基于Mogi-Coulomb强度准则的竖井井壁空间被动土压力新解

陈君君， 关晓迪， 魏欢欢，3， 朱勇锋， 马 迪，5

（1.河南省建筑设计研究院有限公司，郑州 450014； 2.西安理工大学土木建筑工程学院，西安 710048；3.杨凌职业技术学院建筑工程学院，陕西咸阳 712100； 4.长安大学地质工程与测绘学院，西安 710048；5.西安交通工程学院土木工程学院，西安 710300）

长期以来竖井结构被简化为平面问题，大多数采用半经验的方法进行相关设计［1-4］. 然而竖井结构往往具有空间效应，竖井围岩土压力是支护设计中研究多年而未能很好解决的问题之一，因此应用能合理反映岩土力学性状的强度准则，可以充分发挥岩土材料的强度潜能，将给竖井等井巷工程建设带来巨大的经济效益［5］.

现阶段，许多学者对竖井围岩土压力的计算理论进行了较为深入地研究. 李造鼎［6］在极限平衡理论的基础上，根据竖井井壁周围土体的应力分布规律，在假定井帮周围土体沿柱状面垂直下滑的条件下，推导出竖井井壁土压力的解析解. 林小松［7］以带防水层的复合厚壁圆筒井壁为研究对象，针对建井工程中井壁面上所受荷载沿深度呈多项式变化的特点，用分离变量法获得了满足双调和方程的拉普位移函数的解，经推导得到在柱面上承受沿深度线性变化的正压力的单层、两层及多层有限长厚壁圆筒的应力场. 周国庆等［8］在模拟试验研究成果的基础上，基于空间弹塑性理论对承受地压、附加力及自重的竖井井壁应力计算进行研究分析，推导了竖井井壁的土压力计算公式. 赵彭年［9］以空间轴对称圆形竖井为研究对象，假定竖井围岩满足Mohr-Coulomb屈服准则，基于哈尔-卡门完全塑性准则，推导出轴对称竖井井壁的主动土压力解析解.蒋斌松［10］针对夹有泡沫塑料板的双层混凝土复合井壁的特点，在空间任意轴对称的法向及切向荷载作用下，通过Fourier积分法建立了复合井壁应力及位移的解析表达式. 刘孟彬和王亚峰［11］根据竖井设计的基本理论，推导了黄土区施工竖井井壁土压力的计算公式. Cheng和Hu［12］通过引入环向压应力系数来修正哈尔-卡门假定，推导了竖井衬砌主动土压力解析解. 周杨和周国庆［13］应用双重级数法推导出满足所有侧面及端部应力边界条件的弹性解，计算出某竖井约束内壁治理前后的应力分布. 应宏伟和梁文鹏［14］为探究方形竖井挡墙后空间主动土压力的分布规律，建立了正交挡墙三维有限元分析模型，推导出竖井挡墙的主动土压力计算公式. 上述研究结果均有益地推进了竖井围岩土压力计算理论的发展和完善.

值得注意的是，在针对竖井围岩空间被动土压力方面的研究较少，远滞后于工程实际需要［15］，因此本文基于Mogi-Coulomb强度准则，针对轴对称竖井围岩被动极限平衡状态开展分析，推导出基于Mogi-Coulomb强度准则的竖井井壁空间被动土压力新解，并将所得结果进行比较验证，最终探讨了中主应力系数对井壁空间被动土压力分布规律的影响.

1 Mogi-Coulomb强度准则

Mogi［16-17］在多种岩土真三轴试验数据的基础上，提出了Mogi经验强度准则通式为：

式中：σ1、σ2和σ3分别为大主应力、中主应力和小主应力；τoct为八面体剪应力；σ13为平均主应力；f为单调递增函数.

Al-Ajmi 和Zimmerman［18］将Mogi 经验强度准则和Coulomb 强度准则相结合，建立了Mogi-Coulomb 强度准则，其表达式为：

式中：c0为岩土的内聚力；φ0为岩土的内摩擦角.

由式（2）可见，Mogi-Coulomb强度准则考虑了中主应力σ2对岩土强度的影响. 在工程实践中常用中主应力系数b来表示中主应力与大、小主应力的函数关系，其表达式为：

将式（3）变换形式，可得下式：

将式（1）、式（4）代入式（2），经计算得到Mogi-Coulomb强度准则的主应力表达式为：

当中主应力系数b=0或1时，式（5）退化为Mohr-Coulomb强度准则的主应力表示式，即：

因此，Mohr-Coulomb强度准则为Mogi-Coulomb强度准则的特例［5］，对应的中主应力系数b=0或1.

针对轴对称竖井围岩问题（如图1），存在应力分量如下：井壁径向正应力σr、环向正应力σθ、轴向正应力σz和剪应力τrz，且σθ=σ2［19-20］. 令：

式中：p为平均主应力；q为广义剪应力.

联立式（4）和式（7），可得：

则轴对称竖井围岩问题的应力分量表达式为：

式中：θ为大主应力σ1与r轴的夹角.

为了简化公式的计算和方便公式形式的表达，令：

联立式（5）和式（8），可得：

式中：ct、φt分别为基于Mogi-Coulomb强度准则的凝聚力和内摩擦角.

2 井壁空间被动土压力公式推导

图1 为轴对称竖井围岩任意微元体的受力状态，图中R0为竖井半径，r为竖井围岩任意微元体的半径.轴对称竖井围岩问题的平衡微分方程为：

图1 竖井围岩微元体的应力状态Fig.1 Stress state of micro-element body in shaft surrounding rock

式中γ为竖井围岩的重度.

