对σ -素环上广义导子性质的研究

杨 悦，杜奕秋

(吉林师范大学 研究生院,吉林 长春 130000)

1976年,Herstein I N[1]提出了如果R是2-扭自由素环,d为环上的导子,对于R中任意的x,y,若满足[d(x),d(y)]=0,则R为交换环.1991年,Brear[2]提出了更具一般性的导子的概念.丰富了环上导子的相关研究成果.受Brear的启发,(θ,φ)-导子、(θ,θ)-导子等衍生导子相继出现.

在本文中R是结合环,在环R中,所有与R的全体元素可交换的元素的集合,称为环R的中心,记为Z(R).设R是素环,如果对于aRb=0,有a=0或b=0,a,b∈R,则称R为素环.设R是结合环,若aRa=0,a∈R有a=0,则R是半素环.设R是结合环,d是R到R的加性映射,若对任意的x,y∈R都有d(xy)=d(x)y+xd(y),则d是R上的导子.若环R的可加子群U,满足[u,r]∈U,u∈U,r∈R,则称U为环R的Lie理想.若环R的可加子群J,满足u∘r∈U,u∈J,r∈R,则称J为环R的Jordan理想.设F是环R上的可加映射,若存在R上的导子d,使得对任意的x,y∈R,均有F(xy)=F(x)y+xd(y),则称可加映射F为R上的广义导子,d为R上的伴随导子.∀x,y∈R有x∘y=xy+yx,[x,y]=xy-yx.设R是环,若映射φ：R→R满足：(i)φ(a)⊆R,a∈R,(ii)φ(a+b)=φ(a)+φ(b),a,b∈R,(iii)φ(ab)=φ(a)φ(b),a,b∈R,则称φ是R的自同构.令θ，φ是环R的自同态映射,若满足d(xy)=d(x)θ(y)+φ(x)d(y),任意的x,y∈R,则可加映射成为(θ，φ)-导子.若(θ，φ)-导子存在的情况下,满足F(x,y)=F(x)θ(y)+φ(x)d(y),d:R→R,任意x,y∈R,可称可加映射F:R→R为广义(θ，φ)-导子.设R是结合环,δ:R→R是加性映射,θ是R上的自同构.若存在R上导子δ,对任意的x,y∈R,都满足δ(xy)=θ(x)δ(y)+θ(y)δ(x),则称δ为R上的左(θ,θ)-导子.设R是结合环,δ:R→R是加性映射,θ,φ是R上的自同构.若存在R上导子δ,对任意的x,y∈R,都满足δ(xy)=θ(x)δ(y)+φ(y)δ(x),则称δ为R上的左(θ,φ)-导子.

已有一些相关学者[3]证明了素环或半素环的交换性定理,并且这些素环和半素环在对应的R子集上导子是中心化的或可交换的.在特征不为二的情况下,Oukhtite[4]等人证明了具有对合环的Posner[5]第二定理：设R是2-扭自由*-素环,U是R的平方封闭*-Lie理想,若R的非零导子d,d以U为中心,则U⊆Z.最近,学者推广到Jordan理想的广义导子,得到了Jordan理想的广义导子的交换性的结果.在本文中,将上面的结论再推广到σ-素环上,研究广义导子在σ-素环上的性质.

1 主要结果

引理1[6]设R是σ-素环,I是R的非零σ-理想,若a,b在R上满足aIb=0=aIσ(b)=0,则a=0或b=0.

引理2 设I是R的非零σ-理想,d是R的导子且d≠0,d与σ可交换,若[x,a]Id(x)=0,则a=0或b=0.

定理1 设R是2-扭自由σ-素环,I是R的非零σ-理想,设F,G是R上的广义导子,d,g是它们的伴随导子,且与σ可交换,若F(x∘y)=F(x)∘y-d(y)∘x,x,y∈I,则R是可交换的.

证明由题设有

F(x∘y)=F(x)∘y-d(y)∘x,x,y∈I，

(1)

在(1)式用yx替换y得到

F(x∘yx)=F(x)∘yx-d(yx)∘x,x,y∈I，

则有

F(x∘y)x+(x∘y)d(x)=(F(x)∘y)x-y[F(x),x]-(d(y)∘x)x-y(d(x)∘x)+[y,x]d(x)，

在(1)右乘x得到

F(x∘y)x=(F(x)∘y)x-(d(y)∘x)x,x,y∈I，

将上面作差可得

(x∘y)d(x)=-y[F(x),x]-y(d(x)∘x)+[y,x]d(x),x,y∈I，

(2)

用ry替换y得到

(x∘ry)d(x)=-ry[F(x),x]-ry(d(x)∘x)+[ry,x]d(x),x,y∈I，

即

r(x∘y)d(x)+[x,r]yd(x)=-ry[F(x),x]-ry(d(x)∘x)+r[y,x]d(x)+[r,x]yd(x),

r∈R,x,y∈I.

在(2)式左乘r

r(x∘y)d(x)=-ry[F(x),x]-ry(d(x)∘x)+r[y,x]d(x),x,y∈I,

作差得到

2[x,r]yd(x)=0,r∈R,x,y∈I.

因为R是2-扭自由的,所以

[x,r]yd(x)=0,r∈R,x,y∈I,

[x,r]Id(x)=0,r∈R,x∈I.

因为I是σ-理想且gσ=σg,y∈I∩Saσ(R),由引理2得到

[x,r]=0或d(x)=0,x∈I,

由已知可得

x+σ(x)∈Saσ(R)∩I,x∈I,

则[x+σ(x),r]=0或d(x+σ(x))=0,r∈Rx∈I.

因此得出[x,r]=0或d(x)=0,r∈Rx∈I.

现在对两种情况进行讨论.

(i)显然[x+σ(x),r]=0,且x-σ(x)∈Saσ(R)∩I,可得

[x-σ(x),r]=0或d(x-σ(x))=0,r∈Rx∈I,

若[x-σ(x),r]=0,则有

0=[x-σ(x),r]+[x+σ(x),r]=2[x,r]=0,

因为R是2-扭自由的,即[x,r]=0,r∈Rx∈I,若d(x-σ(x))=0,r∈R,则

d(x)=d(σ(x))=σ(d(y)),

由引理2可证得[x,r]=0或d(x)=0.

(ii)若d(x+σ(x))=0,x∈I,则d(x)=-d(σ(x))=-σ(d(x)),并且有

[x,r]Id(x)=0=[x,r]Iσ(d(x)),r∈Rx∈I.

由引理2可得[x,r]=0或d(x)=0,r∈Rx∈I.

若d(x)=0,则

xd(r)=0,r∈Rx∈I,

即

Id(r)=IRd(r)=0=σ(I)Rd(r)=0,r∈R.

因为I≠0,R是σ-素环,得出

d(R)=0,

即d=0,与题意矛盾.

下面设[x,r]=0,有

0=[sx,r]=[s,r]x=[s,r]I=[s,r]RI=[s,r]Rσ(I)=0,r∈R,

因为I≠0,R是σ-素环,得出[s,r]=0,r,s∈R.

因此R是可交换的.

2 结语

在一些学者对环上导子相关研究成果的基础上,沿着素环,*-素环方向继续推广到了σ -素环上,对其广义导子性质进行探究,从而得到了更为有意义的结果.并完善了σ -素环上更为广泛性的结论.