国内数学思维的教育研究探索

◇宝鸡文理学院教育学院 王玉 刘敏娜

数学思维是不同于数学概念、定理，规则等的学习，是需要经过大脑深度思考而获得的特殊数学思维能力。通过对相关资料的调查分析笔者认为数学思维的教学内容包括数学抽象能力、数学语言表达能力、数学推理能力，数学思维的培养需要从概念习得到具体实践层面进行分层次培养，在实施数学思维的培养措施要以“闻见”为基础，促进学生的思维发展；注重数学课程中的数学用语学习，为数学交流和表达打基础；构建知识的联系通道，为思维的转换做准备。

随着科学技术的革新，人工智能够越来越多地代替人类进行工作，对于未来的儿童，要培养他们什么样的能力才能应对这个日新月异发展的社会。美国21世纪学习框架指出，21世纪的教育要建立在核心知识基础之上，这里的学科知识是指学科观念和思维方式，其目的在于让学生像学科专家那样思考。一个学科的独特思维方式是分析一个学科特有的问题理解和问题解答的思维方式，是要培养学生们像这个课程的课程专家一样思索问题的能力[1]。培养学生的关键数学能力，是实现数学核心素养的落脚点，而培养数学能力的核心又在于思维能力[2]。近年来，培养和加强学生的思维能力已成为国际教育的重要目标，郑毓信也提出：现代数学研究作为一种高层次的数学思维，对解决数学教育中的许多重大理论问题作出了说明[3]。朱立明在高中生数学学科核心素养测评框架构建具体分析了数学核心素养的测评维度和观测指标中也可以看出数学思维所占的权重是最高的，从这个权重中我们也可以明确看出数学思维的重要性，数学思维得到提高的话，数学能力也能得到大幅度发展。

1 数学思维的概念

数学思维是在数学的学习过程中形成的一种特殊的数学能力，笔者认为数学思维是区别于通常的数学概念，定理，规则，计算等的学习，是要通过大脑的深度思考后获得的特殊的思维能力，即能够运用数学的观点看世界，发现问题，用数学的用语、记号等表达问题，用数学的思维推理解决实际问题的能力。其中数学思维包括数学抽象能力、数学表达能力、数学推理能力。

朱立明将数学思维细分为：思维空间、思维拓展、思维迁移[4]。笔者认为这样的思维分类结果多体现在问题的发现，问题的解决阶段，运用数学的知识，空间想象能力将问题在大脑中进行整合分析，拓展与转化，再通过思维的迁移用数学能力解决实际问题。我国教育家张奠宙教授也指出，数学本质的内涵应该是指数学思维能力，也就是在数学学习中非常重要的演算能力、逻辑思维能力和空间想象能力。还有另外的观点认为，数学思维方式以数学中的空间形式和数量关系为现实，以语言和符号为媒介，作为识别和获取数学规则的基础[5]。

从以上可以看出，不同的研究角度和研究目的，对数学思维的定义虽不同，但都有一个共同的特点，都是将数学思维认定为数学中的独特的，抽象的思维能力。

2 数学思维的教育内容

数学思维的教育是很难通过一般的教学过程得到深度有效的发展，教育学家们也一直在探索什么样的教育内容能够发展学生的数学思维能力。根据本文的数学思维的概念界定，笔者将将数学思维的培养内容分为数学抽象能力的培养、数学语言表达能力的培养、数学推理能力的培养。

2.1 数学抽象能力

数学抽象是指在数学活动中对一般基本概念、基本特征、运算规则等数学特征的实现进行思考，并从环境中获得有用信息的过程。从纷繁复杂的环境中提取出有效的数学信息，如数量、大小、位置、等式关系，然后对这些信息进行抽象理解，将实践中的问题转换为数学问题，然后对数学问题进行分析、解决。对于数学的学习一般顺序是先了解概念，然后理解概念以及应用条件，最后将数学内容应用于现实社会的问题解决中[6]。数学抽象能力的培养从概念的理解到具体实践：首先在学习过程中要关注学生对于数学概念的理解与掌握。数学概念往往是对相关定理、规则最精准的概括，因此往往也具有抽象性，教师在教学过程中要利用现实情况和新旧知识间的联系使学生能够理解和掌握抽象的概念；其次，教给学生获取数学信息的能力。要帮助学生学会从现实社会中感知数学，数量关系，将实际中复杂的信息内容可以抽取出数学符号、语言、算式等；再次，在实际应用中发展抽象概括能力。在实际操作中，学生实现了对数学用语、记号的抽象和建模过程，将现实问题转换为数学性问题，再进行解决。

2.2 数学语言表达能力

数学语言表达能力就是能用数学符号或言语来交流和表达信息[7]。就是指能够用恰当而准确的数学用语，数学符号来表明意思和传达信息。数学信息的表明与传达和数学语言的学习是分不开的。数学语言的学习在数学思维培养中具有重大意义。同时，数学思维和数学语言有很大的相关性，数学思维就是无声的数学语言，可以通过熟悉、表征、翻译等方式发展学生的数学语言[8]。数学语言表达能力的培养要从数学语言的识记学习到具体情境中的实践：首先，在课堂教学中要让学生理解数学概念中的数学符号标示和数学语言的表达并进行符号，语言的记忆；其次，在课堂教授中，教给学生把生活实际中听到，观察到的内容转化为数学符号和数学常用语言。再次，要教给学生用数学符号或言语表明意思，传达信息的能力。通过现实中转化来的数学语言进行交流实践，才能真正学好，掌握数学语言，培养用数学语言交流的能力，在交流的过程中也是锻炼数学思维的过程。