将轴对称竖井围岩的应力分量表达式（9）代入平衡微分方程式（12），得到如下微分方程：

若第一族滑移线的弧长用S1表示，第二族滑移线的弧长用S2表示，如图2所示，则式（13）和式（14）的特征线方程分别为：

图2 在r-z平面内井壁围岩的滑移线示意图Fig.2 Schematic diagram of slip lines of shaft wall rock in r-z plane

S1族

S2族

式中

则上述微分方程式（13）和式（14）可转化为体坐标S1和S2的表达式为：

S1族

S2族

图3 被动极限平衡下竖井围岩问题计算简图Fig.3 Calculation diagram of shaft surrounding rock under passive limit equilibrium

根据上述假定，则有

式中：θ为大主应力σ1与r轴的夹角.

将式（20）代入式（18）和式（19），经一系列计算，得到如下微分方程：

S1族

S2族

将特征线方程式（15）、式（16）代入式（21），可得到如下微分方程为：

将式（11）代入式（23），得到如下微分方程为：

为了简化微分方程的计算和方便微分形式的表达，令：

则式（24）可表示为如下形式：

对微分方程式（26）进行求解，得到轴对称竖井围岩在被动极限状态下的应力分量表达式为：

式中C1为积分常数.

若第一族滑移线与井壁交点的纵坐标为zb，与水平地表面交点的横坐标为rb，则存在下式：

根据应力边界条件σz|r=rb=T（T为表面荷载），经计算得到微分方程式（27）的积分常数为：

将式（29）代入式（27），可得轴对称竖井围岩在被动极限状态下的应力分量表达式为：

令轴对称竖井井壁围岩中一点的半径r=R0，将其代入式（30a）中，可得基于Mogi-Coulomb 强度准则的竖井井壁空间被动土压力新解为：

将式（10）、式（28）代入式（31），得到基于Mogi-Coulomb强度准则的竖井井壁空间被动土压力pb随着竖井深度zb的增加大致呈幂函数曲线增加，当zb→∞时，井壁空间被动土压力也趋于无穷大.

3 算例分析

为了验证推导出的基于Mogi-Coulomb强度准则的竖井井壁空间被动土压力新解的正确性. 针对深度z为10 m、半径R0为2 m 的竖井，选取竖井围岩的力学参数为：黏聚力c0=2 MPa，内摩擦角φ0=20°，围岩重度γ=26×103kN/m3，且表面荷载T=0 kN/m2.

图4 为竖井深度z=1.0 m 时，不同b值条件下基于Mogi-Coulomb 强度准则的竖井井壁空间被动土压力的分布曲线. 由图可知：中主应力系数b对竖井井壁空间被动土压力值有较大的影响，当0≤b<0.5时井壁空间被动土压力随着b值的增大而增大，当0.5 ≤b≤1.0 时井壁空间被动土压力随着b值的增大而减小，且b=0.5 时被动土压力为最大值，因此，井壁土压力分布曲线呈现出以b=0.5处土压力为对称轴，呈左右对称分布的特点；同时以b=0时竖井井壁空间被动土压力值（64.56 MPa）作为参照条件下，b=0.1、0.2、0.3、0.4、0.5 时井壁空间被动土压力值分别增大4.7%、9.0%、12.7%、15.1%、16.0%.

图4 不同b值对井壁空间被动土压力分布曲线的影响Fig.4 Influence of different b values on spatial passive earth pressure distribution curve of shaft wall

图5为不同b值条件下（由于对称性，选取b=［0，0.5］），基于Mogi-Coulomb 强度准则的竖井井壁空间被动土压力随着竖井深度增加的分布曲线. 由图可知：竖井井壁空间被动土压力值随着竖井深度的增加呈幂函数曲线分布，且b值越大，井壁空间被动土压力值越大；当b值较小时，随着b值的增大，竖井井壁空间被动土压力的增幅减小. 结果表明，基于Mogi-Coulomb强度准则的竖井井壁空间被动土压力值大于基于Mohr-Coulomb强度准则的井壁被动土压力，这是由于前者在分析井壁土压力时考虑了中主应力σ2的影响，使得前者土压力值较大；同时基于Mogi-Coulomb强度准则的竖井井壁空间被动土压力值明显大于平面应变状态下朗肯被动土压力值，这是由于在相同条件下（相同埋深和等效宽度），竖井井壁外侧处于被动极限平衡状态的围岩体积远大于平面应变条件下的情况，使得竖井井壁空间被动土压力值较大. 因此，在工程中采用基于Mohr-Coulomb强度准则的被动土压力会偏于危险.

图5 不同b值条件下井壁空间被动土压力分布曲线Fig.5 Spatial passive earth pressure distribution curves of shaft wall under different b values

4 结论

1）本文基于Mogi-Coulomb 强度准则，针对轴对称竖井围岩的被动极限平衡状态开展分析，推导了基于Mogi-Coulomb强度准则的竖井井壁空间被动土压力新解，以期为井壁的支护设计提供一定的理论依据.

2）竖井井壁空间被动土压力随竖井深度呈幂函数曲线分布，且Mogi-Coulomb强度准则的中主应力系数b对井壁空间被动土压力的影响较大，研究发现：当0≤b<0.5时井壁空间被动土压力随着b值的增大而增大；当0.5≤b≤1.0时，井壁空间被动土压力随着b值的增大而减小，且b=0.5时，被动土压力为最大值.

综上所述，在工程中采用基于Mohr-Coulomb 强度准则的被动土压力会偏于危险，而引入中主应力系数b的Mogi-Coulomb 强度准则可更加充分地发挥岩质竖井围岩的强度潜能，更经济安全地进行竖井设计与施工.