随机游走定义的概念错误及纠正
2021-12-16高宏
高宏
【摘要】本文分析了随机游走定义将单个质点的位移与时间之间的数量关系假设为随机变量的基本概念错误，以及用刻画大量重复试验中随机事件发生可能性的概率来度量随机游走每一步向右或向左可能性的研究方法错误.随机游走定义中的概念错误会导致随机游走研究对象发生错位，使研究对象从一个质点改变为大量质点，从而会得出与事实不符的结论.本文基于白噪声序列的基本概念，重新定义了随机游走，并分别推导出随机游走样本轨道性质和随机变量性质.
【关键词】随机游走;样本轨道;随机变量
一、引言
随机游走（Random Walk）是随机过程学科中用于描述动态随机现象的一种基本随机过程，其他重要的随机过程都可由它构造出来.随机游走不仅在随机过程理论中占有相当重要的地位，而且是自然科学、工程技术和社会科学研究动态随机现象的重要数学工具.液体中悬浮微粒的布朗运动、光纤陀螺中的随机游走误差和股票市场中的价格波动等随机现象均可用随机游走过程进行描述.
本文分析了随机过程教科书在定义随机游走时，将一个质点的位移与时间之间的数量关系假设为随机变量的基本概念错误，以及用刻画大量重复试验中随机事件发生可能性的概率来度量随机游走每一步向右或向左可能性的研究方法错误.随机游走定义的概念错误无形中会导致研究对象从一个质点改变为质点集合，只能用描述大量质点空间位置分布的统计特性来刻画一个质点的运动规律，从而会得出一系列与事实不符的结论.本文基于白噪聲序列的基本概念重新定义了随机游走，并分别推导出随机游走过程的样本轨道性质和随机变量性质，可为自然科学、工程技术和社会科学提供正确的理论、方法及工具.
二、随机游走定义错误分析
随机游走有两种形式的定义：一是对质点每一步的位移概率进行定义，二是将每一步的位移定义为独立同分布随机变量.
1.基于概率的定义
则称x（n）为从原点出发的一维简单随机游动[1-4].
随机现象在个别试验中的观察结果是随机的，呈现出不确定性，但是在大量重复试验中其结果又具有某种固有的统计规律.例如，如果只抛掷一次硬币，其结果完全随机，无法预测;但是随着抛硬币次数的增多，硬币正反面出现的频率会逐渐稳定于数值0.5附近，则称数值0.5为硬币正反面出现的概率.
因此，概率是在随机试验次数n充分大时，用来刻画随机事件发生可能性大小的一个数量指标.概率p和q是指随机游走的步数n充分大时，质点向右移动的步数和向左移动的步数与总步数n之比.
概率不能用来描述当n=1时的随机事件发生的可能性.对于n=1时的抛硬币试验，硬币正面出现的频率不是为1，就是为0，根本不存在频率的稳定值.定义1的错误在于将概率用于度量当n=1时的随机事件发生可能性大小，意味着如果只抛掷一次硬币，会同时出现正、反面向上的错误结果.
二、基于随机变量的定义
随机试验中的一次“测量结果”与随机过程中的一个样本函数x（t）相对应，样本函数x（t）描述了人们实际观察到的随机现象随时间演变过程，因此x（t）也被称为随机过程的一个“实现”.
图2为随机过程X（ω，t）、随机变量X（t）和样本函数x（t）三者之间的关系示意图.
从图2可以看出，随机变量X（t）和样本函数x（t）描述的是完全不同的物理现象.随机变量X（t）用来描述质点集合在某一时刻的位置分布，样本函数x（t）则用来描述一个质点的位移随时间变化过程.
定义2用随机变量X（t）来描述一个质点在t时刻的位移，无形中将研究对象从一个质点改变为大量质点，势必会用随机变量X（t）的统计特性来刻画一个质点的随机游走运动规律，得出与事实不符的错误结论.
3.质点位移与时间之间的数量关系
观察图1中质点位移x（t）随时间t的变化过程，无论质点做确定性运动还是随机性运动，在每一个确定的时刻，都有唯一一个确定的质点位置与时间“一一对应”，因此质点位移x（t）与时间t之间的数量关系为函数关系.
从物理学角度看，质点位移x（t）无疑是时间t的函数.从随机过程的角度看，质点位移是固定ω时的随机过程X（ω，t），即随机过程X（ω，t）中的一条样本轨道x（t），而非随机变量X（t）.
但是，定义1和定义2均将质点位移与时间之间的数量关系假设为随机变量，使研究对象从一个质点改变为质点集合，无形中导致样本轨道研究对象错误，由此必然会推导出一系列与事实不符的错误结论.
三、随机游走样本轨道性质
为区别随机游走过程中的随机变量和样本轨道，随机变量用大写的X（t）表示，样本轨道用小写的x（t）表示.
由于白噪声序列的自相关函数为“单位冲击序列”，其功率谱密度为“常数”，在数学上具有处理简单、计算方便等突出优点，因此白噪声序列是一个理想化的数学模型，在随机现象的理论研究中具有相当重要的地位.
