小学数学教学中数感的培养

● 华中师范大学附属保利南湖小学 危 雄

在《义务教育数学课程标准（2011版）》（以下简称《标准》）中提出的十个核心概念中，“数感”居于首位，它是形成和发展运算能力、数据分析能力和推理能力等各种数学能力的前提和基础。

《标准》 中指出：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中“数”的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”这一表述，对数感进行了界定，对其作用进行了描述，但还是略显抽象，我们不妨先来看两个例子。

案例1：一位学生计算一组数据的平均数后进行展示。

（15+17+14+16+18）÷5

= 90÷5

= 18

另一位学生立刻举手示意这位学生肯定算错了，他认为，这组数中最大的数才是18，平均数不可能是18。在这组数中，平均数不可能等于最大数，这就是数感。数感好的学生，往往能对数学问题作出更迅速、准确的判断。

案例2：在一节数学活动课上，老师提出：如果我们能够把一张纸对折27次，那么，它的厚度就可以超过世界最高峰的高度，你们相信吗？

学生表示出强烈的质疑，他们难以相信，薄薄的一张纸的简单对折，怎么可能会达到世界最高峰的高度。直观感觉与计算结果之间产生了一个巨大的反差，吸引学生投入到接下来的数学探索活动中。

对纸对折后的厚度进行想象，其实也是一种数感，当这种数感与新信息产生冲突时，会刺激学生产生强烈的好奇心和探索欲，进而使学生以极大的热情投入到学习活动中。

可以看出，在数学的教与学中，数感都发挥着重要作用，下面结合教学实践，谈谈小学数学教学中对学生数感的培养。

一、在数的认识中完善数感

对数的认识是数感培养的基础，学生对数的认识是逐渐“丰满”起来的，在这个过程中，教师应抓住机会，完善他们的数感。

（一）从数字到数位

学生对整数的认识要经历数字、数位、数级三个阶段。

数字：数字的认识，包含读法、写法、组成等，这些是显性的；还包含着对应关系，不同的表达方式等，这些是隐性的。将这些显性与隐性的认识合起来，就组成了对数字的数感。

数位：数位的体验源自“满十进一”，因为“满十进一”，所以同样的数字，在前一位上表示的大小是后一位上表示的大小的10倍，也就是所谓的“十进制”，不同位置表示不同大小，这就整合成了对数位的数感。

数级：数级的概念是在较大数的认识中建立起来的。因为有了数位，以及由个位、十位、百位、千位四个数位组成的数级，有限的数字可以写出无穷多的数。这种体会就构成了对数级的数感。

（二）从一个到半个

在整数中，计数单位都是由1组成的，到了分数的学习，这个规律就被打破了，分数在计数时是半个半个数（如二分之一），小半个小半个数（如三分之一、四分之一……），它们不是由1组成的，而是由1分解而来的。还有对单位“1”的认识，这个单位“1”可以是1个物体，也可以是许多个物体，“1”从一个数变成了一个“单位”。这些认识的突破、差别的体会是丰富学生数感的机会。

（三）从精确到近似

数数，是一一对应的。如在数轴上，一个数就对应一个点，但是，认识了近似数后，数就表示一个区间了。比方说，一个数的近似数是20，它对应的不再是一个点，而是从15到24之间的一条线。这种对学生原有认识的挑战，也是一次发展学生数感的机会。

（四）从确定到可能

有些数的大小是确定的，但也有一些数是不确定的，比方说一个苹果，我们不知道它的质量，可以说这个苹果的重量是x克，用字母来表示不确定的数。将数学的抽象、简洁之美展现在学生面前，有助于培养学生的数感。

（五）从绝对到相对

认识“负数”之后，数不仅可以表示“多”与“少”，还可以表示一种标准，这是对数的认识的又一次突破。比如，0摄氏度不是没有温度，而是一个分界线，因此，数就有了相对性。又如，三个同学的身高分别是150厘米、145厘米和140厘米，如果以第二个同学的身高145厘米为标准，那么第一个同学的身高就可以表示为5，第三个同学的身高就可以表示为-5。这种体验，也会成为数感的一部分。