2.3 数学推理能力

数学推理能力是指根据一定的事实和建议，按照一定的规则提出不同的建议的能力[9]。运用数学思维解决问题时常常需要归纳、总结、从已知推未知，这就需要充分运用推理的思维方式，做到有理有据。在课堂教学中就要教会学生用归纳和类比的方法，从旧知中延伸、类比出新知，使学生懂得算理与算法之间的联系，寻找合理简洁运算方法的依据。数学推理能力的发展要从数学概念的推理学习到具体实践的操作。首先，要在学习新概念时，给学生讲明概念的推理过程，如练习用学过的旧知识推导出新的概念，在新旧概念间建立起联系；其次，在课堂中训练学生的推理能力。给学生创造一个民主的课堂氛围，让学生可以进行大胆猜测，并且要使学生获得解决开放问题的机会，与传统的有唯一答案的题目相比，有开放性特征的题目，更能够让学生体验观测、推测、推断、验证并得出结论的经历；再次，让学生在实践中运用推理能力。让学生在实际问题中，根据获得的有限信息，仔细观察发现其中的线索和规律，进行假设和推理，并进行大胆的猜测和实际验证，在积累解决实际问题的经验中培养学习者的推理能力。

3 数学思维的教育实施策略

常磊沿用了PogrowS关于数学思维的教育实施策略的分类方法，将高层次思维能力的教学模式归纳为3类：首先,独立课程模式，该模式强调职业教育和直接思维的独立课程，独立于相关课程；其次，内容模式，在某些特定的知识背景中进行授课，如数学或科学，在这样的课程中培养数学思维；再次，注入模式，将思维能力与课程和教学相结合，这不仅限于特定的学科和内容，是指除了数学和科学的其他课程中也能够培养数学思维[10]。现阶段，就我国的课程设置及培养模式来说，数学思维的培养与教授具有一定的学科依赖性，就现阶段的课堂教学实际情况来说，多是在数学课堂教学的中进行。因此，数学课堂上培养数学思维的措施可以参考以下几个教育实施策略。

（1）以“闻见”为基础，促进学生的思维发展。要想要数学思维得到有效发展，我们常常需要依托于课堂中的“闻见”。在课程教授时，教育者应该明确不同领域的概念，思维和信息，同时引导学习者思考，帮助他们组织知识结构，阐明数学知识之间的逻辑关系，显示不同的空间位置，并形象化，我们应该引导从形象思维转向抽象思维[11]。传统课堂中所用的板书，以及最近几年经常被提及的思维导图都是很好的思维再现的方式，这些方式能够清晰地展现知识结构、逻辑关系，各个概念间的逻辑联系，并将数学知识的探索与研究过程适时浓缩，不断激发学生进行思考，用适合他们的方式来探索知识的本质，并发展他们的思维能力。

（2）注重数学课程中的数学用语的学习，为数学交流和表述打基础。数学思维常常需要借助于数学用语，符号的交流和表述表现出来，数学用语和符号的交流和表述中往往就渗透着数学思维，反之我们可以通过学习数学用语来锻炼数学思维。在课堂教学中教师要多给学生进行表达的机会，这给了学生思考问题的动力，同时也能够通过口头表达展现思维的发展，学习者的数学思维得到训练，在现在的小学教学中所倡导探究、合作教学就是为了提高学生思考、锻炼思维的能力，凡是学生能做的教师就不要做。因此，教会学生用数学用语、符号进行表达是想要通过在教师的主导下，进行师生间的交流、同学间的交流，让学生学会表达数学，让学生经历深度思考后表达自己的想法，在表述中倾听，在倾听中通过表达交流，在交流中进行再考虑和改善，如此反复促进了多角度，多层次的思索，从而促使知识的理解掌握和数学思维的有效发展。

（3）构建知识的联系通道，为思维的转换做准备。数学思维的锻炼，常常需要人们用旧的知识解决新的问题，对前后知识进行联系，进行思维的转化。在现在小学课堂中，我们常常看到老师要求学生用之前学习过的知识来解决新的问题，这就是通过对新旧知识的联系来促进思维的转化实践。在教学中就要求教育者为学习者搭建整体的知识网络。这就要求教师自己要理解整个知识的逻辑体系，及推导过程，然后根据学生已有的认知经验，让学生尝试用旧的知识解决新出现的问题情境，让学生在实际的联系中理解新旧知识之间的联系；并且，在学习完新知识后，一定要帮助学习者再次梳理知识脉络，实现知识的同化和顺应，促进知识的联系和转化。通过这样的反复操作，学习者会逐步掌握思维转换能力，进而促进数学思维的发展。

4 数学思维的评价

目前在国内关于数学思维的评价中还未发现有对数学思维进行单独评价的研究。但是国际上有学者研究认为TIMSS和PISA可以测量学生的数学思维能力[10]。虽然这样的测量是不具有针对性的，但是也可以根据TIMSS和PISA中的测量结果来指导我们对于数学思维培养的方向和实践。朱忠明就指出继承与发展中的PISA 2021数学测评框架，可以为我国基础教育数学课程的改革思路和行动方面提供参考[12]。从以上可以看出我国关于数学思维评价的研究还是不足的。后续还需要对数学思维的评价进行更家深入的研究，例如确定评价项目，制定评价量表，以及确定评价的方法。

5 结语

国内关于数学思维的研究成果还比较少，2018～2020年CNKI上关于数学思维的核心期刊只有33篇，并且大多都停留于质性研究，几乎没有量化分析，并且关于数学思维的概念每个研究者处于不同角度都有不同的见解，并未有一个大家普遍接受的清晰的界定，导致教育内容的边界不清晰，并且在教育评价上没有可以量化进行评价的评价途径，评价方法和评价维度。关于数学思维的研究我国还学要做更多的量化研究，可以参考国外国外的研究成果，基于我国的教育实情和特点来探索和发展关于数学思维的研究。