无处安放的“苹果” 各得其所的“思维”——以特级教师潘小明执教《放苹果》一课为例

文｜朱锦雯

《放苹果》这一教学内容是沪教版三年级下册最后一个单元中“数学广场”的教学内容。沪教版教材中的“数学广场”主要呈现一些重要且有趣的数学拓展内容，以此来激发学生学习数学的兴趣，渗透数学思想方法，提高数学思维能力。

传统的课堂中，教师以3 个苹果放入2 个抽屉引导学生有序思考，再以有序地罗列4 个苹果放入3 个抽屉中的情况作为课堂教学的重心，以此来概括归纳出“抽屉原理”，对于形象思维占主导的小学生而言，如此抽象的概念是难以理解的。那么究竟本课的教学目标是什么？教学重难点又该放在哪里呢？听了特级教师潘小明的课，我认为，以核心问题“把4 个苹果放入3 个盘子，无论怎么放，总存在一个盘子里至少放_____个苹果”来引出学生不同的猜想，再用不同的方法验证猜想是否正确，使学生能主动参与探究过程，在思辨的过程中发展其思维能力，可以真正体现学生在课堂中的主体性。

一、提出合理猜想，感受思维差异

教育家波利亚曾说：“让我们教猜想吧！”猜想是数学发展的动力，猜想的诞生预示着数学的发现。合理猜想能帮助学生比较迅速地发现事物的规律，是培养学生思维能力的重要途径。

教学片断1：

板书呈现：把4 个苹果放入3 个盘子，无论怎么放，总存在一个盘子里至少放_____个苹果。

师：每位同学看着我的问题，思考答案是多少？

师：（停顿片刻）你觉得是几个呢？

学生用手势表示。

师：我看到了，有的同学出了1 个，有的同学出了2 个，也有同学出了3 个，还有一个同学出了4 个。

如果没有调动学生的学习热情就急于开展学习活动，那么这种学习是无效的。教学中潘老师利用在情境中提出合理猜想，使枯燥、抽象的数学课堂变得生动活泼，以此增添学生的学习兴趣，活跃学生的思维。在反馈结果的过程中，潘老师并不是快速地直接将答案一一呈现在黑板上，而是把看到的结果一一陈述给学生听，“有的同学出了1 个，有的同学出了2 个，也有同学出了3 个，还有一个同学出了4 个”，再进行板书。看似不经意、甚至有点浪费宝贵课堂时间的一个小细节，却让学生在经历对核心问题的合理猜想之后，对自己和同伴之间不同的思维结果有了初步感受，极大地激活了学生自主学习的意识，充分调动了学生的探究热情，拓展了学生的思维空间，让学生充分感受到了与同伴之间思维的不同，也真正地让学生的思维“飞”起来了。

二、构建知识网络，发展思维能力

任何猜想都要经过验证才能确定其价值，猜想验证的过程就是学生主动参与并构建数学知识网络的过程。只有猜想没有验证，那只能是空想，只有把猜想和验证紧密结合，才可以形成猜想的良性循环、丰富学生的思维经验、发展学生的思维能力。

