基于气体扩散模型的页岩气体散失规律研究

田振华，周尚文，李俊乾，蔡建超，4

1.中国地质大学（武汉）地球物理与空间信息学院，湖北 武汉 430074；2.中国石油勘探开发研究院，北京 海淀 100083；3.中国石油大学（华东）地球科学与技术学院，山东 青岛 266580；4.中国石油大学（北京）油气资源与探测国家重点实验室，北京 昌平 102249

引言

含气量是页岩气储层评价的关键参数之一，其准确确定对于页岩气地质储量计算及开发方案制定具有重要意义。目前，对于页岩气和煤层气储层，含气量的测试及分析方法分为间接法和直接法两大类[1-5]。间接法是模拟地层的温度和压力条件，通过气体吸附实验或测井资料分析等方法计算储层的吸附气量和游离气量，并将吸附气量和游离气量相加得到储层的含气量[6]。间接法作为一种理想的复现方法，无法完全复原实际地层条件下有水分或其他气体参与的复杂竞争吸附过程和气体储集过程[7-9]。直接法对现场取芯样品直接开展气体解析测试、残余气测试以准确测定储层的解析气量和残余气量，并对损失时间（在取芯或提钻过程中岩芯内气体开始散失至装入解析罐期间）内的损失气量进行估计，将损失气量、解析气量和残余气量相加得到储层岩石的含气量[10]。与间接法相比，直接法能够更加直观地反映储层的含气性。

应用直接法计算页岩含气量时，受限于井下高温高压环境及井下气体散失测量装置的匮乏，损失气量难以直接测得，只能应用相应的数学方法对气体解析曲线外推进而对损失气量进行估算。目前，多种方法被应用于页岩损失气量计算[11]，如，USBM 直线法[12]及其改进方法[13-14]、多项式法[15]、Amoco 曲线拟合法[16]、Arps 产量递减法[17]等。其中，USBM 直线法的应用最为广泛，其理论基础是单孔扩散模型在扩散前期的简化[18-19]。除单孔扩散模型外，有学者引入了双孔扩散模型刻画储层岩石的气体散失特征[20]。不论是USBM 直线法还是其他损失气量计算方法，数学模型中都采取了相应的假设或简化，且部分模型采取的假设或简化与实际情况存在较大差异，从而导致不同方法对页岩损失气量的计算有时存在较大差异[17，21]，难以客观分析不同方法计算得到的损失气量的准确性[22]。此外，采用上述方法计算的损失气量占比可达页岩含气量的60%～80%，损失气量的计算精度严重影响页岩含气量的测试结果。因此，亟需从理论层面明确影响现场取芯过程中页岩内气体散失的关键参数，探索更加合理的关键参数表征方法，以建立更贴近真实情况的、耦合多关键参数的页岩损失气量计算数学方法。

本文从传统单孔扩散模型出发，分析其假设条件的不足，在传统单孔扩散模型基础上，引入时变气体扩散系数和时变岩芯边界气体浓度，建立修正单孔扩散模型，从扩散角度明确影响气体散失的关键参数，分析不同关键参数对气体散失的作用规律，以对页岩含气量的确定提供理论基础。

1 传统单孔扩散模型

传统单孔扩散模型的基本假设为：（1）岩芯为各向同性的球体；（2）初始时刻岩芯内部气体浓度处处相等，且气体浓度为有限值；（3）岩芯内气体扩散符合菲克第一定律和菲克第二定律；（4）气体扩散系数是常数，不随时间变化；（5）岩芯外边界处气体浓度或压力为恒定值，不随时间变化。其数学模型为[18]

