形如 kφ（n）= φ2（n）+S（nm）的两个方程的可解性*

姜莲霞，张四保，傅 湧

（1.喀什大学数学与统计学院，新疆喀什 844008；2.宜春学院数学与计算机科学学院，江西宜春 336000）

0 引 言

数论函数方程的可解性问题的研究是数论中的一个热点研究内容.令φ（n）为Euler函数，其是数论中一个重要的数论函数，包含数论函数φ（n）方程的可解性有着众多的研究内容，如文献［1-3］.令φe（n）为广义 Euler函数，是由蔡天新［4］在研究将Lehmer同余式从模素数的平方推广到模任意整数的平方时，所提出的一个数论函数.对于包含数论函数φe（n）方程的可解性有着丰富的研究成果，如文献［5-7］.令S（n）为 Smarandache函数，其定义为S(n)=min{m：n∈Z+，n|m！}，是由美籍罗马尼亚数论专家Florentin Smarandache于1993年在其撰写的Only Problems，Not Solutions一书中所提出的一个数论函数.对于包含数论函数S（n）方程的可解性也有着颇多的研究成果，如文献［8-10］.

对于包含 Euler函数φ（n）、广义 Euler函数φ2（n）与 Smarandache函数S（n）方程的可解性问题，文献［11］讨论了方程2φ（n）＝φ2（n）＋S（n25）的可解性，并给出了其有3个正整数解.本文将基于Euler函 数φ（n）、广义 Euler函数φ2（n）与 Smarandache函数S（n）的性质及其各自的计算公式，讨论方程

和方程

的可解性，利用初等的方法与Guass函数［n］的性质给出正整数解情况.

1 几个基本的引理

2 定理及其证明

情况1当α=1

当q=2时，由式（5）有 5φ(n1)=2S(230)=64无解；当q=3时，由式（5）有 10φ(n1)=2S(330)=2×63无解；当q=5时，由式（5）有 20φ(n1)=2S(530)=2×125无解；当q=7时，由式（5）有 30φ(n1)=2S(730)=2×189无解；当q=11时，由式（5）有50φ(n1)=2S(1130)=2×308无解；当q=13时，由式（5）有 60φ(n1)=2S(1330)=2×364无解；当q=17时，由式（5）有 80φ(n1)=2S(1730)=2×493无解；当q=19时，由式（5）有 90φ(n1)=2S(1930)=2×551无解；当q=23时，由式（5）有 110φ(n1)=2S(2330)=2×667无解；当q=29时，由式（5）有140φ(n1)=2S(2930)=2×841无解；当q≥31时，由引理2，则由式（5）有5(q-1)φ(n1)=2S(q30)=60q，即 (q-1)φ(n1)=12q，从而有(q-1)|12q，而 (q-1，q)=1，则(q-1)|12，这不可能.

情况2当α=2

当q=2时，由式（5）有 10φ(n1)=2S(260)=2×64无解；当q=3时，由式（5）有 30φ(n1)=2S(360)=2×126无解；当q=5时，由式（5）有 100φ(n1)=2S(560)=2× 250，从而有φ(n1)=5，由引理 3可知φ(n1)=5无解；当q=7时，由式（5）有 210φ(n1)=2S(760)=2×364无解；当q=11时，由式（5）有550φ(n1)=2S(1160)=2× 605无解；当q=13时，由式（5）有 780φ(n1)=2S(1360)=2×728无解；当q=17时，由式（5）有1360φ(n1)=2S(1760)=2×969无解；当q=19时，由式（5）有 1710φ(n1)=2S(1960)=2× 1083无解；当q=23时，由式（5）有2 530φ(n1)=2S(2360)=2×1334无解；当q≥29时，由式（5）有5q(q-1)φ(n1)=2S(q60).由引理2有 2S(q60)≤ 2×60q=120q.而当q≥29时，有5q(q-1)≥140q＞120q，得出矛盾.

情况3当α=3

当q=2时，由式（5）有 20φ(n1)=2S(290)=2×96无解；当q=3时，由式（5）有 90φ(n1)=2S(390)=2×186无解；当q=5时，由式（5）有 500φ(n1)=2S(590)=2×370无解；当q≥7时，由 式（5）有5q2(q-1)φ(n1)=2S(q90).由引理2有2S(q90)≤ 2×90q=180q.而当q≥7时，有5q2(q-1)≥ 210q＞180q，得出矛盾.

情况4当α=4

当q=2时，由式（5）有40φ(n1)=2S(2120)=2×126无解；当q=3时，由式（5）有 270φ(n1)=2S(3120)=2×243无解；当q≥5时，由式（5）有5q3(q-1)φ(n1)=2S(q120).由引理2有2S(q120)≤ 2 ×120q=240q.而当q≥5时，有 5q3(q-1)≥500q＞240q，得出矛盾.

