实验报告：系数对二次函数图像的影响

文／江苏省东台市实验中学“几何画板”社团 王鑫坤

自学教材“二次函数”这一章，我的直觉告诉我，要类比“一次函数”的学习过程。果不其然，老师讲二次函数时，也是从熟悉的、简单的实际问题出发，通过问题中的数量关系引入二次函数的概念，利用描点法画二次函数的图像，用运动变化的观点，由特殊到一般，运用数形结合的思想探索二次函数的图像和基本性质。当看到教材第18—19 页“数学实验室”中介绍“用几何画板软件研究二次函数的性质”后，我尝试自主操作实验，观察系数a、b、c对二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）图像的影响。这里，我将实验操作的过程整理出来与同学们分享。

实验目的：利用几何画板软件画图、动态演示、观察探索、度量计算等，从局部到整体理解二次函数表达式中系数a、b、c对图像的影响，深度理解二次函数。

实验工具：装有几何画板软件的计算机。

实验过程及数学发现：

1.新建可变参数a，画出二次函数y=ax2（a为常数，且a≠0）的图像，如图1，当a＞0时，开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点。

图1

2.改变参数a的值，使它渐渐地变大，并追踪抛物线，如图2，观察发现：它的开口方向、顶点、对称轴都不变，但开口渐渐地向y轴收缩。

3.过y轴上的点作垂直于y轴的直线，交抛物线于E、F两点，改变参数a的值，使它渐渐地变大，并追踪抛物线，如图3，随着参数a的值渐渐增大，线段EF渐渐变短，验证2 的观察结果。

图3

4.过x轴上的点D作垂直于x轴的直线，交抛物线于点P，拖动点D向x轴的正方向运动，如图4，观察发现：当a＞0 时，随着点D由左向右运动，在y轴的左边，点P由上向下运动，到原点时，位置最低，越过原点后，在y轴的右边，点P由下向上运动。验证性质：a＞0，当x＜0时，y随x增大而减小；当x＞0时，y随x增大而增大；当x=0 时，y的值最小，最小值是0。

图4

5.改变参数a的值，使它由正变负，渐渐地变小，并追踪抛物线，如图5，我们可以观察到二次函数的图像随着a值的变化而变化带来的直观图像。

图5

图6

7.只改变参数a的值，追踪顶点D，观察发现：抛物线的形状、位置都在变化，其顶点D在一条直线上运动，如图7。

图7

8.只改变参数b的值，追踪顶点D，观察发现：抛物线的形状不变，位置改变，其顶点D在一条抛物线上运动，如图8。

图8

图9

教 师 点 评

王鑫坤同学进入初中后始终对数学保持较高的学习兴趣，在完成学校的学习任务之余，经常主动找数学问题钻研，深入思考，挑战极限，越是难题越能激起他的斗志。几何画板是教师上课引导学生探索新知的重要工具，王鑫坤同学在潜移默化中也学会用几何画板去探索数学的世界。著名教育家苏霍姆林斯基说过：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个探索者、发现者、研究者，而在儿童的精神世界中，这种需要特别强烈。”没有什么东西比成功更能增强满足的感觉，也没有什么东西比成功更能鼓起进一步取得成功的努力。王鑫坤同学从数学探索中获取乐趣，我们希望更多的同学主动学习、发现问题、探究问题，实现由“学会”到“会学”，由“会学”到“创新”的目标。