式中：

C—球状岩芯内任意一点在任意时刻的气体浓度，mol/m3；

r—球状岩芯内任意一点至球心的距离，m；

D—气体扩散系数，m2/s；

t—时间，s；

R—岩芯半径，m；

Ci—岩芯内初始气体浓度，mol/m3；

C0—岩芯外边界处气体浓度，mol/m3。

通过变量代换并应用分离变量法可求得式（1）的解为

式中：

k—正整数，k=1,2,···,+∞。

则t时间内扩散出球状岩芯的气体物质的量Mt为

当时间t趋近于无穷大时，扩散出球状岩芯的气体物质的量M∞为

将式（3）与式（4）相除，可得到无因次气体逸散量Mt/M∞

式（5）即为单孔扩散模型的常见表达形式，由该式可知，单孔扩散模型描述的气体扩散特征与原始含气量（岩芯内初始气体浓度）、气体扩散系数D、岩芯半径R和扩散时间t这4 个参数密切相关。当t<600 s 且Mt/M∞<0.5 时，式（5）可以简化为[19]

式（6）表明，在气体扩散前期无因次气体逸散量与时间平方根呈线性关系，这便是USBM 直线法的理论基础。

2 修正单孔扩散模型

2.1 数学模型的建立

上述传统单孔扩散模型及USBM 直线法的形式较为简洁，使用较为方便。但其假设存在以下不足：（1）页岩实际取芯和气体解析过程中环境流体变化剧烈，取芯过程中环境介质一般为钻井泥浆，而现场解析测试过程中环境介质一般为空气。页岩中赋存的气体在液体和气体环境中进行扩散时，其扩散系数存在几个数量级的差异[23-25]，因此，气体扩散系数不应取常数。（2）页岩取芯和气体解析过程中岩芯边界气体浓度逐渐变化，而不是某一恒定值。本文为弥补传统单孔扩散模型假设条件的不足，建立了考虑时变气体扩散系数和时变岩芯边界气体浓度的页岩气体扩散模型

式中：D(t)—时变气体扩散系数，m2/s；

µ(t)—时变岩芯边界气体浓度，mol/m3。

需要注意的是，该修正单孔扩散模型仅从气体扩散角度考察页岩气体散失特征，未考虑气体在压差下的对流过程。

2.2 时变气体扩散系数

在岩芯钻取至装罐解析过程中，气体扩散系数会随外界流体环境（温度、压力、流体类型等因素）变化而逐渐变化（图1），但目前精确获取取芯过程中气体扩散系数具有较大难度。前人已经引入了多种时变气体扩散系数表达式对气体扩散系数加以表征[3，26]。

本研究对正态分布函数进行积分，并通过平移、拉伸等变换构造了处处可导的时变气体扩散系数曲线（图1），假设该曲线能够刻画岩芯在取芯和解析实验过程中气体扩散系数的大致变化规律，即：页岩内气体刚开始散失时（零时刻），岩芯一般处于钻井泥浆中，此时，气体扩散系数应为较小值（D=1×10−9m2/s）；随着时间增长，气体扩散系数逐渐增大，最终达到稳定的扩散系数（D=1×10−5m2/s）。此外，由于不同岩芯的损失时间、钻井液侵入情况存在差异，从而导致气体扩散系数达到稳定的时间有所不同。因此，本研究中考察了不同气体扩散系数变化的时长T对气体扩散特征的影响。气体扩散系数变化的时长越短，气体扩散系数越快达到稳定的扩散系数（图1）。

图1 时变气体扩散系数示意图Fig.1 Schematic diagram of time-dependent gas diffusion coefficient

2.3 时变岩芯边界气体浓度

本研究中，假设零时刻岩芯边界气体浓度为页岩气储层的原始含气浓度，考察岩芯边界气体浓度随时间分段线性递减和指数递减两种模式下岩芯的气体散失规律，这两种模式分别由式（8）和式（9）确定。

