动态几何软件辅助下线段最值微专题设计

初中数学中的动点问题是一个开放性、综合性很强的问题，范围广泛，是学生的学习难点，同时也是教师的教学难点。动点问题蕴含的几何模型、思想方法值得教师深入研究。如何呈现动点轨迹连续变化过程，让学生头脑中想象的图形得以外显？教师可以借助可视化工具加以实现。

一、动态几何软件和微专题教学

（一）工具及其应用优势

GeoGebra是新一代动态几何软件，具备强大的数学研究和教学展示功能。该软件的界面分为三个主要操作区，即代数区、几何区和表格区。该软件在演示几何和代数同步变化方面更具有优势，可以同时呈现数与形的对应变化。越来越多的研究者将该软件应用于几何教学、函数问题探究中，在探究动态问题方面研究较为深入。黄晨璐和张维忠应用该软件设计了一些课例，如二次函数、勾股定理、圆周角定理等;李乐则采用实验研究法，验证了在动态问题的教学中应用GeoGebra可以优化教学效果。

旋转变换的主从联动问题在已有研究成果中非常少见，在教学过程中也没有得到足够的关注，尤其这类问题中的线段最值问题，还没有形成系统的问题解决方法。为更加深入地研究线段最值问题，笔者借助软件的可视化功能进行专题设计，理清研究思路，归纳有效的问题解决方法。

（二）微专题教学的内涵

数学的微专题教学是选择一个核心问题作为研究课题，以专题的形式从问题或知识的基本形式开始，9wy+NU9RlNBgwkKNp8znZw==沿一条清晰的脉络由浅入深、循序渐进地教学。其中，选择的核心问题可以是某个知识点，也可以是某种题型或某种解题方法。

从知识结构方面来看，微专题的划分没有明确的标准，在一个微专题下还可以继续细化，形成包含更小的微专题。教师需要围绕核心问题，根据学生的实际情况，选择适当的内容和适宜的深度对微专题进行设计，旨在使不同层次的学生能够参与到教与学活动中，让学生在已有的知识水平基础上提升学习能力以及对问题的分析能力^[1]。

二、旋转的主从联动微专题设计思路

初中数学中的线段最值问题很常见，如最短路径问题，又如利用轴对称和线段转化解决问题，再如函数背景下的线段最值问题，师生可以采用数形结合的方法，将线段长表示成函数解析式，根据函数性质解决问题。教师解决常见的线段最值问题基本上形成了比较成熟的方法。然而，旋转变换的主从联动问题对于大多数人来说略显陌生，事实上在多地中考试题中都有它的身影，但少有研究者探寻此类问题的解法。笔者选择这一核心问题，设计微专题，初步探索此类问题的常规解法。

（一）研究问题

旋转是初中数学中典型的图形变换。旋转有如下性质：①旋转前后的图形全等;②对应点与旋转中心所连线段相等;③对应点与旋转中心所连线段的夹角相等，且为旋转角。

若在旋转变换中融合探究动点问题，则还可得到关于动点轨迹的特征（如图1），点为旋转中心，∠=，线段绕点顺时针旋转，这就是典型的旋转变换。若此时点是一个动点，则点的运动情况是由点决定的，此时点称为主动点，点称为从动点，两个点是同时运动的，称之为主从联动。在这种情况下，由于在点的运动过程中，每个点经过旋转变换，都会有唯一的点与之对应。因而，点的运动轨迹就与点的运动轨迹完全相同。若点沿直线运动，则点也沿直线运动，并且从起始点到终止点形成的路径相等;若点的运动轨迹是圆，则点的运动轨迹也是圆，两个圆的半径相等，并且两圆心与旋转中心所连线段夹角是旋转角。

（二）设计思路

根据发现学习理论和建构主义理论，学生凭借自身的知识和经验以及对问题情境的直观感受进行学习，才易于理解并记忆知识，利于今后在类似的情境进行正向的知识迁移，培养自主探究能力以胜任独立研究工作^[2]。视听教学理论提出的核心“经验之塔”将学生从学习中获得的经验由“具体”到“抽象”分为做的经验、观察的经验和抽象的经验三个层次。在学校教育中，教师应用各种教学媒体，可以让学生学习体验感更好，从而获得更强的抽象思维能力。位于塔中层的视听媒体，较语言、视觉符号，能为学生提供更具体和易于理解的经验。换句话说，利用各种软件（或媒体）教学，可以更好地帮助学生建构抽象符号所表达的知识。