情况5当α=5

当q=2时，由式（5）有80φ(n1)=2S(2150)=2×154无解；当q=3时，由式（5）有 810φ(n1)=2S(3150)=2×306无解；当q≥5时，由式（5）有5q4(q-1)φ(n1)=2S(q150).由引理2有2S(q150)≤ 2 ×150q=300q.而当q≥ 5时，有 5q4(q-1)≥2 500q＞300q，得出矛盾.

情况6当α=6

当q=2时，由式（5）有 160φ(n1)=2S(2180)=2×184无解；当q≥3时，由 式（5）有 5q5(q-1)φ(n1)=2S(q180).由引理2有2S(q180)≤ 2×180q=360q.而当q≥ 3时，有 5q5(q-1)≥ 810q＞ 360q，得出矛盾.

情况7当α=7

当q=2时，由式（5）有 320φ(n1)=2S(2210)=2×216无解；当q≥3时，由 式（5）有 5q6(q-1)φ(n1)=2S(q210).由引理2有2S(q210)≤ 2×210q=420q.而当q≥3时，有 5q6(q-1)≥2 430q＞420q，得出矛盾.

情况8当α=8

当q=2时，由式（5）有 640φ(n1)=2S(2240)=2×248无解；当q≥3时，由 式（5）有 5q7(q-1)φ(n1)=2S(q240).由引理2有2S(q240)≤ 2×240q=480q.而当q≥3时，有 5q7(q-1)≥7 290q＞480q，得出矛盾.

情况9当α=9

当q≥2时，由 式（5）有 5q8(q-1)φ(n1)=2S(2270).由引理2有2S(q270)≤ 2× 270q=540q.而当q≥ 2时，有5q8(q-1)≥ 640q＞ 540q，得出矛盾.

情况10当α≥10

当q=2 时，由式（5）有 5qα-1φ(n1)=2S(230α).由引理2有2S(q30α)≤120α.而当α≥10 时，有5×2α-1φ(n1)≥5×2α-1＞5×25×2α-6=160×2α-6＞160α，得出矛盾；当q≥ 3时，由式（5）有 5qα-1(q-1)φ(n1)=2S(q30α).由引理2有2S(q30α)≤2×30αq=60αq，则5qα-2(q-1)φ(n1)≤ 60α.而当q≥3时，有 5qα-2(q-1)φ(n1)≥5×2×3α-2=5×2×32× 3α-4＞90α，得出矛盾.

综合以上情况的讨论，可得定理1的结论.

定理2方程（2）2φ（n）=φ2（n）+S（n28）仅有正整数解n=288，1083，1444，2 166.

标准制修订流程是建设测绘标准制修订管理平台的关键性问题。根据国家标准《国家标准制定程序的阶段划分及代码》，标准制修订划分为8个阶段，即提案阶段、草案阶段、征求意见阶段、送审阶段、报批阶段、出版阶段、实施阶段、废止阶段［2］。

情况1当α=1

当q=2时，由式（8）有 3φ(n1)=2S(228)=2×32无解.当q=3时，由式（8）有 6φ(n1)=2S(328)=2× 60，则有φ(n1)=20，结合(q，n1)=1，则n1=25，44，50，因而n=75，132，150.当n=75时，则n28=328× 556，而S(328)=60，S(556)=230，则n=75不是方程（2）的解；同理可得n=132，150也不是方程（2）的解.当q=5时，由式（8）有 12φ(n1)=2S(528)=2 × 120，则有φ(n1)=20，结合(q，n1)=1，则n1=33，44，66，因而n=165，220，330.经检验，n=165，220，330不是方程（2）的解.当q=7时，由式（8）有18φ(n1)=2S(728)=2× 175无解.当q=11时，由式（8）有30φ(n1)=2S(1128)=2× 286无解.当q=13时，由式（8）有 36φ(n1)=2S(1328)=2×338无解.当q=17时，由式（8）有 48φ(n1)=2S(1728)=2×459无解.当q=19时，由式（8）有 54φ(n1)=2S(1928)=2× 513，则有φ(n1)=19，由引理3可知，φ(n1)=19无解.当q=23时，由式（8）有66φ(n1)=2S(2328)=2×621无解.当q=29时，由式（8）有84φ(n1)=2S(2928)=2×812无解.当q≥31时，由引理 2，则由式（8）有 3(q-1)φ(n1)=2S(q28)=56q，因 3∤56且 3∤q，因而 3(q-1)φ(n1)=2S(q28)=56q无解.