分段线性递减

指数递减

式中：

Cr—现场解析时岩芯边界气体浓度（本研究中假设Cr=0.01Ci），mol/m3；

a1—分段线性递减控制气体浓度递减速率的系数，mol/（m3·s）；

a2—指数递减控制气体浓度递减速率的系数，s−1；

tlost—损失时间，s。

式（8）和式（9）所代表的两种岩芯边界气体浓度变化趋势如图2 所示。对于分段线性递减情况，岩芯边界气体浓度在损失时间处左右导数不相等，且t>tlost时岩芯边界气体浓度为恒定值Cr。而对于岩芯边界气体浓度指数递减情况，不同时刻的岩芯边界气体浓度处处可导，且随时间增长岩芯边界气体浓度最终趋近于零。

图2 时变岩芯边界气体浓度示意图Fig.2 Schematic diagram of time-dependent gas concentration at core boundary

2.4 数学模型的解

根据分离变量法可求得式（7）的解为

式中：

τ—积分变量，与时间t加以区分，s；

Ak(t)—级数项的系数。

在岩芯边界气体浓度分段线性递减和指数递减情况下级数项的系数分别为

将式（10）计算的气体浓度在球体体积V上积分，可得t时间内扩散出岩芯的气体物质的量nt为

将式（13）与岩芯内原始含气量N=相除，将气体逸散量无因次化处理以便后续分析。此处的分母N为岩芯原始含气量，而式（5）中的分母是时间趋于无穷长时从岩芯内扩散出的气体物质的量。若式（4）中岩芯边界气体浓度为0 时，则两者相等。

将式（13）中相关参数代入后，对于岩芯边界气体浓度分段线性递减和指数递减情况下，t时间内扩散出岩芯的气体物质的量分别可由式（14）和式（15）计算

观察式（14）和式（15），从形式上，岩芯内气体扩散特征受到非级数项和级数求和项的共同作用。为进行后续分析，将这两部分分别记为非级数部分和级数部分。从本质上，岩芯内气体扩散特征受到原始气体浓度、岩芯边界气体浓度变化规律、岩芯尺寸、气体扩散系数等因素的共同影响。对于非级数部分，原始气体浓度和岩芯边界气体浓度是其控制因素。岩芯边界气体浓度分段线性递减时，其级数部分不受原始气体浓度的直接影响；而岩芯边界气体浓度指数递减时，其级数部分受原始含气浓度的直接影响。

3 结果与讨论

3.1 传统单孔扩散模型分析

一般来讲，其余参数相同时，岩芯原始气体浓度和几何尺寸分别与气体散失完成的总时间呈正相关关系。而对于任意的实际岩芯，其原始气体浓度和几何尺寸是固定的，此时传统单孔扩散模型中仅剩气体扩散系数和气体扩散时间两个变量。本节分析了气体扩散系数和时间对传统单孔扩散模型的影响。

由图3 可知，无论是短时间（1 h）还是长时间（100 h）内，气体扩散系数取值越大，岩芯内气体散失速度越快。当气体扩散系数取值较大时（如D=1×10−6m2/s 或D=1×10−5m2/s），岩芯内的气体在1 h 之内几乎完全散失（图3a）。而进行现场气体解析测试时，岩芯内气体散失往往持续十几小时至几十小时。因此，对于传统单孔扩散模型来讲，气体扩散系数取值较大时不能正确表征岩芯的气体散失规律。

图3 传统单孔扩散模型气体散失特征Fig.3 Gas loss characteristics of conventional unipore diffusion model

如图3b 所示，气体散失早期，无因次气体逸散量与时间平方根存在较好的线性关系，这与式（6）反映的规律一致。但气体扩散系数较大时（D=1×10−5m2/s），当时间大于100 s 后无因次气体逸散量与时间平方根不再呈线性关系。对于较长时间内的气体散失特征（图3c），当气体扩散系数取值较小时，岩芯内气体散失速率过慢。如，当D=1×10−9m2/s，100 h 后仅有53.4%的气体扩散出岩芯，这与岩芯实际解析情况也存在一定差异。