根据上述理论，笔者沿两条主线对旋转的主从联动问题中的线段最值问题进行微专题设计（如图2）。显性层面，学生从初步认识旋转的主从联动问题的基本模型结构，到能够直接应用该模型的结论解决简单问题，最终提升到能够掌握解决这一类问题的方法。隐性层面，教师设计微专题时要注重学生的数学活动经验的积累：首先，让他们积累“观察”的经验，通过观察寻找共同点，初步认识模型;进而，积累“做”的经验，学会在问题中找到模型并应用模型，体会动态图形运动的连续过程;最后，积累“抽象”的经验，建构这一类问题解决方法的抽象模型，并运用它解决遇到的新问题。

上述两个层面的微专题教学目标的达成，可以基于软件来完成。教师可利用软件将动点问题连续动态地加以呈现，再化动为静，化繁为简，从中找出基本模型。教师通过由浅入深的问题引导，让学生对相关方法逐步了解。在软件的支持下，显性和隐性这两条主线相互促进，从而使学生在微专题的学习过程中，达成提升学习能力、完善知识结构、积累活动经验、习得思想方法的目标。

三、旋转的主从联动微专题设计案例

关于线段最值问题，学生已掌握几种常见的判断何时取得线段最值的方法。例如：垂线段最短;两点之间线段最短，以及以此为依据的三角形三边关系;圆内（外）一点与圆上的点所连线段的最值关键点是该点与圆心所连直线与圆形成的两个点。在微专题的各环节设计中，笔者根据学生现有知识基础，进一步探索“旋转的主从联动问题中的线段最值问题”该如何解决。

（一）探寻轨迹，提炼模型——借助软件发展几何直观

【例1】如图3所示，已知边长为6的等边Δ中，是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转60°得到，连接，则在点运动的过程中，当线段的长度取得最小值时，求线段的长度。

上述题目是典型的旋转变换的主从联动问题，主动点是，从动点是，且运动轨迹为直线。在此环节，笔者设计了如下两项教学活动。

【活动1】教师出示题目，让学生思考一系列问题：点的运动受哪个点影响？点的运动轨迹是怎样的？线段何时取得最小值？

教师通过提问让学生明确点和点的密切联系，启发学生思考。为探寻轨迹，教师让学生选取任意的3个或多个点的位置，用软件实时呈现相应的点的位置，尝试观察点可能的运动轨迹（如图4）。

【活动2】通过活动1，学生能够猜想点的轨迹是一条直线。为验证猜想，教师用软件追踪点的轨迹，动态呈现点运动的连续过程。

通过这两个教学活动，学生已经知道点的运动轨迹，但对于旋转的主从联动问题认识并不清晰。此环节，教师使用一连串的问题引导学生提取关键信息。问题串预设如下：①点从何而来？点的运动由哪个点触发？②点如何运动？③在点和点的运动过程中，哪些点、线段、角是不变的？④你能提取与运动过程有关的基本结构吗？

这一连串提问旨在引导学生通过思考剔除无关信息，提炼基本的旋转主从联动模型。

当学生有了清晰的认识后，教师借助软件再次呈现：主动点的轨迹是圆、抛物线、双曲线等其他形状时，从动点的运动轨迹同样在发生变化。教师通过这种动态演示，让学生认识并掌握旋转的主从联动问题的基本模型和基本结论。

初中阶段，动点轨迹多为直线和圆，因此要特别关注主动点的轨迹是圆的背景下，主动点与从动点的圆心之间的关系，为后面的变式练习作铺垫。

此环节是学生初步认识旋转的主从联动模型的基本结构和结论的起点。教师借助软件，进行直观展示，让学生积累“观察的经验”。

（二）应用模型，解法初探——借助软件清晰演示

完成前面环节的教学后，教师引导学生用相应的结论尝试解题。既然已经发现点的轨迹是一条直线，根据两点确定一条直线，可以画出点的轨迹。由于点是定点，根据垂线段最短可知，当垂直于点的运动轨迹时，线段取得最小值（如图5）。

教师利用软件将点移动到取得最小值的位置后，继续下一阶段的解题。易证Δ≌Δ（SAS），可知∠=30°，又由=3，=3 ，易求== ，故当取得最小值时，的长为。

这一环节是对模型的第一次应用，并且将线段的最值问题划归到学生熟悉的垂线段最短问题，让学生初步积累“做的经验”。

（三）再探本质，解法进阶——借助软件变化条件

仔细思考本题的解法，学生可能会提出质疑 ：连接，通过证明Δ ≌Δ ，发现，既然∠是一个定角，那么点自然是在一条直线上运动，从这一角度也可以解决这个问题。

此时，是对模型本质深入探究的最佳时机。此题的全等结论是基于等边三角形的内角是60°，旋转角也是60°才可证的。若旋转角改变度数，则无法通过这种方法求解。此时，教师用软件变化题目条件，将旋转角变为90°，让学生观察此种解法的局限性。

