浅说“教学与思维”

向书翠

中图分类号：G4 文献标识码：A

数学从它诞生那天起，就与思维结下了不解之缘。创造数学，构造数学，学习数学，研究数学，都是思维的过程， 而且是较为纯净的思维过程。很显然 数学与思维有着千丝万缕的联系，本文的目的 就是想从历史的角度，以数学家们发现问题、分析问题、研究解决问题的结果来阐明“二者”的关系

一、数学与逻辑思维

逻辑思维，又称抽象思维，它是舍弃认识对象及具体形象，通过语言表达反映客观事物本质和内部规律性的思维。它是人们在认识过程中借助概念、判断、推理等思维反映现实的过程，具有抽象概括、间接反映、借助语言等特征。在数学活动的过程中，逻辑思维常常成为其主线。下面我们以欧几里得《原本》诞生前后的思维进程，来展示数学与逻辑思维的关系。

1、历史演变告知的结论

希波克拉底（Hippocrates of Chios） 的《原本》是公元前450 年左右的作品，而且，在这前后，还有其他《原本》问世。亚里士多德的逻辑学是公元前350年左右的作品。欧几里得的 《原本》则产生于公元前300 年左右，这说明了亚里斯多德的逻辑学是杨弃在它之前的几何学中的几何儿术语，通过逻辑思维而产生的。欧几里得的《原本》则是自觉地运用逻辑学处理几何概念的结果。

2.欧几里得《原本》体系的逻辑思维欧

欧几里得《原本》第1卷列了23条定义;5条公设：5 条公理;接着便是48个命题，往后的第11卷至（）卷有108条定义和417个命题，形成了庞大的《原本》体系。《原本》中虽然欧几里得发明了一些命题和证明，但这部著作的主要功绩还在与对命题的巧妙选择和把它们排列成一个合乎逻辑的序列。当然，欧几里得《原本》在逻辑结构上也存在许多缺陷。一是《原本》论述中作了许多默认的假定，这些假定是他的公设所不承认的。二是存在这些逻辑缺陷中，也许是严重的。比如顺着缺陷的思路走下去，会导致与该体系的某个证明了的命题相矛盾的命题。例如：“证明任何三角形是等腰的”、“证明直角等于钝角，证明从一点到一线有两条垂线”。“这几何学上的三个恃论。

二、数学与形象思维

仔细考察数学认识活动的具体过程，会发现形象思维在数学中起着很大的作用。数学中的形象思维激励着人们的想象力和创造性，常常导致重要的数学发现。下面我们来看一个形象思维实例。射影几何中著名的帕斯卡 “神秘的六线形”定理”：如果一个六边形内接于一圆错曲线，则其三对对边的交点共线，并且，其逆命题成立。由这条定理引出的推论很多，并且引人人胜。对这个构形作过的探讨，几乎多到难以相信的地步。由圆锥曲线上的六个点形成的六边形有60种。并且根据帕斯卡定理，每一六边形对应有一帕斯卡线。这60 条帕斯卡线每三条有一公共点，共20 个点，这些点被称做史坦纳点，它们又四个四个地在15 条线上，这些线被称做普吕克线。帕斯卡线还依另一种点的集合三条三条地共点，它们被称做克科门点，共有60 个。对应于每一史坦纳点，有三个克科门点，这使得所有四点在同一线上，这些线被称做凯利线。有20 条凯利线，它们四条四条地过15 个点，这些点被称做萨蒙点。此构形还有许多进一步的扩展和性质：并且，对“神秘六线形”本身曾提出的不同证明多得不计其数。

从猜想到证明，再从猜想到推论，这条定理是一个典型的形象思维的过程。关于这种形象思维的特征，帕斯卡在《思想录》中讲得很透彻，他指出：“习惯于依据感觉进行判断的人，对于推理的东西毫不理解，因为他们想一眼就能钻透而不习惯于探索种种原则。反之，那些习惯于依据原则进行推论的人则对于感觉的东西也毫不理解，他们在那里探索原则. 却不能一眼看出，也就是说：以对于形象的感觉为基础展开推理的翅膀，才能自由翱翔。

三、數学与直觉思维

直觉思维，又称顿悟思维.在数学认识活动中，也占有颇为重要的位置。下面以庞加菜关于富克斯群的富克斯函数理论的研究为例来谈谈顿悟思维。

起初，庞加菜对富克斯函数真思苦想了整整两个星期，企图证明它不存在，但这个想法以后被证明是错误的。

后来“一天晚上”，庞加菜说：”与往常不同.我喝了浓咖啡，因而镶转反侧，难以人眠，众多的思绪蜂拥而来，我感到它们在不断地冲突和碰撞……直到最后，它们一一相联，也就是说.形成了一个稳定的组合体。”对此，庞加菜还作了心理学的剖析，他说：“在这种情况下，我们似乎处于自身的无意识工作状态，虽然也部分地感到有某些超兴奋的有意识的思维成分 ，但总的来说.并不能改变无意识的特征。于是，我们就只能含含糊糊地领略到两种思维机制的区别。

下一步的工作就是企图找到函数的表达式。庞加菜回忆道：“我想要把·这类函数表示成两个级数之商. 这个思想是非常自然和有明确目标的. 这时我想起了类似于此的椭圆函数的情形。我就设想，如果这两个级数存在，它们会有什么样的性质呢？循此向前.并没有遇到什么困难，我构造出了这两个级数，并称之为Q-富克斯”，就在此时，我离开了我所居住的地方卡昂.在矿业学院的资助下.开始了地质考察的旅行生活。旅途中的许多事使我忘掉了数学工作。到了康斯坦茨湖，我们乘一辆马车到其他地方去，就在我把脚放到马车踏板上的一刹那，一个思想突然闪现在我脑海中，而在此之前，我还从来没有想到过。这个思想就是我用以定义富克斯函数的变换与非欧几何的变换是等价的。当时我并没有马上去证明这个思想. 因为当时没有时间去考虑这件事，我继续和马车里的旅伴海阔天空地谈论着其他事情，然而我能感觉得到刚才所获得的这个思想是完全正确的。 在旅行结束回到我所居住的卡昂之后. 为了能问心无傀，我还是抽空给出了这个思想的证明。

“此后我就把注意力转移到与此有关的一些算术运算问题上去，但没取得什么成功.并且看起来也不象与我以前的研究工作有什么联系。由于对失败感到厌烦，我到海边去度过了几天，并且考虑了一些其他的事情。有一天早上.当我正在悬崖上面散步时，一种新的思想在我的脑海中又同样地突然闪现出来，而且同样是一种简洁而确定的思想。这个思想就是：不定三元二次型的算术变换与非欧几何变换是等价的. ”

这两个结果让庞加菜认为： 肯定存在着另外的富克斯群，也还存在着与他那个不眠之夜所遇到的不同富克斯函数。以前找到的只是一类特殊情况，接下来的事情应该是研究一般情况。

从这个事例中，我们得到的最重要的启示是什么呢？研究数学所需要的第一是激情.第二是激情，第三还是激情。有了激情才能使顿悟（直觉思维）频繁出现。努力地去锻炼自己的思维，也努力去培养自己的激情吧！