用画说话，以画促思

黄城红 吴雪斐

“倍”是小学数学中的一个基础概念，是各个版本教材的“种子课”。各版本教材虽然选取的素材不一样，但编排思路类似，都是先用一个例题来教学“倍”的基本概念，再通过给定的练习来巩固概念。在教学之前，我们有如下思考。

1.学生的学习主动性如何发挥。在几个版本教材的编排中，都是通过“例题+练习”的模式来进行教学。这种固有的学习节奏，学生被牵着鼻子走，牵到哪里，学到哪里。学生的学习主动性没有得到发挥，原有的学习经验无从利用，创造性被限制，处于一种被动的学习状态中。

2.学生的思维能力如何培养。数学是抽象的，如何在教学过程中培养学生的抽象概括能力、建模能力？如何通过画有意义的图，让学生在直观与抽象之间进行自然的转化，培养学生的思维能力？如何更好地把“倍”的学习纳入数学学习的整体结构当中？基于如上思考，我们进行了如下教学实践。

一、“倍”的初体验

师：同学们，今天我们来学习一个新的教学内容。请看黑板，认识这个字吗？（板书：倍）

生：我知道，它的意思就是谁是谁的几倍……

师：那我就来考考你们。请看，屏幕上有两个三角形，你们能画圆，使圆的个数是三角形的3倍吗？

（学生趣味盎然地画圆。教师请3个同学在黑板上展示画法并介绍想法）

生：我是这样想的，三角形有2个，它的3倍就是二三得六，所以我就画了6个圆（如图1所示）。

生：我也是这样想的，三角形有2个，它的3倍就是3个2，也画了6个圆（如图2所示）。

生：我也是这样想的（如图3所示）。

师：他们画的都是6个圆，但所画的图还是有区别的，看到这几幅图，你们有什么想说的？

生：我最喜欢图2，因为在每2个圆之间用一条虚线隔开了。这样就看得很清楚，圆有3份，就表示3倍。

生：我更喜欢图3，用圈把每一份数都圈起来了，这样就能很清楚地看出，圆的个数是三角形的3倍。而且我还发现，图1、图2只画了圆的数量，图3把三角形的数量也画出来了，这样就说明圆的个数是三角形的3倍，而不是其他图形的3倍，这样表示的意思更准确。

（学生鼓掌表示赞同）

师：从掌声来看，同学们认为既要把原有的三角形画出来，又要把每两个圆为一份做标记。从图3就可以清楚地看出，2个三角形是一份数，圆形的个数有这样的3份，就表示圆的个数是三角形的3倍。

【评析】在这个教学环节中，教师利用学生已有的知识经验，“诱导”学生把“倍”的意思用图表达出来。在学生把各自的想法用图表示出来后，再引导学生对所画的图进行比较、总结，让学生初步、准确地建立倍的概念：倍，要先明确一份数，再看有这样的几份，就是几倍。通过学生主动、直观的表达，观察和比较，初步理解和建构“倍”的概念。

二、明确“倍”的概念

师：看来同学们会画2个三角形的3倍了，你们还会画正方形，使正方形的个数是这2个三角形的4倍吗？

（学生很快画出图，如图4）

生：把这2个三角形圈起来，就是一份。画4个圈，每个圈里有2个正方形，就表示有4个2，正方形的个数就是三角形的4倍。

师：这2个三角形的3倍、4倍会画了，那你们还会画这2个三角形的多少倍？

生：我还会画这2个三角形的5倍、6倍、7倍……

（学生说完很快地画出图，如图5所示，并解释道：2个三角形圈成一份。现在画了5个圈，每个圈里有2个涂阴影的圆，涂阴影的圆的个数就是三角形的5倍）

师：这个时候你们对“倍”有什么样的认识？

生：我觉得“倍”跟我们以前学的乘法是有联系的。请看，3倍就是3个2，4倍就是4个2，5倍就是5个2……

师：这个同学总结得非常好！从这些图中我们确实可以看出，一个数的几倍就是几个几。

【评析】在这个教学环节中，教师顺应了学生的思路，一份数的量“2个”保持不变，引导学生依次画出2个三角形的4倍、5倍……通过画直观图，学生就容易自主地概括出倍的本质含义：在保持一份数不变的情况下，有几份就是几倍。这个教学过程，没有教师的强加，而是学生自主体验后的自然概括，让“倍”的概念教学水到渠成。