教师带领学生再思考。旋转的主从联动问题，根本是旋转，可以通过旋转去转化线段，再解决最值问题。教师提取题目中的关键信息“以点为中心旋转”“使线段取得最小值”此时将二者信息组合，形成Δ，这里仅有一个动点，将该三角形绕旋转中心点逆时针旋转60°（即旋转角的度数），目的是将点旋转回起始位置（即与点重合），旋转后的三角形为Δ，且点为中点。根据旋转的性质可知，=，问题就转化成：点为定点，点在直线上移动，线段的长度取得最小值，根据垂线段最短，易知点的位置，求长度（如图6）。

此环节，教师从学生存疑的地方切入，引导学生抓住这一模型的本质（旋转），掌握解决这类最值问题的通法。抛开动点的运动轨迹，将问题回归到垂线段最短的类型，让学生积累“抽象的经验”。

（四）变式练习，掌握方法——借助软件突破难点

在解题过程中，除了运动轨迹为直线的问题，更为常见的是轨迹为圆的问题，对初中生来说，探究轨迹圆在构图、绘图、识图上都存在一定困难。教师用软件很好地呈现轨迹圆，更好地帮助学生理解旋转的主从联动问题，并利用相应的结论很好地解决问题，突破难点。

【例2】如图7所示，正方形中，=，是边的中点，是正方形内一动点，=2，连接，将线段绕点逆时针旋转90°得，连接、。求线段长的最小值。

此题是典型的旋转的主从联动问题，定点为，主动点为，从动点为。由于为定值，是正方形内一动点，且<，故此时点的运动轨迹为以点为圆心，为半径的半圆。根据模型的结论，可知点的运动轨迹，再求得线段长的最小值。

在教学过程中，教师设计了如下教学活动。

【活动1】教师出示题目，请学生找出题中的旋转的主从联动模型，并根据条件判断主动点与从动点的轨迹，画出两个动点的轨迹。

设计这一活动是为了让学生从复杂的问题中提炼基本的模型再进行分析。学生在绘图过程中存在一定的困难，此时教师用软件帮助学生画出动点轨迹，引导学生关注圆的关键要素——圆心和半径，从而确定位置。由于不是完整的轨迹圆，学生需要关注主动点的起始、终止位置以及某个途经位置，确定真正的轨迹（如图8）。

【活动2】完成上面的活动后，由学生尝试解题，再次引导学生思考：能否仿照例1，思考进阶解法，抓住问题本质，用旋转的方法解决例2？

在前面的教学环节，教师引导学生解决了动点轨迹为直线的问题，对于例2仿照例1，进行模型的直接应用，又引导学生抓住本质，用通法加以解决。这样做是为了引导学生深入理解，不管运动轨迹如何，旋转的主从联动问题本质在于旋转。根据例1的进阶解法，可知只需要将所要求最值的线段与旋转中心，组合成Δ，并将此三角形绕点顺时针旋转90°（即旋转角度数），使旋转后的与重合，即可将所要求的线段的最值问题转化成的最值问题（如图9）。

师生通过旋转变换，就可以将看似复杂的线段最值问题转化成熟悉的三角形三边关系求最值问题，当三角形三边共线时取得最值，从而解决问题。教师通过这一环节的设计，让学生的知识结构更加完整。

初中数学中的动点问题是教学难点，教师在教学中如果只是就题论题，以解题为最终目标，很难让学生参透本质、举一反三，也不易获得理想的教学效果。教师在解题教学中采用微专题的形式，帮助学生用一条主线串起零散的问题是很有必要的。对于一些动态问题，教师在微专题的设计中要注重可视化技术的应用，让学生从“看得见”的问题开始，逐步掌握抽象的符号知识和模型结构。实践证明，应用专业软件贯穿动点问题的解题教学过程，可以直观呈现学生不易想象的动态轨迹，提升学生的参与度，优化学生的学习过程，使课堂更加“精彩”。

注：本文系国家出版融合重点实验室、人教数字教育研究院规划课题“GeoGebra软件在初中数学动点问题中的应用研究”（课题批准号：RJB0220004）研究成果。

参考文献

[1] 李宽珍.数学微专题教学的特征、策略及方法[J].教学月刊·中学版（教学参考），2016（9）：3-7.

[2] 刘蕙萱.运用GeoGebra软件辅助初中数学教学效果研究[D].南昌：南昌大学，2014.

（作者胡玺舜、佘文娟系天津师范大学滨海附属学校教师）

责任编辑：祝元志