二、在经验积累中强化数感

在学习和生活中，学生积累的数学经验越丰富，对数就会越敏感，数感也就越强。

（一）重视直观感知

老师可以让学生了解：操场跑道的长度大约是多少？跑一圈大概需要多长时间？操场的面积有多大？操场上能站多少名学生？一捧绿豆大约有多少粒？一捧绿豆大约重多少克……引导学生在活动中充分体验，提高他们对物体数量直观感知的准确性，从而强化数感。

再如，引导学生把1米和10米进行对比，一大捆小棒与一小捆小棒进行对比，一袋糖与几颗糖进行对比……让他们在观察、比较的过程中，感受大数与小数的倍数关系，为今后进行数量判断积累经验。

（二）了解生活常识

以速度为例，一般人步行的速度是每小时3到4千米；百米赛跑的世界纪录是9秒多，也就是每秒可以跑10米多；小汽车在市区行驶的速度大概是每小时30到40千米左右，在高速上可以开到每小时100多千米；高铁的速度可以达到每小时300千米……学生了解到这些常识，就能在解决问题时，对相关数据的可能范围进行预估，对其合理性进行判断，使数感得到加强。

再如，让学生通过调查、讨论，弄清楚身份证号、学号、住址的邮政编码、门牌号、手机号、汽车牌照号、火车票上车次号的规律和意义，可以帮助他们对生活中的数字信息作出合理的推断与解释，能更快、更有效地提取环境中的数字信息，建立良好的数感。

（三）记住特殊例子

如一些特殊的数：100以内因数个数最多并且最小的数是60，这也是为什么规定1小时是60分钟的原因；1、2、3……9、10的最小公倍数是2520，这也是金字塔内神秘的数；1001可以分解为7、11、13这三个数的乘积，所以把任意一个三位数连续写两次得到的六位数，一定是7、11、13的倍数……

再如，一些特殊的规律：相同的日期，隔一年星期数会增加1；正方形的面积等于对角线的平方除以2；一个奇数的平方除以8一定是余1的……

记住这些特殊的例子，一是可以引导学生探索其背后蕴含的数学原理，加深学生对数的理解；二是可以利用这些经验，更灵活地作出数学判断，形成更有效的策略。这些都能促使学生的数感得到进一步发展。

三、在计算教学中巩固数感

数感是可以“算出来”的，计算是培养小学生数感的重要途径。在计算过程中，数感好的学生往往能表现出更多的灵活性和创造性。

（一）弄清算理

在学计算时，算理是关键，教师可以让学生结合具体情境理解算理，算理弄清楚了，各种新颖独特的算法就产生了。

以“两位数乘两位数”为例，一支钢笔32元，12支钢笔多少元呢？列式是32×12。计算时，我们可以先算10支钢笔的钱数，再算2支钢笔的钱数，最后加起来。所以计算时就可以变成：

32×12=32×10+32×2=320+64=384。

这其实就是最基本的乘法计算的算理，弄清楚后，就可以很容易理解竖式的含义，还能引出许多简单、有趣的计算方法。

比如，一个两位数乘11的方法，可总结为“两头一拉，中间一加”。以“32×11”为例，将数字3、2分别写在百位和个位，3与2的和写在十位，就得到其结果352。

再比如，一个两位数乘101，只需要把这个两位数连续写两遍就可以了。如计算32×101的结果，就是把32连续写两遍，得到3232。

算理弄清楚了，学生不仅知其然，而且知其所以然，这样计算的过程就会变得丰富多彩，数感也会越来越好。

（二）鼓励心算

如果教师在教学中经常要求学生使用心算，而不是竖式，学生就会积极进行计算策略的选择，而这个选择过程其实就是不断地寻找数与数之间联系的过程。

例如：当学生看到99时，可以想到90+9，100-1，11×9，33×3……

于是，当他计算99+54时，会把99看作100，加上54后再减1，心算一下就知道结果是153；当他计算99+55+22+44，会发现这些数都是11的倍数，一共是20个11，也就是220。

