反映数据集中趋势的量

杨文金

我们知道，平均数、中位数和众数都是反映数据集中趋势的量，平均数反映的是数据的平均水平，中位数反映的是一组数据的中间水平，众数反映的是一组数据的大多数水平. 这部分内容是中考热点. 现列举如下，供同学们学习时参考.

热点1 平均数的计算及应用

例1（2021·江苏·扬州）已知一组数据：a，4，5，6，7的平均数为5，则这组数据的中位数是 .

解析：中位數是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）.

∵这组数据的平均数为5，则[a+4+5+6+75=5]，解得a = 3，

将这组数据从小到大重新排列为3，4，5，6，7，

观察数据可知最中间的数是5，则中位数是5. 故应填5.

热点2 加权平均数的计算及应用

例2（2021·山东·临沂）某学校八年级（2）班有20名学生参加学校举行的“学党史、看红书”知识竞赛，成绩统计如图1. 这个班参赛学生的平均成绩是 .

解析：由统计图可知成绩为85，90，95，100的人数分别为3，2，5，10，则[x=3×85+2×90+5×95+10×1003+2+5+10=95.5]，故应填95.5.

热点3 中位数的计算及应用

例3（2021·四川·成都）菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为30，40，34，36，则这组数据的中位数是（ ）.

A. 34 B. 35 C. 36 D. 40

解析：把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数.

把已知数据按照由小到大的顺序排列为30，34，36，40，

∴中位数为（34 + 36） ÷ 2 = 35. 故应选B.

热点4 众数及其应用

例4（2021·甘肃·武威）开学前，根据学校防疫要求，小芸连续14天测量体温，统计结果如表1所示，这14天中，小芸体温的众数是 ℃.

解析：由表1可知众数是36.6 ℃，故填36.6.

热点5 统计量的选择

例5（2021·浙江·宁波）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数[x]（单位：环）和方差[s2]（单位：环2）如表2所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）.

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

解析：选择一名成绩好的运动员，要从平均数最大的运动员中选取.

由表2可知，甲、丙、丁的平均值最大，都是9，∴从甲、丙、丁中选取，

∵甲的方差是1.6，丙的方差是3，丁的方差是0.8，∴[s2丁]<[s2甲]<[s2乙]，

∴发挥最稳定的运动员是丁，

∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择丁. 故应填D.

注意：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定;反之，方差越小，表明这组数据分布越集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

例6（2021·浙江·金华）小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学测试了6次，绘制测试成绩折线统计图，如图2. 根据图中信息，解答下列问题：

（1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量.

（2）求小聪成绩的方差.

（3）现求得小明成绩的方差为[s2小明] = 3（单位：平方分）. 根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由.

解析：（1）要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，

小聪成绩的平均数：[16] × （7 + 8 + 7 + 10 + 7 + 9） = 8，

小明成绩的平均数：[16] × （7 + 6 + 6 + 9 + 10 + 10） = 8，

则应选择平均数，小聪、小明的平均数分别是8，8.

（2）小聪成绩的方差：[16] × [（7 - 8）2 + （8 - 8）2 + （7 - 8）2 + （10 - 8）2 + （7 - 8）2 + （9 - 8）2] = [43]，

（3）由（1）可知两人的平均数相同，因为小聪成绩的方差小于小明成绩的方差，成绩相对稳定. 故小聪同学的成绩较好.