taylor级数展开，用如下差分逼近对时间的一阶偏导数

分别用中心差分、二阶中心差分逼近对S的一阶偏导数、二阶偏导数

则方程(5)化为差分方程

(11)

整理可得

Vi,j=-aVi-1,j+1+(1+b)Vi,j+1-cVi+1,j+1i+j+1=奇数

(12)

因此，在使用跳点格式进行计算时，先从第一个时间层开始，利用式(10)按照时间递推，计算出每个时间层上的偶数网格点处的取值，再利用式(12)补算奇数网格点处的值.

考虑到美式期权可以被提前执行，所以在每一网格点(xi,τj)处，期权价值Vi,j最终取值应为

Vi,j=max{Vi,j,max{K-iΔx,0}}

其中，等式右边Vi,j为递推公式(10)以及(12)计算的结果.

3 跳点格式的性质讨论

以下我们将从理论上对本文所建立差分格式的性质进行讨论.

3.1 相容性

设原方程的精确解为v，则v满足方程(5)，即

(13)

显式差分格式(10)的截断误差为

(14)

假定v是充分光滑的，进行带余项的Taylor级数展开，有

带入式(14)得，

而v满足式(13)

因此截断误差为

T(x,τ)=O(Δτ)+O((Δx)2)

从而，显式差分格式(10)与微分方程(5)是相容的.类似可证隐式差分格式(12)与方程(5)是相容的.

3.2 收敛性

此式可以改写为

vi,j+1=avi-1,j+(1-b)vi-1,j+cvi+1,j+ΔτT(xi,τj)

(15)

将显式差分格式(10)与式(15)相减，并记离散误差为

ei,j=Vi,j-vi,j

(16)

得

ei,j+1=aei-1,j+(1-b)ei,j+cei+1,j-ΔτT(xi,τj)

由截断误差计算可知，存在正常数M，使得|T(xi,τj)|≤M(Δτ+(Δx)2)，

则

|ei,j+1|≤|a|·|ei-1,j|+|1-b|·|ei,j|+c|ei+1,j|+δτ|T(xi,τj)|

(17)

Ej+1≤(1-rΔτ)Ej+MΔτ(Δτ+(Δx)2)≤Ej+MΔτ(Δτ+(Δx)2)

由不等式递推得Ej≤E0+MjΔτ(Δτ+(Δx)2)

由此

Ej≤MjΔτ(Δτ+(Δx)2)

而根据原方程求解区域的网格剖分，jΔτ≤NΔτ=T，从而

Ej≤MjΔτ(Δτ+(Δx)2)≤MT(Δτ+(Δx)2)

3.3 稳定性

我们利用有限差分格式进行计算时是按照时间逐层递推的，上一个时间层计算时的舍入误差会影响到下一个时间层的取值，从而就要分析误差的传播情况，希望计算过程的舍入误差是可以控制的，这就是所谓的稳定性问题.对于线性的偏微分方程，要证明差分格式的稳定性，只要证明差分格式的有界性即可.

对显式差分格式(10)，令

当空间步长和时间步长的大小满足a>0,1-b>0,c>0时

Vi,j+1=aVi-1,j+(1-b)Vi,j+cVi+1,j

≤(1-rΔτ)Vj≤Vj

4 数值实验

4.1 数值模拟

图1以S=50为例，将期权价格的计算结果与单纯使用显示格式以及隐式格式的计算结果作对比.从图中可以看出利用显式差分格式计算得到的值偏大，隐式差分格式计算得到的值偏小，而利用本文建立的跳点格式计算结果更接近方程的近似精确解.

图1 当S=50时三种差分格式结果与近似精确解对比

另外，根据前面的分析，如果只使用显式格式进行计算，可以用直接法来求解，运算方便，但是稳定性较差；而如果仅使用隐式格式是恒稳定的，但是需要将隐式差分格式化为一个三对角的线性方程组来求解，运算量比较大.我们建立的跳点格式相比单纯使用显式格式稳定性更好，同时克服了隐式格式的计算复杂的问题，计算结果也更为精确.