基于MATLAB 三维空间下的鲱鱼群运动规律算法模型

张国勖

（重庆交通大学经济与管理学院，重庆 400074）

鲱鱼群在每年由南至北的大迁徙中，为了对抗沿途强大的捕食者联盟，会自发地聚集成一个个直径达数十米的近乎完美球形的“鱼球”，且个体能在遇到威胁时快速地传递威胁信号给其它个体而及时退避，使得强大数倍的捕食者们难以得逞。本文通过建立数学模型来模拟鲱鱼群的集群运动行为，探索鲱鱼群中的信号传递机制。分析鲱鱼在自然状态下和捕食状态下的运动规律，并基于鲱鱼的感知范围建立两种状态下的鲱鱼三维空间运动数学模型和海豚在捕食状态下的三维空间运动数学模型。其次，结合鲱鱼群的“六大运动规则”和数学模型，给出相应的数学模型公式。最后，利用MATLAB 对数学模型进行仿真。

1 模型建立

1.1 捕食状态下鱼群运动模型

在空间三维坐标系中，将鲱鱼群中每条鲱鱼看做为一个一个具有空间坐标和运动方向的矢量点。假定初始时刻t=0 时鲱鱼之间无任何感知，初始运动速度相同且大小不变，初始运动方向随机给定。研究鲱鱼群t 时刻在捕食状态下的运动规律，就相当于研究鲱鱼Si在t 时刻的空间坐标和运动方向。鲱鱼鱼群在捕食状态下主要分为两大鱼群：一类是直接感应到海豚的威胁并接收到其它鲱鱼传来的警告信号；另外一类是只接收到其它鲱鱼传来的警告信号。这两大类鲱鱼的运动遵守Reynolds 模型的六大规则：惯性运动规则、排斥运动规则、吸引运动规则、平行运动规则、逃避运动规则、警告运动规则，其中第二类鲱鱼不具有逃避运动规则。

图2 捕食状态下鲱鱼运动规则

（M1-惯性运动；M2-排斥运动；M3-吸引运动；M4-平行运动；M5-逃避运动；M6-警告运动）

如图1 所示，取四个运动规则下的运动方向的合方向为鲱鱼Si在t 时刻的运动方向，则鲱鱼si在t 时刻的运动方向可以表示为

图1 自然状态下的鲱鱼运动规则

1.2 捕食状态下海豚运动模型

在空间三维坐标系中，将海豚作为一个具有空间坐标和运动方向的矢量点。假定t=0 时海豚的初始运动速度大小不变方向随机给定。如图3 所示，取二个运动规则下的运动方向的合方向为海豚在t 时刻的运动方向，则海豚在t 时刻的运动方向可以表示为

图3 捕食状态下海豚运动规则

式中，H0为海豚在初始时刻t=0 时的运动方向；Ht为海豚在t 时刻的运动方向；H1t为海豚的惯性运动方向；H2t为海豚的吸引运动方向。

2 模型求解与仿真分析

2.1 自然状态下鲱鱼群仿真

利用MATLAB 软件对无外界威胁自然状态下的鱼群进行运动模型仿真。在三维空间坐标系下通过MATLAB 函数随机生成700 个自由分布的鲱鱼，如图4 所示，初始运动方向随机设定。

2.2 捕食状态下鲱鱼群仿真

利用MATLAB 软件对有外界捕食威胁状态下的鱼群进行运动模型仿真。对鱼群进行无外界威胁状态模型迭代500 次，迭代后的鱼群状态作为有外界捕食威胁状态模型的初始状态。

通过对捕食状态下鱼群空间分布的仿真发现：当捕食者逐渐逼近于鲱鱼群时，靠近捕食者一侧的鲱鱼呈现出以捕食者为中心，以威胁范围为半径的球面的分布状态，不同迭代次数下的鱼群空间分布状态如图5 所示，仿真结果与实际情况相符合。

3 结论

本文针对鲱鱼运动规律提出了优化算法。在无外界干扰的自然状态下，鲱鱼群具有趋于集群抱团现象，形成一个“鱼团”，鱼群系统保持一个相对平稳的状态。当遇到海豚捕食的威胁时，外部鱼群最先发现来自捕食者的威胁信息，并将信息迅速向鱼群内部传递，从而使整个鱼群远离捕食者。通过MATLAB对鱼群两种状态下的运动模型进行仿真，得出的结果和实际情况相吻合，从而验证了该运动规律模型的合理性。