活用条件 巧妙求值

刘顿

对有关分式的条件求值问题，除了套用常规方法外，在许多情况下需要根据条件及待求式的结构特征，采取适当的方法方能顺利求解. 现就常见技巧，列举四例进行简要说明.

一、变换条件，归一代入

例1（2021·四川·南充）若[n+mn-m] = 3，则[m2n2] + [n2m2] = .

解析：根据题意，由[n+mn-m] = 3，得n = 2m，将2m作为一个整体代入即可求值.

∵[n+mn-m] = 3，∴n = 2m，∴[m2n2] + [n2m2] = [m2（2m）2] + [（2m）2m2] = [14] + 4 = [174]. 故应填[174].

反思：本题意在考查分式的化简求值，求解的关键是能从条件出发得到两个字母之间的关系，从而实现从整体上代入约分求值.

二、变形条件，直通结论

例2（2021·四川·资阳）若x2 + x - 1 = 0，则3x - [3x] = .

解析：由条件可得到x - [1x]的值，而3x - [3x] = 3[x-1x]，從而可以直接求值.

∵x2 + x - 1 = 0，显然x ≠ 0，∴x + 1 - [1x] = 0，即x - [1x] = -1，

∴当x - [1x] = -1时，3x - [3x] = 3[x-1x] = 3 [×] （-1） = -3. 故应填-3.

反思：本题是常规题型，却频频出现在中考试卷上. 请同学们注意体会其解题方法.

三、巧用特值，直接代入

例3（2021·江苏·苏州）已知两个不等于0的实数a，b满足a + b = 0，则[ba+ab]等于（ ）.

A. -2 B. -1 C. 1 D. 2

解析：考虑分别取令实数a，b满足条件a + b = 0的简单的具体数值，直接代入计算求解.

∵两个不等于0的实数a，b满足a + b = 0，∴ab ≠ 0，

∴取a = 1，b = -1，∴当a = 1，b = -1时，[ba] + [ab] = [-11] + [1-1] = -2. 故选A.

反思：选取特殊值法，直接代入计算求解，对于具有特殊结构的条件求值问题值得效仿. 另外，本题也可以将待求式变形，即[ba] + [ab] = [a2+b2ab] = [（a+b）2-2abab]，从而达到整体代入、快速求解的目的.

四、增元变换，巧妙化简

例4（2021·山东·菏泽）先化简，再求值：1 + [m-nm-2n] ÷ [n2-m2m2-4mn+4n2]，其中m，n满足[m3] = - [n2].

解析：1 + [m-nm-2n] ÷ [n2-m2m2-4mn+4n2] = 1 + [m-nm-2n] × [（m-2n）2（n+m）（n-m）]

= 1 - [m-2nm+n] = [m+n-m+2nm+n] = [3nm+n].

显然，待求式化简后有两个字母，条件等式却只有一个.

从条件等式的结构特点上看，可将[m3] = - [n2]变形为[m3] = [n-2]，

设[m3] = [n-2] = a，从而得到m = 3a，n = -2a，∴原式 = [3（-2a）3a-2a] = [-6aa] = -6.

反思：增元看似复杂，但整体过程十分简洁. 对于某些特殊结构的条件求值题值得模仿.

1. （2021·广东）若x + [1x] = [136]且0 < x < 1，则x2 - [1x2] = .

2. （2021·福建）已知非零实数x，y满足y = [xx+1]，则[x-y+3xyxy]的值等于 .

3. （2021·山东·东营）化简求值：[2nm+2n] + [m2n-m] + [4mn4n2-m2]，其中[mn] = [15].

（答案见本页下方）

第21页答案：1. E 2. A 3. E 4. E

第27页答案：1. ∠2 = 70° 2. ∠1 + ∠3 = ∠2

第29页答案：1. 43° 2. [75°]

第31页答案：1. -[6536] 2. 4 3. [119]

第33页答案：B

第35页答案：1. x = 3 2. x = [23]

第37页答案：1元