复合MLINEX 对称损失下Pareto 分布参数的稳健Bayes 估计

周巧娟，王慧丽

（1.南京审计大学金审学院 基础部，江苏 南京 210023；2.西安财经大学 统计学院，陕西 西安 710100）

0 引言

Pareto分布是一种重要的统计分布，是由意大利学者Pareto作为收入分布于1897年提出的，最初是用于分配理论中，后来被广泛地运用在很多领域，如：金融、保险、可靠性统计分析等，因此对此分布的研究具有重要的理论和应用价值. 目前，已有很多学者对Pareto分布的统计性质进行了研究. 王晓红在定时截尾数据下，研究了熵损失下Pareto分布参数的Bayes估计及可容许性［1］；韩明在均方损失及熵损失下给出了Pareto分布形状参数的E-Bayes估计和多层Bayes估计，研究其可容许性［2］；李秀敏等采用极大似然估计及其渐近正态性、轮廓似然估计和矩估计法对Pareto分布形状参数进行了估计［3］；龙兵在双边定时截尾下对Pareto分布的参数进行了估计［4］. Ming Han在不同损失函数下研究了Pareto分布的E-Bayes估计，并引入期望均方误差来度量估计误差［5］.

Podder.CK提出MLINEX函数以来［6］，越来越多的学者关注MLINEX函数. 金秀岩在MLINEX损失函数的基础上，提出了复合MLINEX对称损失函数，并在该损失下得到了对数伽玛分布尺度参数的Bayes估计、E-Bayes估计和多层Bayes估计［7］. 朱宁等在尺度参数已知的情况下研究了复合MLINEX对称损失函数下Pareto分布参数的Bayes估计、E-Bayes估计以及多层Bayes估计，并证明其可容许性［8］.

对于Bayes统计推断来说，参数估计的稳健性是一个重要的问题［9］，上述各种损失下关于Pareto分布参数的讨论中均未涉及Bayes估计的稳健性的问题. 本文给出了复合MLINEX对称损失函数的一种特例，并在这种特殊的损失下研究了Pareto分布参数的一种稳健Bayes估计PRGM（Posterior regret gamma minimax）估计. 最后利用Monte Carlo方法对PRGM估计和极大似然估计进行了比较，说明了PRGM估计的优良性.

1 Pareto分布形状参数的极大似然估计

设随机变量X服从Pareto分布，且其分布函数及密度函数分别为

其中α是尺度参数，θ是形状参数，且0 <α≤t，θ> 0.

现有一批寿命服从Pareto分布的产品共有n个，进行定数截尾试验，直到有r个失效为止，记失效时刻为t1≤t2≤…≤tr，则（t1，…，tr）的联合分布密度为

其中总的寿命试验时间

当(t1，…，tr)已知时，似然函数为，取对数得

其中T如（3）式所示.

2 Pareto分布形状参数的PRGM估计

2.1 复合MLINEX 对称损失函数及其特例

MLINEX非对称损失函数的定义［10］：

复合MLINEX对称损失函数的定义［7］为：

其中δ为参数θ的估计.

为了利于求解参数的稳健Bayes估计，我们考虑如下特例：当ω= 1，c= 1时，损失函数为

图1 损失函数（5）的图像

由图像可知该损失对Δ及δ均是向下凸的，相对于均衡损失而言，在损失函数（5）下过低估计比过高的估计有更重的惩罚.

2.2 α 已知时参数θ 的PRGM 估计

设Bayes统计推断中所采取的决策为δ=δ(x)，损失函数为L(θ，δ(x))，x为子样，f(θ|x)为在子样x之下θ的后验概率密度，ρ(f(θ|x)，δ)为采取决策δ的后验期望损失，则

假设α已知，那么当样本(t1，…，tr)已知时，T为常量，所以（2）式中参数仅为θ，取其共轭先验伽玛分布

由（2）式和（7）式可得θ的后验密度函数为

它仍为伽玛分布Ga(a+r，T+b).