如图3d 所示，当气体扩散系数取1×10−9m2/s或1×10−8m2/s 时，无因次气体逸散量与时间平方根在较长时间内（约>4 h）存在较好线性关系；而当气体扩散系数取值较大时（D=1×10−6m2/s或D=1×10−5m2/s），两者线 性关系持续 时间很短（<1 h）。对于较深层的页岩气储层来说，其取芯过程通常持续几小时至几十小时，损失时间也往往大于1 h，通常在几小时至十几小时不等。因此，传统单孔扩散模型描述的线性关系持续时间与损失时间的匹配性有待研究。

根据以上分析可知，无因次气体逸散量与时间平方根的线性关系与损失时间和气体扩散系数密切相关。当损失时间过长或实际的气体扩散系数过大时，USBM 直线法描述的线性关系持续时间将远小于损失时间。此时，使用USBM 直线法可能导致页岩损失气量估计值与实际情况产生较大的偏差。同时，如前文所述，传统单孔扩散模型对边界处气体浓度和气体扩散系数均取恒定值，而实际情况下这两个参数通常不为恒定值，故传统单孔扩散模型在刻画页岩气体散失规律方面具有一定的局限性。

3.2 岩芯边界气体浓度分段线性递减对修正单孔扩散模型的影响

当岩芯边界气体浓度按图2a 所示规律分段递减时（损失时间为5 h），即岩芯内气体开始散失5 h 后，被装入解析罐进行现场解析测试且现场解析测试时岩芯边界气体浓度Cr=0.5 mol/m3，此时气体扩散系数变化的时长T对岩芯气体散失的影响见图4。

图4 岩芯边界气体浓度分段线性递减模式下气体扩散系数变化的时长对岩芯气体散失特征的影响Fig.4 Influences of T on the gas loss characteristics for the modified unipore diffusion model when boundary gas concentration piecewise linearly declines

当0≤t≤tlost时，岩芯气体逸散规律受非级数部分和级数部分的共同控制；当t>tlost时，岩芯中气体逸散规律仅受到非级数部分的控制，该现象与式（14）描述的一致。此外，当t=tlost时，无因次气体逸散量曲线存在拐点，拐点左右两侧的导数不相等。岩芯边界处气体浓度随时间变化曲线在t=tlost处左右两侧导数不相等（图2a，左侧非0，级数部分对气体扩散存在影响；右侧为0，级数部分对气体扩散无影响），从而导致了无因次气体逸散量曲线在损失时间附近出现突变的异常情况。这也表明了采用式（8）所描述的岩芯边界处气体浓度分段递减的假设不能较好地表征岩芯内气体散失规律。

3.3 岩芯边界气体浓度指数递减对修正单孔扩散模型的影响

岩芯边界气体浓度递减速率对气体散失的影响规律如图5 所示。随着岩芯边界气体浓度递减速率加快，岩芯内气体散失也加快，无因次气体逸散量更快趋近于原始含气量。因此，可以通过控制系数a2对岩芯中气体散失完成的时长加以控制或表征。当岩芯气体逸散量较慢趋近于原始含气量时可取较小a2值，反之则取较大a2值（图5）。此外，岩芯边界气体浓度递减速率对非级数部分和级数部分均有影响，从而对岩芯的气体散失规律产生影响。

图5 岩芯边界气体浓度指数递减模式下递减速率对岩芯内气体散失特征的影响Fig.5 Influences of decline rate on the gas loss characteristics for the modified unipore diffusion model when boundary gas concentration exponentially declines

气体扩散系数变化的时长也会对岩芯的气体散失特征产生影响（图6）。当岩芯边界气体浓度递减速率相同时（本研究中a2=0.000 06 s−1），改变T值会对级数部分产生影响，进而影响岩芯气体散失规律。T值越大，对级数部分数值的影响越大且影响时间也越长，而级数部分主要在扩散早期对气体散失规律具有影响，因此，改变T值会对岩芯中气体早期散失特征产生显著的影响。