三、升华“倍”的认识

师：对于“倍”的认识，你们还有什么问题吗？

生：刚才我们画的图里，都是每个圈里只有2个三角形。每个圈里可不可以是3个、4个、5个……三角形呢？

师：这个同学提的问题非常好！如果现在一个圈里画了3个三角形，那它的3倍怎么表示？

生：那就在下面一行画3个圈，每个圈里要画3个圆。

（学生画出图，如图6）

生：通过画图我明白了，图6中下面一行，每个圈里圆的个数，都要和原來一份数的个数一样多。下面每个圈里圆的个数，是由上面圈里三角形的个数决定的。如果上面那个圈里三角形有4个，那下面一行中每个圈里的圆也有4个;如果上面那个圈里三角形有5个，那下面一行中每个圈里的圆也有5个，以此类推。

师：这个圈里可以放几个三角形或者几个圆？

生：可以是1个，也可以是2个，还可以是3个……甚至是无数个，但不管是几个，用圈圈一下，就表示一份数。

师：看来这个圈的本领真不小啊，还能圈无数个三角形！

生：我现在明白“倍”的意思了。先圈出一份数，这个一份数可以是1个，可以是2个，也可以是3个……不管是几个，圈起来了就表示一份数，再看几个这样的圈，就是几倍。

师：这个时候，你们还有什么问题吗？

生：是啊，这个圈的本领可真大，能表示1个、2个、3个、4个……咦，假如这个圈里有100个三角形，画不下呢？这可怎么办呀？

师：这个同学的问题问得太好了！是啊，如果要在圈里画100个三角形，会画得很累的！怎么解决这个问题？

生（兴奋地）：我想到了！可以用数来代替，就在每个圈里写数100。

师：你太棒了，你的想法真好！

师：除了画一个圈，在圈里写上数100表示一份数。还可以怎么画图，表示一份数是100？

生：可以画线段图，在每条线段上写上数100。

师：那就用你们喜欢的方法来表示：红花有100朵，黄花的朵数是红花的3倍。

（学生画图展示，如图7）

师：你们画得都非常好，都正确地表达了黄花的朵数是红花的3倍。当然，画线段图时，可以仿照这个同学的画法，把表示黄花的3段连在一起，这就是我们常用的线段图。

【评析】数学的本质就是抽象。在本教学环节中，在前面通过直观图表达倍的概念的基础上，又进一步抽象，还可以直接用数来表示物体的个数，让学生很自然地体会到，一份数不仅可以是一个物体，还可以是多个物体形成的一个整体，这样就准确、完整地建立了“倍”的概念，也为今后学习分数时，建立“单位1”的概念进行了铺垫和渗透。这个教学过程由学生自己的问题开始，顺着学生的思路顺藤摸瓜，逐步抽象、建模，一步一步地触摸“倍”的本质。这个过程，学生的学习主动性得以激发，创造性得以发挥，思维能力得以培养。