那么，在损失函数（5）式的情况下，由（6）式可算得选取决策δ的后验期望损失为

记δπ表示使后验期望损失达到最小的决策，即Bayes决策. 那么选取决策δ而不是δπ所构成的损失为定义1［9，11］如果有δ*∈D，满足

成立，则称δ*是θ的PRGM估计，记为δPRGM.

（i）令Γ1= {π(θ；a，b) = Γ(a，b)，a=a0，b1≤b≤b2，θ> 0 }，当π∈Γ1时，

（ii）令Γ2= {π(θ；a，b) = Γ(a，b)，b=b0，a1≤a≤a2，θ> 0 }，当π∈Γ2时，

（iii）令Γ3= {π(θ；a，b) = Γ(a，b)，a1≤a≤a2，b1≤b≤b2，θ> 0 }，则当π∈Γ3时，

证明：（i）当π∈Γ1时，a=a0为常数，则由（9）式可知

对δπ求一阶、二阶偏导数得显然于是d(δ，δπ)对δπ是向下凸的函数，那么从以下三个方面寻找δ*，使δ*满足（10）式：

①当δ≤-δ时，

②当δ≥δˉ时，

③当-δ<δ<时，

故g(δ)单调递减，且g(-δ) > 0，g() < 0，因此有且仅有一点δ*∈(-δ，)使g(δ*) = 0，即d(δ*，) =d(δ*，) .

当δ<δ*时，g(δ) > 0，即f1(δ) >f2(δ) 故，且f1(δ) 单调递减，因此δ*处达最小，即

当δ>δ*时，g(δ) < 0，即f1(δ)

当π在Γ1中变化时，易得及，代入上式可得

（ii）当π∈Γ2时，由可知是a的函数，那么由可将d(δ，δπ)化为

其中B= 2(T+b0) > 0，d(δ，δπ)分别对δπ求一阶、二阶偏导数得

当π在Γ2中变化时，易得及，代入上式可得

由此解得δ*，即为δ的PRGM估计：

将-δ及δˉ，代入（14）式得

（iii）由（i）（ii）的讨论可知当超参数a或b变化时d(δ，δπ)对δπ均是向下凸的，因此当π∈Γ3时将及代入（14）式，即可得到结论.

3 估计的稳健性评价

关于PRGM估计稳健性评价，仍沿用参考文献［9］中运用的风险分析作为估计量的稳健性分析的基本方法.

若ρ(π，δ(x))表示决策δ(x)下的后验期望损失，那么决策δ(x)的稳健性指标为

由（15）式可知，若对任意取的值ε有

成立，则称该估计是ε稳健的.

因此，我们可以根据以上评价稳健性的指标来评价PRGM估计稳健性的好坏.

4 随机模拟例子

当Pareto分布中α已知时，取α= 5，待估参数θ的真值为0.5，n= 20，r= 15，通过Monte-Carlo方法产生服从U(0，1)的随机数U1，U2，…，U15，再由ti= 5 (1 -Ui)2产生15个服从Pareto分布的随机数t1~t15分别为：6.1825 6.6456 6.6809 10.2715 10.4686 11.3679 13.6512 15.4489 17.2681 17.3454 22.0955 25.4090 36.6815 42.3017 87.5335，那么经（3）式算得T= 32.0980.

取θ的先验分布族分别为：

分别在Γ1，Γ2，Γ3下，由计算公式（4）（11）（12）（13）（15）算得如下模拟结果：

表1 各分布族下α已知时θ的估计及损失（α = 5，θ = 0.5）

由上表可以看出，PRGM估计明显优于极大似然估计，且由后验稳健性可以看出，当先验分布π在分布族Γ1、Γ2及Γ3上变化时，PRGM估计的后验风险变化非常小，若取ε= 0.05，则PRGM估计都是ε稳健的，因此这种估计均具有较好的稳健性.

5 结束语

本文在复合MLINEX对称损失的一种特例下，给出了定数截尾模型下Pareto分布形状参数θ的一种稳健Bayes估计：PRGM估计，并通过Monte-Carlo方法对这种估计和极大似然估计进行了比较. 随机模拟结果表明PRGM估计明显优于极大似然估计且具有较好的稳健性.