用分式方程解决价格问题

赵小冬

价格问题中有三个基本量：总价、单价、数量，其基本关系式是“总价 = 单价 × 数量”. 下面举例说明如何用分式方程来解决价格问题.

例1（2021·四川·南充）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元;如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元. 求苹果的进价.

解析：设苹果的进价为x元/千克，根据等量关系“进价增加2元/千克要用300元，進价减少2元/千克购买同样数量的苹果只用200元”列分式方程[300x+2=200x-2]，解得x = 10. 经检验，x = 10是原分式方程的解，且符合题意. 则苹果的进价为10元/千克.

变式1：将“同样数量”改为倍数关系.

例2（2021·四川·眉山）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动. 每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同. 已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍. 求足球和篮球的单价.

解析：设足球单价为x元，则篮球单价为（2x - 30）元，根据“用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍”列方程[1200x] = 2 × [9002x-30]，解得x = 60. 经检验，x = 60是原分式方程的解，且符合题意，∴2x - 30 = 90. 则足球单价为60元，篮球单价为90元.

变式2：将“同样数量”“倍数关系”改为“和差关系”.

例3（2021·江西）甲、乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件. 求这种商品的单价.

解析：设这种商品的单价为x元/件. 根据等量关系“甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件”，列分式方程[3000x-2400x=10]，解得x = 60. 经检验，x = 60是原分式方程的解，且符合题意. 则这种商品的单价为60元/件.

（2021·浙江·嘉兴）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛. 901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍. 求荧光棒的单价.（答案见第31页）