情况2当α=2

当q=2时，由式（8）有 6φ(n1)=2S(256)=2×60，则有φ(n1)=20，结合(q，n1)=1，则n1=25，33，因而n=100，132.经检验，n=100，132 不是方程（2）的解.当q=3时，由式（8）有18φ(n1)=2S(356)=2×117无解；当q=5时，由式（8）有 60φ(n1)=2S(556)=2×230无解；当q=7时，由 式（8）有126φ(n1)=2S(756)=2×343无解；当q=11时，由式（8）有 330φ(n1)=2S(1156)=2×572无解；当q=13时，由式（8）有 468φ(n1)=2S(1356)=2×676无解；当q=17时，由式（8）有 816φ(n1)=2S(1756)=2×901无解；当q=19时，由式（8）有 1026φ(n1)=2S(1956)=2×1026，则有φ(n1)=2，结合(q，n1)=1，则n1=3，4，6，因而n=3 × 192=1083，n=4×192=1444，n=6×192=2 166，经检验，n=1083，1 444，2 166是方程（2）的解；当q=23时，由式（8）有 1518φ(n1)=2S(2356)=2×1242无解；当q=29时，由式（8）有2 436φ(n1)=2S(2956)=2×1595无解；当 q=31时，由式（8）有 2 790φ(n1)=2S(3156)=2×1705无解；当q=37时，由式（8）有3396φ(n1)=2S(3756)=2×2 035无解；当q≥41时，由 式（8）有 3q(q-1)φ(n1)=2S(q56).由引理2有2S(q56)≤2×56q=112q.而当q≥41时，有 3q(q-1)≥ 120q＞112q，得出矛盾.

情况3当α=3

当q=2时，由式（8）有 12φ(n1)=2S(284)=2×88无解；当q=3时，由式（8）有54φ(n1)=2S(384)=2×171无解；当q=5时，由式（8）有 300φ(n1)=2S(584)=2×345无解；当q=7时，由 式（8）有882φ(n1)=2S(784)=2×511无解；当q≥11时，由式（8）有 3q2(q-1)φ(n1)=2S(q84).由引理2有2S(q84)≤2×84q=168q.而当q≥11时，有 3q2(q-1)≥ 330q，得出矛盾.

情况4当α=4

当q=2时，由式（8）有24φ(n1)=2S(2112)=2×116无解；当q=3时，由 式（8）有 162φ(n1)=2S(3112)=2×231无解；当q≥5时，由式（8）有3q3(q-1)φ(n1)=2S(q112).由引理2有2S(q112)≤ 2 ×112q=224q.而当q≥ 5时，有 3q3(q-1)≥ 300q，得出矛盾.

情况5当α=5

当q=2时，由式（8）有48φ(n1)=2S(2140)=2×144，则有φ(n1)=6，结合(q，n1)=1，则n1=7，9，因而n=25× 7=224，n=25× 32=288.经检验，此时n=224不是方程（2）的解，n=288是方程（2）的解；当q=3时，由式（8）有486φ(n1)=2S(3140)=2× 285无解；当q≥5时，由式（8）有 3q4(q-1)φ(n1)=2S(q140).由引理2有2S(q140)≤ 2× 140q=280q.而当q≥ 5时，有3q4(q-1)≥ 1500q＞280q，得出矛盾.

情况6当α=6

当q=2时，由式（8）有96φ(n1)=2S(2168)=2×172无解；当q≥ 3时，由式（8）有 3q5(q-1)φ(n1)=2S(q168).由引理2有2S(q168)≤ 2× 168q=336q.而当q≥ 3时，有3q5(q-1)≥ 486q，得出矛盾.

情况7当α=7

当q=2时，由式（8）有 192φ(n1)=2S(2196)=2×200无解；当q≥3时，由式（8）有 3q6(q-1)φ(n1)=2S(q196).由引理2有2S(q196)≤ 2×196q=392q.而当q≥3时，有 3q6(q-1)≥1458q＞392q，得出矛盾.

情况8当α=8

当q=2时，由式（8）有 384φ(n1)=2S(2224)=2×228无解；当q≥3时，由式（8）有 3q7(q-1)φ(n1)=2S(q224).由引理2有2S(q224)≤ 2×224q=448q.而当q≥3时，有 3q7(q-1)≥4 374q，得出矛盾.

情况9当α=9

当q=2时，由式（8）有 768φ(n1)=2S(2252)=2×256无解；当q≥3时，由式（8）有 3q8(q-1)φ(n1)=2S(q252).由引理2有2S(q252)≤ 504q.而当q≥ 3时，有3q8(q-1)≥ 13122q＞ 504q，得出矛盾.

情况10当α=10

当q=2时，由式（8）有 1536φ(n1)=2S(2280)=2×284无解；当q≥3时，由式（8）有 3q9(q-1)φ(n1)=2S(q280).由引理2有2S(q280)≤ 560q.而当q≥ 3时，有3q9(q-1)≥ 39 366q，得出矛盾.

情况11当α≥11

由式（8）有 3qα-1(q-1)φ(n1)=2S(228α).由引理2 有 2S(q28α)≤ 56αq，则 3qα-2(q-1)φ(n1)≤ 56α.而当q≥2时，有 3qα-2(q-1)φ(n1)≥ 3× 2α-2=3×25× 2α-7＞ 96α，得出矛盾.

综合以上情况的讨论，可得定理2的结论.