基于白噪声序列的基本概念，可给出随机游走样本函数的定义：
表明一维简单随机游走质点的位移等于其平均速度与时间的乘积，即随机游走的位移与步数n成正比.
3.频域性质
随机过程样本函数在时域无法用确定性的数学解析式来描述，但是在频域可用确定性的数学解析式表示.例如，式（11）的功率谱密度函数就是随机游走样本轨道一阶差分在频域的解析表达式.
任何复杂的运动均由众多频率不同的简谐运动叠加而成.研究随机游走的频域特性，能够发现隐藏在随机游走现象下的确定性运动，从而能揭示出在时域看不到的确定性特征及规律.
从信号与系统的角度来看，随机游走x（n）是白噪声序列w（n）通过如图4所示的系统后所产生的输出响应.
由于系统输入w（n）的功率谱密度为常数，因此系统输出x（n）的功率谱密度就完全取决于系统的传递函数特性，可把对随机现象统计规律的研究转变为对确定性系统特性的研究.
从式（16）的累加器幅频特性可以看出，累加器具有低通滤波特性，导致Δx（n）通过累加器后，原时间序列中的低频谐波分量得到增强，高频谐波分量大幅衰减，因此系统输出x（n）是信号能量集中在低频段的红噪声序列.
此外，累加器具有记忆性，表明当前时刻的系统输出x（n）不仅与当前时刻的系统输入w（n）有关，而且与之前所有时刻的系统输入w（n）有关.因此，随机游走的质点位移x（n）具有很强的“相关性”或“记忆性”.
四、随机游走随机变量性质
1.增量数字特征
2.随机变量数字特征
由式（15）随机游走样本轨道位移x（n），可直接写出随机变量模型：
即X（n）服从参数为（0，n）的正态分布，与大量布朗粒子的空间位置分布规律相同，表明大量质点的随机游走是一种与布朗运动类似的扩散现象;当n充分大时，X（n）将变为一族从原点发出的射线.
所有样本轨道x（n）在第n步时的位置就是随机变量X（n） 在第n步时的状态，因此所有样本轨道x（n）在第n步时的位置服从均值为0和方差为n的正态分布.图6所示为8个质点的随机游走样本轨道，质点随步数n的增加而远离原点.
图6 随机游走样本轨道
五、随机游走问题重新求解
1905年，英國数学家卡尔·皮尔逊（Karl Pearson）在《自然》杂志上公开求解随机游走（Random Walk）问题：如果一个酒鬼醉得非常严重，完全丧失方向感，走路时每步的方向完全随机.问经过一段时间以后，在哪里找到他的可能性最大.
1921年，匈牙利数学家乔治·波利亚（George Polya）在研究了随机游走问题后，假设随机游走每一步的概率p=q=0.5，证明了P[X（n）=0，i.o.]=1，即一维简单随机游走的质点返回原点的概率为 1.日本数学家角谷静夫通俗地将其表述为：喝醉的酒鬼最终会找到回家的路（A drunk man will eventually find his way home）.
根据式（13）的随机游走位移公式，从原点出发的一维简单随机游走质点相对原点的位移x（n）与步数n成正比，表明随着步数n的增加，喝醉的酒鬼会逐渐远离原点.
六、结论
本文指出了随机游走定义中的两个基本概念错误：①将质点位移与时间之间的数量关系抽象为随机变量的基本概念错误;②用刻画大量重复试验中随机事件发生可能性的概率来度量随机游走每一步向右或向左可能性的研究方法错误.随机游走定义中的两个基本概念错误无形中导致随机游走样本轨道研究对象发生错位，使研究对象从一个质点改变为质点集合，只能用刻画随机变量的空间统计特性来描述一个质点的时间运动规律，从而会得出一系列与事实不符的结论.本文基于白噪声序列的基本概念，重新定义了随机游走，分别推导出单个随机游走质点的运动规律和大量随机游走质点的统计特性，可全面、系统地阐明随机游走过程的现象、特征及规律;同时证明了在微观上表现出很强随机性的随机游走，在宏观上具有总体的确定性和稳定性.
【参考文献】
[1] Joseph Rudnick.Elements of the Random Walk ：An introduction for Advanced Students and Researchers[M].Cambridge：Cambridge University Press，2010.
[2] Sheldon M.Ross.应用随机过程：概率模型导论[M].龚光鲁，译.北京：人民邮电出版社，2016.
[3]何书元.随机过程[M].北京：北京大学出版社，2008.
[4]林元烈.应用随机过程[M].北京：清华大学出版社，2002.
[5] Rick Durrett.Probability：Theory and Examples[M].Cambridge：Cambridge University Press，2019.
[6]钱敏平，龚光鲁，陈大岳，等.应用随机过程[M].北京：高等教育出版社，2017.
[7]常建平，李海林.随机信号分析[M].北京：科学出版社，2006.
[8]徐守时，谭勇，郭武.信号与系统：理论、方法和应用[M].北京：中国科学技术大学出版社，2018.