学生建立的数与数之间的联系越多，计算的方法也就越多样，过程就会越来越摆脱模式的限制，从而数感也就越强。

（三）加强估算

数感与估算都有一种模糊性，两者有着密切的关联。同时，估算也能反映学生对情境中数的范围与数量间关系的一种大致理解。

例如：一本书48元，买106本书需要准备多少元？学生可能会采用不同的估算方法：

（1）48×106≈50×106=5300元

（2）48×106≈48×100=4800元

（3）48×106≈50×100=5000元

（4）48×106≈50×110=5500元

以上几种估算方法，哪一种更合理一些呢？

第二种估法算起来方便，但把结果估小了，带的钱肯定不够用；第三种估法，把一个乘数估大一些，一个乘数估小一些，估出的结果应该是和准确值最接近的，但也可能存在带的钱不够的情况；第四种估法，钱肯定是够了，但与准确值相差会比较大；相对来说，第一种估法是比较合适的。

所以，在对计算结果的估计过程中，学生知道估算时不仅要使计算方便，结果尽量准确，而且要符合实际情况，这样数感就得到了锻炼。

四、在解决问题中激活数感

绝大多数实际问题都会涉及数，在应用所学数学知识解决问题的过程中，自然而然地会用数感进行推理思考，使数感得到激活。

（一）在生活情境中用出数感

教师应引导学生在解决问题时，自觉搜索与之匹配的数量关系，建立它们之间的联系，帮助学生用数学思维理解现实问题，从而发展数感。

例如：下面是我国著名数学家陈景润的介绍，请你从括号中选择合适的数把它补充完整。

陈景润爷爷是中国著名数学家，他出生于_____年。

陈景润爷爷主要从事解析数论方面的研究，他废寝忘食，每天工作_____小时以上，_____世纪_____年代对高斯圆内格点、球内格点、塔里问题与华林问题作了重要改进，_____年_____月证明了命题“1+2”，将_____多年来人们未能解决的哥德巴赫猜想的证明大大推进了一步，这一结果被国际上誉为“陈氏定理”。

_____年陈景润爷爷去世，年仅_____岁。

（5、12、20、50、63、200、1933、1966、1996）

在选数填空的过程中，学生要结合生活经验，运用数学基础知识，进行细致周到的考虑，使数感得到加强。

再如，一个学校有1500名学生，如果每人每天浪费1张纸，一年会浪费多少张纸？这相当于锯掉了多少棵树？这个问题的解决过程，就是学生用数学思维理解和解释现实生活、处理有关问题的过程，也是一个数感提升的过程。

（二）在对话交流中悟出数感

对话包含表达与倾听，表达需要组织语言，学生能不断优化自己的想法；倾听则能获得启示，在交流过程中，学生的数感能自然而然地得到增强。

例如：每辆小火车乘6人，全班49人至少要租几辆小火车？怎样乘坐小火车比较合理？

生1：这个问题简单，49÷6=8（辆）……1（人），8辆就够了。

生2：不对，不对，应该租9辆，每辆乘6人，8辆可乘48人，还有1个人乘第9辆。

生3：我觉得租9辆肯定是没问题的，但最后1辆只坐1个人不大合理，每辆小火车上坐的人应尽量平均才最好。

生4：是的，是的，我觉得可以前4辆小火车每辆坐6人，后5辆小火车每辆坐5人。

在对这个问题的讨论过程中，学生互相启发，从租8辆到租9辆，再到人员的合理安排，他们的思考经历了三个不同的层次，在交流中真切地体会到了解决问题时应结合实际情况作出合理决策，从而加深了数感。

（三）在开放问题中练出数感

在解决问题的过程中，教师应引导学生进行思考，自己“存储”了哪些与之相关的知识，怎样用这些知识解决问题，在问题解决的过程中活跃数感。

例如：一个班有男生24人，__________，女生有多少人？要求学生根据这些信息，补充一个条件，求出女生有20人。

这个开放的问题为学生提供了广阔的思维空间，不同学生的答案也显示出数感的不同层次。

第一类：男生比女生多4人、女生比男生少4人；

第二类：女生比男生的一半多8人、男生是女生的2倍少16人；

第三类：男生是女生的6/5、女生是男生的5/6；

第四类：男生比女生多1/5、女生比男生少1/6；

…………

这样的训练不仅巩固了不同类型数学问题的解决方法，又使得学生的数感更加敏锐。

总之，数感的培养是小学数学教育的重要目标之一，它是一个长期训练的过程，教师要善于挖掘教材以及生活中的资源，有效培养学生的数感，进而促进学生数学素养的提升。