椭圆方程系数识别问题的正则化解

何 琴，王 谦

(兰州交通大学 数理学院，兰州 730070)

椭圆型方程[1-5]是偏微分方程领域内的一个重要分支，是解决很多实际问题的有力工具.从整个区域上的不精确值识别椭圆方程Dirichlet问题中的系数的反问题，这引起了很多学者的极大关注[6-9].由于这些问题是不适定的，已经有几种稳定的方法来解决他们，其中Tikhonov正则化方法是最著名的方法.虽然有很多论文专门研究这个问题，但是很少有人专门研究这些方法的收敛速度.文献[10-14]研究了Bregman距离意义下线性不适定问题的凸变分正则化的收敛速度，获得了全变分正则化的收敛速度.虽然有许多论文使用不适定问题的Tikhonov正则化，但很少有人专门研究收敛速度.Engl等[15]和Kanagaraj等[16]的论文专门讨论了上述问题的Tikhonov正则化.这些作者使用输出最小二乘法和非线性不适定问题的Tikhonov正则化，得到了某些源条件下的收敛速度.但是使用非凸泛函，很难找到全局极小值.在本文中，不使用输出最小二乘法，而是将Tikhonov正则化方法应用于求解原问题的新能量泛函，获得该方法的收敛速度.

本文讨论了具有齐次边界Dirichlet椭圆方程的系数识别问题，陈述如下：

问题考虑如下椭圆型方程系数识别问题

(1)

u=0,在∂Ω上.

(2)

其中:Ω是d,d≥1中具有Lipschitz边界∂Ω的开有界连通域，已知f∈L2(Ω)，c是未知系数，通过u在Ω上的观测值来反演c.利用能量泛函和Tikhonov正则化方法，可获得正则化解的收敛速度.构造如下泛函

(3)

其中：ρ>0是正则化参数；c*是c的先验估计.

1 问题设置

在本节中，主要证明了问题(1)～(2)存在唯一的解，给出解的估计，并提出了相应的反问题.

(4)

A2={a∈(L∞(Ω))n|0<|a|≤a1},

(5)

(6)

其中:

(7)

(8)

2 Tikhonov正则化

(9)

(10)

由于问题是不适定的，使用Tikhonov正则化方法求解它.即求解最优化问题

其中：ρ>0是正则化参数；c*是问题真实系数的先验估计.

下面将介绍c*为最小范数解的概念，并概述了U(c)的一些性质.

引理1集合

在L2(Ω)-范数下是非空凸的，有界闭集.因此问题

有唯一解cz，它被称为识别问题的c*是最小范数解.

对于此引理的证明，可参考文献[17].

(11)

(12)

(13)

其中α>0.对任意的h∈L∞(Ω)，由Lax-Milgram引理，得到变分等式

(14)

‖η‖H1(Ω),

又因为

所以

‖h‖L∞(Ω)‖U(c)‖H1(Ω)‖η‖H1(Ω).

因此，

‖U(c)‖H1(Ω)‖η‖H1(Ω).

根据上一个不等式和式(6)，得下面不等式

(15)

由式(14)η的定义，得到

令v=U(c+h)-U(c)-η，由上式可得

所以

因此

‖η‖H1(Ω)‖U(c+h)-U(c)-η‖H1(Ω).

‖η‖H1(Ω)‖U(c+h)-U(c)-η‖H1(Ω).

根据上一个不等式和式(15)即得

引理证明完毕.

注1由于泛函Gzδ(c)的二阶Fréchet导数的部分项

(c)h2·(U(c)-zδ),

对于此定理的证明，可参考文献[17].

对于此定理的证明，可参考文献[17].

3 收敛速度

因为L∞(Ω)=L1(Ω)*⊂L∞(Ω)*，对任意的c∈L∞(Ω)，有c∈L∞(Ω)*.于是对任意h∈L∞(Ω)有

(16)

和

‖c‖(L∞(Ω))*≤mes(Ω)‖c‖L∞(Ω).

是连续线性算子(见引理2).则U′(c)的对偶算子为

因此对任意的w*∈H-1(Ω)和h∈L∞(Ω)有

(17)

(18)

φρ=0,在∂Ω上.

(19)

在H1(Ω)中的唯一解族.则存在一个常数M>0，使得对任意ρ∈(0,1)有

(20)

又因为

所以

使用分部积分公式和Cauchy-Schwarz不等式得

于是

(21)

根据假设条件，存在一个常数M1>0，使得对任意的ρ∈(0,1)有

由上式和不等式(21)，对任意的ρ∈(0,1)有

(22)

根据式(22)和Poincaré-Friedichs不等式，有式(20)成立.

引理证明完毕.

定理3假设存在函数w*∈H-1(Ω)使得

cz-c*=U′(cz)*w*.

(23)

则当ρ→0,ρ～δ时，

于是

(24)

(25)

对不等式(24)右边的第二项，根据等式(16)和(23)有

(26)

根据式(25)和式(17)可得

(27)

(28)

(29)

考虑下列椭圆方程Dirichlet问题

(30)

φρ=0,在∂Ω上.

(31)

由分部积分得

(32)

(33)

由式(27)～(28)和(33)可得

(34)

根据不等式(29)～(34)得到

(35)

(36)

根据式(4)和(11)得

根据不等式(9)得到

(37)

由不等式(29)知，{φρ}ρ∈(0,1)在H1(Ω)-范数是有界的.因此由引理4知，存在一个只依赖于Ω的常数M>0，使得对任意ρ∈(0,1)有

(38)

根据式(38)和式(35)可得

(39)

联立(35)～(39)推出

(40)

(41)

根据不等式(24)，(25)和(40)和(41)可得，当ρ→0,ρ～δ时

即

定理证明完毕.