四、“倍”的整体结构

师：请同学们看下面这一幅图（如图8）。从图8中，我们很容易地看出有2个三角形、3个圆和6个正方形。根据这种3种图形的个数，你们能求解什么数学问题呢？

（学生先独立思考，讨论交流后进行汇报）

生：我知道，正方形的个数是三角形的3倍。

（学生说完就把两个三角形圈起来，还把6个正方形每2个为一份圈起来）

生：我知道，正方形的个数是圆的2倍。

（学生说完后同样用画圈的方法来表示他的想法）

师：咦，为什么一会儿说是2倍，一会儿说是3倍呢？

生：就是因为倍数不同。跟三角形相比时，一份数是2个，就画了3个圈，所以是3倍;跟圆相比时，一份数是3个，只能画2个圈，所以是2倍。

师：除了能说相互之间“倍”的关系外，还能说说它们之间的其他关系吗？

生：我还知道，圆比三角形多1个;反过来，三角形比圆少1个。

生：同样地，我还知道，圆比正方形少3个，正方形比圆多3个。

生：我还知道，圆的个数是正方形的一半。

师：这个同学的想法太不一样了！你说的圆的个数是正方形的一半，也是它们之间的一种关系。你知道“一半”怎么表示吗？

生：用[1/2]来表示。（说完就写出了分数[1/2]）

师：你的知识太丰富了，这是我们以后要学习到的知识。随着学习的继续深入，我们将学到更多表示它们之间关系的方法。

【评析】这节课学生学习了倍的知识，知道了“倍”的含义，还理解了它是表示两个量之间的一种关系。但我们的教学不能停留于此，还有必要把“倍的关系”纳入“比较两个量之间关系”的整体结构中，帮助学生构建起系统性的知识体系。学生的能力是无穷的。当有学生说出“一半”的关系时，教师很自然地抓住了这个精彩的课堂生成，引出了分数的概念，这样，又把“两个数之间的关系”延伸到了一个更广的范围，为学生今后学习分数的知识埋下伏笔，也初步感知了“2倍”和“一半”的互逆关系。这个教学过程，教师的开放性提问，给了学生充分表现的机会，让学生能够站在整体和全局的角度，来理解和掌握倍的知识，做到“既见树木，又见森林”，这对于学生的整体认知是非常有好处的。

【课后总评】

这节课，学生学得主动、生动、灵动。在教师的大环节教学设计下，教学的资源都来自学生的自主画图。而在学生画图的过程中，做到了以下几个方面。

一、用画说话，由抽象到具体

“倍”是小学数学知识体系中表示数量关系中的一个基本概念，它表示的是两个数量之间的一种关系，所以各个版本教材中都有这个概念的教学。但它又是一个比较抽象的概念，仅靠语言是很难描述的。因此，在本课中，教师始终让学生把这个抽象的概念用图表示出来，通过直观图，学生就很容易地感知：一个数是另一个数的几倍，就是以前学过的乘法中的几个几。通过学生自主画图，可以有效地让学生把原有的经验顺畅地表达出来。学生在看到图后，也能更方便地进行总结，这是一个学生自我表达、自主建构的过程。总之，用画来说话，把抽象的概念直观化、具体化，便于学生理解和掌握抽象的倍的概念。

二、以画促思，由具体到抽象

学生通过画具体、直观的图形，理解和掌握了倍的概念，但学生的思维不能仅仅停留在直观的层次上，还必须进行深化和提升。為了让学生更深刻地理解倍的概念的本质，培养创造性解决问题的能力，教师又给学生创设了提问的机会，学生自然地顺势提出：“一份数可以是1个、2个、3个……甚至是无数个，画不完怎么办？”在这种矛盾的认知冲突中，充分地激发了学生的思维，发挥了想象能力。学生就想到可以不用画具体的物体了，而是用数来代替，并可以继续用圈图、线段图来表示。这样的教学过程，就让学生非常清晰地体验到数学抽象的本质，培养了学生的抽象思维能力，学生的思维水平达到一个新的层次。这个过程也让学生充分地认识到，这里的一份数可以是一个，也可以是多个，甚至是无数个，这就为今后学习分数时，更准确地建立“单位1”的概念做了很好的铺垫。

由此，我们的数学教学，要在抽象和直观之间进行转换。当学生理解有困难时，就要把抽象的概念直观化，帮助学生理解数学。而当学生掌握了基本的概念之后，又必须对直观进行适度的抽象，提升思维层次，感受数学的本质，这才是有意义的教学。

（作者单位：江西省南昌市铁路第一小学 广东省河源市源城区公园东小学）