仿真程序在初中数学中的应用

当今，信息技术已经融入人们生活学习的方方面面。《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出：要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去^[1]。如何有效借助信息技术，使之更好地与初中数学教学相结合呢？ 一直以来，二次函数是初中教学的重点和难点，学生学习和理解有一定困难。笔者以PhET互动式仿真程序为载体，探讨二次函数的图象和性质，进一步渗透数形结合思想，激发与增强学生学习数学的兴趣与信心。

一、关于仿真程序PhET

PhET是Physics Education Technology的缩写，译为物理教育技术。诺贝尔物理学奖获得者卡尔·威曼于2002年发起PhET物理教育科技计划，并在科罗拉多大学进行研发与试验，帮助学生更好地了解科学，提升学生的科学素养。随着计划的不断推进以及越来越多教育工作者的参与，适用于化学、生物学、地理及数学等学科的互动仿真程序开始出现，PhET已超出最初的构想，但是为了维持名称的一致性，并没有因学科不同而改名^[2]。卡尔·威曼研究了PhET仿真程序教学，强调仿真程序的特别之处在于“它可以模糊讲课、作业、课堂活动、实验之间的界限。其原因在于一个仿真程序可以通过类似途径应用于以上所有的教学活动中……同时仿真程序在教师和学生之间提供了一个同等的形象化，这种形象化可以促进交流与教学”^[3]。

PhET仿真互动程序网页版界面汇集了非常丰富的教学资源。目前，PhET的应用覆盖小学、中学和大学学段，涉及物理、化学、数学、生物学和地球科学五大学科^[4]。以数学学科的仿真程序为例，主要分为数学概念和数学应用两大部分，数学概念部分的程序涉及整数、分数、三角函数和向量等内容。数学应用不局限于数学学科，与物理学科也有交叉融合，如电线的电阻、斜抛运动等知识。PhET的界面简洁，其中的仿真程序也比较有趣，适于探究。教师应用PhET可以寓教于乐。

二、交互式仿真教学案例分析

二次函数是人教版数学教材九年级上册第二十二章的教学内容，这部分是初中板块的重难点。目前，国内将PhET与数学教学相结合的案例较少，更谈不上广泛应用。

在二次函数的新授课环节，教师一般引导学生从一些生活实例出发，比如观察篮球运动轨迹，抽象出二次函数的数学模型，得出二次函数的定义和一般表达式。然后，引导学生从最简单的形式=²开始，应用五点作图法，探究系数与函数图象的关系。接着，引导学生得出图象向上、向下、向左、向右平移的表达式。学生掌握平移比较难，需要花费大量时间。由于这一章节的知识体系庞杂，学生学习完之后，不能很好地将各部分知识整合在一起。在复习课环节，笔者借助PhET仿真程序，组织数学活动，让学生动手验证新授课上获得的结论，加深认知与理解，总结形成知识框架。对于二次函数图象部分，开展了以下四次数学活动。

（一）探索

使用者进入PhET网页版后，选择仿真程序中的数学，点击进入二次函数图象界面，即可具体操作。笔者选择探索部分。探索部分设置了表达式=²++，同时还单独给出了相应的二次项、一次项和常数项（如图1）。笔者移动滑动方块，在一定范围内任意改变二次项、一次项的系数和常数项，让学生更好地认识各个部分的系数与二次函数图象的关系。

1.仅改变二次项系数

显而易见，二次项系数与函数图象形状、开口大小、方向有关。二次项系数的绝对值越大，图象开口越小;二次项系数的绝对值越小，图象开口越大。当二次项系数>0时，图象开口方向向上;当二次项系数<0时，图象开口方向向下;当二次项系数=0时，图象不再是抛物线，变成一条直线。由此，让学生加深对二次项系数不能为0的理解。

2.仅改变一次项系数

观察可知，一次项系数和函数图象的开口大小和方向都无关，图象向左或者向右移动，但不是平移。

3.仅改变常数项

观察可知，常数项和函数图象的开口大小和方向都无关，图象向上或向下平移。

通过探索，学生知晓二次函数图象与系数、和的关系。为什么二次函数图象的形状、方向、大小由二次项系数唯一确定，与、无关，而位置却由、、共同确定呢？笔者将二次函数的表达式=²++进行配方，得： 。它的图象是由=²的图象经平移得到，平移不会改变形状、开口大小和方向，所以二次函数图象的形状、大小、方向由二次项系数唯一确定。从配方后的形式也可以看出，图象的对称轴为=- ，顶点坐标为（- ， ），所以图象位置由、和共同确定。

（二）推究标准式

仿真程序中，标准式部分设置了表达式=²++，同时还单独给出了相应的顶点、对称轴、根、等式和坐标（如图2）。笔者将教学重点放在根，即总结二次函数和二元一次方程的关系。通过前面的学习，学生知晓二次函数的图象=²++与轴的位置关系有三种：没有公共点;有一个公共点;有两个公共点。这三种关系分别代表一元二次方程²++=0的根的三种情况：没有实数根;有两个相等的实数根;有两个不等的实数根。通过改变系数，学生可以验证结论。同时，学生也可以将二次函数和不等式联系起来，探究当=²++>0和=²++<0时，相应的的范围。

