浅探抗差估计在水准数据处理中的应用

卢庆凯 王家峰

（陕西地建土地勘测规划设计院有限责任公司，陕西西安 710075）

在水准网数据处理过程中常采用经典最小二乘法[1]，通过最小二乘法可以求得水准网的未知参数。使用最小二乘法的前提是水准网数据要服从正态分布，但是在实际工作和科学实验中都有可能出现观测粗差。对于出现粗差的观测数据是不服从正态分布，因此去除观测观测数据中的粗差非常重要。抗差估计方法可以有效的去除观测数据中的粗差，抗差估计理论是建立在观测数据的实际分布，而不是理论分布上[2]。

处理水准数据时，当水准网的闭合差超限时表明观测数据中含有粗差，仅仅从闭合差的角度寻找含有粗差的观测数据是很难实现的，很难判定哪一测段的高差观侧值中含有粗差。

对于含有粗差的测量数据，往往需要进行大量的重测，重新计算观测数据的精度以达到测量要求。数据处理方法中有些可以很好的探测到观测中粗差，虽然这些方法能够探侧到粗差的存在，但是后续的数据处理中首先要剔除粗差然后才能大量进行数据平差，计算工作量较大。

抗差估计优于最小二乘估计在于抗差估计能探测观测值中粗差的位置及其大小，并且能够剔除粗差，获得较高精度的平差结果[3]。在观测值无粗差时，抗差估计与最小二乘估计结果相同。鉴于此，应当在水准网平差和平面控制网平差中应用抗差估计进行平差计算，这是比较容易做到的。

1 抗差估计原理

抗差估计又称为稳健估计，它的作用是剔除实际生产过程中观测数据存在的粗差，在数据处理过程中选择合适的抗差估计方法可以有效的提高测量精度，使测量中的未知值最大限度接近实际值。我们的测量值是随机变量，符合正态分布的，如果出现粗差（gross error）的话，我们在应用最小二差或卡尔曼滤波的时候就会使结果偏离真实值（滤波发散）的现象。解决粗差或系统误差的时候，可以从两方面去理解，均值漂移或者方差膨胀，抗差估计属于方差膨胀模型，即均值不变，方差变化的现象。我们可以通过对出现粗差的观测值进行降权处理。我们在实现的时候，这个权阵很重要，权阵也就是我们说的方差阵的逆，分为独立和非独立，即观测值之间是否相关，是否相关也影响着等价权函数的形式。

2 抗差估计在实验数据中的应用

如图1，A、B、C 为已知水准点，HA=10m、HB=20m、HC=28m。正常观测的高差及各路线的长度见表1，未知参数的解为: HⅠ、HⅡ在h1和h4上分别加粗差-10mm 和80mm 粗差，然后采用最小二乘法，计算相应的残差值。

图1 实验水准网示意

表1 模拟观测值

几种方法的权函数虽然模型表达式一样，但其目的都是为了检测含有粗差的项[4]，并把粗差剔除。下面是几种方法的权因子的收敛速度，如表2。

表2 几种方法收敛速度的比较

分析说明：从上面可以看出几种抗差估计方法中，IGGI 法权的变化符合我们的期望，能使含粗差的权变换逐渐趋于零；IGGI 法由三段组成，更适合测量计算。而丹麦权的收敛速度是最快的，且其最后收敛的结果可以满足我们的要求，但其少淘汰段，不利于提高抗差能力。

3 三种方法实验结果比较

表3 是几种方法的平差值比较。

表3 三种平差方法的比较

分析说明：在几种方法中，可以明显看出抗差估计方法对含有粗差的平差值与最小二乘平差的方法的结果最近，且精度相对其他方法来说更高一些；粗差对改正数的大小在各个观测值中影响可以看出对含粗差大的将会给其以大的粗差改正数，而对相对来说小的则会把粗差分配到了各个观测值改正数中了。

从表4 中结果可以看出，各结果都有一定的抗差能力，IGG方案效果能满足我们的要求，我们给测段4 加了80mm 的粗差，而IGGI 法在最终的结果中给其了81mm 的改正数，有效的起到了抗差的效果。

表4 三种方法的改正值比较

同样为了提高实验结果的可信性，对于实验中设计的水准网。一是我们可以尽可能的增加水准闭合环路，增加观测数量，得到更多的观测数据，更多的观测量有利于剔除数据中的粗差。二是提高观测精度及实验可靠性，当观测数据含有粗差，我们发现并剔除时不影响继续使用数据。

对于不含有粗差的观测数据，使用抗差估计处理与最小二乘估计处理的结果是一致的[5]，从上可以看出最小二乘估计是抗差估计的一个特例。对于含有粗差的观测数据使用抗差估计，一是可以准确的找出观测数据中粗差的位置，二是可以剔除观测数据中的粗差，提高测量精度。

4 结论

针对最小二乘法在系统量测数据存在粗差时出现的问题，本文把抗差最小二乘法应用于水准高程数据处理中，运用的多种经典权函数，对抗差结果得出常用的对于含有粗差的观测数据使用最小二乘法效果不佳，当测量数据中存在粗差时，估计结果严重失真以至不能接受，甚至导致迭代不收敛。因此本文采用抗差思想，将抗差最小二乘法应用到水准测量高程估计中，通过实验结果证明: IGGI 法更适合于水准高程数据中粗差的探测。