教学片断2：

师：“4”这个答案，你觉得怎么样？

生1：我觉得是不可能的。

生2：我觉得是有可能的。（上台摆放，甲盘4，乙盘0，丙盘0）

生3：我感觉是错的，因为它说了“无论怎么放”。（上台摆放，甲盘3，乙盘1，丙盘0）

追问生2：那么“4”这个结论是不是无论怎么放都存在？

生2：不是的。

师：真好！那么（指着黑板上的方法）我知道了“3”这个答案是对的。

生：错的。（上台摆放，甲盘2，乙盘1，丙盘1）

师：厉害！举了一个反例就把这句话推翻了。所以2 个的答案是对的吧？

（学生举手表决，部分学生认为对，部分学生认为错）

师：认为2 个的答案是错的话谁能举个反例？

学生迟疑，举不出反例。

生：（上台拿起甲盘中的1 个苹果演示）这个苹果不论放在哪里，都有1 个盘子里有2个，我认为这个结论是对的。

师：无论怎么放，都对，那你有没有找过这些方法？有几种？

学生猜测，10 种、11 种、15 种以上……

教师引导学生在甲盘中依次放入4 个、3个、2 个、1 个、0 个，分为五类来考虑，有序地与学生一起板书罗列后验证总存在1 个盘子里至少放2 个。

师：通过这样的一番试验，我们发现“2”这个结论对不对？

生：对。

师：那么“1”这个结论还要讨论吗？

生：不要。

师：对，否则苹果总数1 个就可以满足了，这件事情就没有意义了。

枯燥单一的教师讲解式教学往往容易使小学生产生厌学的情绪，在课堂中充分给予学生思考、表达、交流的机会，能促使其在说、听、想的过程中主动参与课堂活动，清晰知识结构。但在数学活动中，光鼓励学生大胆猜想还不够，必须引导其进行细心验证。通过潘老师循循善诱的引导，个别学生用举反例的方法验证4 个的结论不正确。一石激起千层浪，课堂瞬间被点燃，学生都用这种方法来推理3 个的结论不正确，“举反例”的这一方法就此在学生心中埋下了种子。而当2 个的结论一出现时，学生却发现举反例的方法无法证明这句话是错的，马上有学生又发现了每个盘子如果都放1 个，那么还有1 个苹果不管怎么放总有一个盘子里会有2 个苹果，这个无处安放的“苹果”是学生思维的展现，也使其他学生在倾听的过程中有了思维能力的发展。学生在潘老师的不断引导下有序地罗列出15 种方法，学生确实得到了验证，结论2 个是正确的。在学生的观察、操作、推理等活动中，潘老师并没有淡化有序思考的重要性，但更想无声地渗透“猜想—验证”的数学思想方法。在验证过程中，学生思维的出发点、方向和方法有了多种形式的呈现，有效地培养了思维的灵活性，在不断完善知识结构的过程中使不同学生的思维都能在原有基础上得到不同程度的发展。

三、立足数学思考，提升思维品质

在小学数学教学的课堂上，几乎每一节课的知识学习对学生来说都是新鲜的，我们在保障数学基本教学目标达成的同时，还要对学生的逻辑分析能力进行培养，对教材中没有涉及的知识点要进行适当的补充，这是检验学生是否理解数学知识的本质的途径。

教学片断3：

（板书呈现：把11 个苹果放入10 个盘子，无论怎么放，总存在一个盘子里至少放_____个苹果）

生：2 个。

师：你们是不是还要像刚才那样去验证？

生：不要。

师：那你有什么方法验证2 个肯定是对的？

生1：每个盘子里先放1 个，10 个盘子放了10 个苹果，那么还剩1 个苹果，不管放在哪个盘子里，总有1 个盘子里放了2 个。

师：这种想法就是从最不利的情况考虑，以此来分析推理。继续想。

（板书呈现：把12 个苹果放入10 个盘子，无论怎么放，总存在一个盘子里至少放_____个苹果）

学生的手势有2 有3。

生2：先把每个盘子里放1 个，10 个盘子里一共放了10 个苹果，还剩下2 个苹果，放入任意一个盘子里，这个盘子里就肯定有3 个苹果了。

生3：我觉得如果你把2 个苹果分开放，那么每个盘子里最多还是2 个。

师：对啊，刚才你把10 个苹果尽可能分开放，那么剩下的2 个苹果还得怎么放啊？

生：分开放。

师：那么每个盘子里最多还是几个啊？

生：2 个。

师：所以结论变不变？

生：不变。

爱因斯坦说过：“教育应当使所提供的东西让学生作为一种宝贵的礼物来接受，而不是作为一种艰苦的任务要他去负担。”一堂课，40 分钟，在这样一个有限的时间内，学生不仅能掌握教材中4 个苹果放入3 个抽屉中的知识，还能了解更多与抽屉原理有关的知识，利用“最不利原则”分析解决11 个苹果（甚至是12 个苹果） 放在10 个盘子中的问题，学生不再通过有序罗列所有情况来验证，而是通过数学逻辑分析来解决问题，这正是潘老师抓住的本课教材背后的知识暗线，不少学生还迫不及待地想继续研究19 个苹果放入10 个盘子、21 个苹果放入10 个盘子的情况。新课改提倡的基于课程标准、基于教学基本要求究竟指什么，我想，理解为基于学生的学情和认知能力在这节课中更为合理。潘老师看似是把课本知识向课外延伸，实则是根据学生的能力灵活运用了数学教材这一载体来拓宽思维、开阔视野，提高课堂教学效率，扩大课堂教学容量，真正提升了数学思维品质。

总之，学生的数学思维能力发展是现代小学教学中的重要环节，数学思维能力的培养需要教师引导学生在问题情境中进行合理的猜想，运用不同的数学方法进行验证，丰富知识结构，积累解决问题的方法与经验，在不断的质疑与释疑中持续地获得思维能力的发展，从而提高数学综合素养。