图6 岩芯边界气体浓度指数递减模式下气体扩散系数变化的时长对岩芯内气体散失特征的影响Fig.6 Influences of T on the gas loss characteristics for the modified unipore diffusion model when boundary gas concentration exponentially declines

综上所述，当岩芯边界气体浓度指数递减时，无因次气体逸散曲线不存在图4 所示的异常情况，无因次气体逸散量随时间一般呈现图7 所示的变化趋势[T=20 h，Ci=50 mol/m3，µ(t)=Cie−0.00005t时]。即，在气体扩散早期，气体散失规律受到级数部分和非级数部分的共同作用（其中，非级数部分使得无因次气体逸散量增大，而级数部分使得无因次气体逸散量减小）；随着时间推移，非级数部分对气体散失起控制作用；当时间进一步增长，无因次气体逸散量趋于1。因此，与分段线性递减模式相比，岩芯边界气体浓度指数递减模式可能更适用于刻画岩芯的气体散失规律。

将图7 中时间取平方根，假设tlost=3.52 h 且损失时间之后的数据为实验室测得的解析数据，对比了USBM 直线法与修正单孔扩散模型对页岩损失气量的计算情况（图8）。USBM 直线法拟合气体解析前期直线段并将直线外推至零时刻，此时计算的损失气量为78.213 mol/m3，约占页岩含气量的67%；而修正单孔扩散模型计算的损失气量为11.556 mol/m3，约占含气量的23%。在本文给定的情况下，USBM 直线法计算得到的页岩损失气量远大于修正单孔扩散模型的计算结果。产生该现象的原因是，修正单孔扩散模型仅考虑了更贴近实际情况的气体扩散过程（气体扩散早期具有较小的气体扩散系数），但未考虑取芯前期自由气在压差下的渗流过程。故下一步需要耦合取芯前期气体渗流的贡献，对模型加以优化并对比实验数据验证方法的有效性。

图7 岩芯边界气体浓度指数递减和时变气体扩散系数情况下岩芯内气体散失的一般特征Fig.7 General gas loss characteristics considering boundary gas concentration exponentially declines and time-dependent gas diffusion coefficient

图8 USBM 直线法与修正单孔扩散模型的对比Fig.8 Comparison of USBM method and modified unipore diffusion model

4 结论

（1）传统单孔扩散模型采用的常量气体扩散系数和常量岩芯边界气体浓度的假设与实际情况存在较大差异，需要针对页岩实际取芯过程建立随时间变化的气体扩散系数和随时间变化的岩芯边界气体浓度表征方法。

（2）修正单孔扩散模型分析表明，影响岩芯内气体散失的关键参数有：原始气体浓度、气体扩散系数、岩芯边界气体浓度和岩芯几何尺寸。

（3）对于传统单孔扩散模型，气体扩散系数取值过大或过小都不能较好地刻画页岩岩芯实际的气体散失特征。当气体扩散系数取值过大或损失时间过长时，无因次气体逸散量与时间平方根难以在较长时间内保持线性关系，此时使用USBM 直线法可能对页岩损失气量的估算不够合理。

（4）岩芯边界气体浓度分段线性递减时，气体散失曲线会在损失时间附近出现异常的拐点和突变，岩芯边界气体浓度随时间分段线性递减的模式可能不适用于表征页岩岩芯的气体散失规律。岩芯边界气体浓度随时间指数递减时，气体散失曲线平滑无突变。与分段线性递减模式相比，岩芯边界气体浓度指数递减模式可能更适用于刻画页岩岩芯的气体散失规律。

（5）岩芯边界气体浓度递减速率主要控制岩芯内气体散失完成的时长，岩芯边界气体浓度递减速率越快，气体越快地扩散出岩芯。气体扩散系数变化的时长主要对岩芯前期的气体散失规律产生影响，气体扩散系数变化的时长越长，对岩芯内气体散失的影响时间也越长。