（三）探究顶点式

在二次函数的标准式中，学生能由的正负判断出函数图象开口方向。在顶点式=（-）² +中，学生不仅可以清楚判断函数图象的开口方向，而且能直观得出图象的对称轴=和顶点坐标（，）。此外，在含有顶点的区域中，学生可以快速求出函数的最大值或最小值。笔者通过配方将标准式化为顶点式，其中=- ，= ，而将顶点式化标准式则去括号合并同类项即可。

在这部分，笔者引导学生探讨=²、=²+和=（-）²图象的关系（如图3）。对于图象向上向下平移，学生掌握较为扎实;对于向左向右平移，则经常将正、负号搞混淆，掌握不扎实。笔者借助PhET，说明“上加下减”和“左加右减”。

1.仅改变系数

观察可知，仅改变系数，图象的开口大小、方向和对称轴均不发生改变。当增大个单位长度时，图象整体向上平移个单位长度;当减小个单位长度时，图象整体向下平移个单位长度。

2.仅改变系数

观察可知，仅改变系数，图象的开口大小、方向和顶点的纵坐标均不发生改变。当增大个单位长度时，图象整体向右平移个单位长度;当减小个单位长度时，图象整体向左平移个单位长度。

笔者借助PhET仿真互动程序，让学生更加生动直观地看到平移的情况，加深对函数图象平移的理解。

（四）探究焦点和准线

仿真程序中，焦点和准线部分设置了表达式 ，同时还单独给出了相应的顶点、焦点、准线和抛物线上的点。笔者组织相关活动是让学生简单了解抛物线的焦点和准线。笔者提问“抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离有什么关系”引发学生思考，为后续他们在高中阶段进一步学习抛物线作铺垫。

三、总结

（一）优点

1.有利于提高学生学习探究的主动性

PhET仿真程序网页版的界面设计简洁明了。只要教师稍加指导，学生便能进行相应的操作。这有利于激发和增强学生探究的兴趣和信心。系数可以在一定范围内随意变化，比单独的五点法作图得结论更加便捷。相比较传统的教学模式，PhET有其特有的优点：学生除了课堂的活动探究外，课下或者课外也可以操作，应用生动直观化的互动仿真程序，进一步提高学习的积极性和探究的主动性。

2.有利于多维度理解知识的本质

传统模式下，教师讲授二次函数时偏向于抽象化教学，比如从实际问题提出二次函数的模型，让学生用五点法画图，这样教学可以促进学生从抽象思维的角度掌握知识，理解知识。借助PhET互动仿真程序，教师还可以从直观思维的角度入手，进行可视化教学，将抽象思维和直观思维相结合，促进学生多维度理解知识的本质。

3.有利于多种数学思想与方法的渗透

二次函数包含很多重要思想，如数形结合思想、建模思想、函数思想、化归思想、分类讨论思想等。函数有两个典型特征：一是解析式;二是图象。从解析式出发，可以进行代数推理;从图象特征出发，可以研究数与形的结合。学生通过二次函数的学习，借助PhET互动仿真程序，可以更好地掌握数形结合思想^[4]。令二次项系数为0，图象变为一次函数（如图5），学生可以进行一次函数和二次函数图象的对比学习，体会类比思想。再如，探讨一元二次方程²++=0的根的三种情况，就体现了分类讨论的思想。

（二）局限

1.更适合自主能力强的学生

PhET互动仿真程序的应用不可避免地存在一定的局限性。例如，在教学中，给学生10分钟自行探究，部分学生可能不知道应该做什么，无所事事。互动仿真程序更适合那些自主学习能力较强，具有较好的自我计划、自我监控能力的学生^[5]。很多学生学不好，不是因为知识难，而是因为不知道如何学。不知道如何学是教学的难点，这对教师是一个考验。

2.PhET界面内容有待进一步完善

二次函数的表达式常见的有三种形式：一般式、顶点式和交点式。PhET互动仿真程序的二次函数图象涉及一般式、顶点式和焦点准线式，但是没有涉及交点式。笔者认为PhET网页版还可补充二次函数交点式并加以延伸拓展，供学有余力的学生钻研。交点式的形式为=（-）（-），其中不等于0，仅图象与轴有交点时满足。交点式由韦达定理和一般式联立得到。

初中处于小学和高中衔接过渡的学段，除了知识的传授外，教师还要注意培养学生的探究和创新能力，提高他们学习数学的兴趣和信心。PhET互动仿真程序作为一种信息技术工具与资源，为信息技术与数学教学融合提供了平台。笔者以“二次函数图象”为例，借助信息技术，引导学生全面复习总结了二次函数的图象和性质。笔者认为，该部分的教学应以传统方式为主，以信息化方式为辅，相辅相成，提高教学效果。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2011年版[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 陈江涛.互动学习工具PhET的发展进程分析与本地化改造[J].软件导刊，2014，13（4）：196-198.

[3] Wieman C E， Adams W K， Loeblein P，et al. Teaching Physics Using PhET Simulations[J]. The Physics Teacher，2010，48（4）：225.

[4] 王慧.抓住关键点 探究新方法——二次函数图象与性质学习要点[J].基础教育论坛（下旬刊），2020（1）：60-62.

[5] 杨婉秋，李淑文.美国信息技术与中学数学课堂教学“深度融合”的实践探索——以PhET数学互动仿真程序的研发与应用为例[J].外国中小学教育，2019（8）：69-70.

（作者刘翠系苏州大学数学科学学院研究生;程广文系泰州学院教育科学学院院长，教授）

责任编辑：祝元志