空飘气球飞行轨迹模型建立与仿真分析

刘娇龙，胡 杭，黄兴龙，张德昇

(中国人民解放军66133部队，北京 100043)

1 引言

空飘气球是指在平流层以下飞行的无动力浮空器，气球使用氦气或氢气填充，可用绳索固定在地面或物体上，也可于空中飘飞[1]。空飘气球有镀铝膜、捆束、透明、彩色等多种类型，其主要来源于节日庆典释放、空飘广告宣传、科学试验、侦察搜索等过程中的投放，在投放后可上升至几千米甚至上万米高空，并在浮力和风的作用下长时间稳定飞行。

空飘气球虽然在社会生产生活中具有重要用途，但违规投放的空飘气球将会对社会公共安全带来巨大威胁。一是严重干扰航空运输安全。随意释放的空飘气球飞行航迹缺少约束，不受控制，可能与航行中的飞机发生碰撞，或近距离接触并吸入发动机，造成发动机故障，严重影响飞行安全。二是威胁国家和个人隐私安全。利用空间技术，空飘气球可实现对国家机密地域的侦察窥探，或对公民住宅进行监测拍摄，容易被不法分子利用，产生失密现象[2]。三是造成人民生命财产安全损失。飘落坠毁的气球残余掉入城市、居民区等人口聚集区域，容易发生撞击、燃烧、爆炸等事件，极易造成人员伤亡，社会影响十分恶劣。因此，建立空飘气球飞行轨迹模型，研究空飘气球的运动轨迹，特别是预测分析其释放后飞行轨迹，对于维护航空飞行安全、国家隐私安全和人民生命财产安全，都具有重要的现实意义。

文献[3-4]建立了系留气球的数学模型，研究了在风场作用下气球的升空过程，分析了气球轨迹、水平漂移距离等参数变化规律，以指导系留气球的释放控制过程。文献[5-6]针对平流层高空气球，考虑了膨胀因素和热力学影响，建立了气球运动综合模型，并引入实际风场数据和实验数据，研究了气球模拟上升轨迹、速度和温度特性。文献[7-10]研究了空中运动的物体在受到与速度成线性或二次方关系阻力、风速影响、旋转影响时的运动模型和空间轨迹，但由于针对的是小型抛射体，未考虑其所受的浮力影响。

目前已有的文献从不同角度对气球升空模型进行了分析，但缺少针对平流层以下空飘气球的系统研究，不能很好的支撑空飘气球运动轨迹预测分析。本文在综合现有研究基础上，结合气球受力分析、动力学模型和运动学模型，对空飘气球飞行轨迹进行详细建模。同时，对实际高空风场历史数据进行了拟合，利用MATLAB搭建仿真模块，研究了空飘气球在历史平均风场作用下的升空、漂浮过程中的轨迹和速度特性。最后，对不同阻力模型下空飘气球轨迹模拟效果进行了对比，分析了不同模型在模拟空飘气球轨迹时的适应性。

2 空飘气球模型

2.1 气球受力分析

将地球视为固定不动平面，建立大地平面坐标系O-xyz，用以描述空飘气球运动轨迹，如图1所示。选择气球释放点为原点O，x轴指向正东，与纬线平行，y轴指向正北，与经线平行，z轴垂直向上，坐标系满足右手定则。

图1 空飘气球受力分析

空飘气球在空中运动主要受到浮力、重力和空气阻力的作用。浮力、重力及空气阻力表达式如下

(1)

其中，浮力F浮方向垂直向上，为空气密度ρ、气球体积V排和重力加速度g的函数，g=9.8m/s2；重力G方向垂直向下，为气球质量m与重力加速度g的函数；阻力F阻的方向与气球相对风的运动方向相反，为空气密度ρ、特征面积S、阻力系数CD和气球相对于风的速度va的函数。

2.2 动力学方程

令v为空飘气球相对地面的运动速度，vw为风速，va为气球与风的相对速度。在x、y、z三个轴方向上，vx、vy、vz为速度v的三轴分量，vwx、vwy、vwz为风速vw的三轴分量，而vax、vay、vaz为气球与风在三轴方向上的相对速度，有

(2)

气球在上升漂浮过程中，可以将其视为质点运动，其三轴方向动力学微分方程为

(3)

其中，F阻vax/va、F阻vay/va、F阻vaz/va分别为阻力在x、y、z三个轴方向上的投影分量。m为气球质量，包含气球蒙皮质量、气体质量、载荷质量和附加质量，计算式如下

m=m皮+m气+m载+m附

(4)

其中，附加质量是由于气球拖拽的空气引起的。当气球在空气中运动时的平均密度和空气密度量级相当时，需要在运动分析中考虑。附加质量为空气密度和气球体积的函数，计算公式如下[5-6，11]

m附=C附ρV排

(5)

C附为阻力系数，对于近似球形的气球而言，C附取0.5。

2.3 运动学方程

对于气球的运动学微分方程，有

(6)

其中，sx、sy、sz分别为气球在x、y、z三个轴方向上的位移。

3 大气环境模型

3.1 大气模型

空飘气球主要在对流层中漂浮，在其上升过程中，空气的密度、温度、压力都将发生变化。本文采用国家标准大气密度解析函数(GB1920-80)来模拟不同高度的空气密度[12]

(7)

3.2 风场模型

无论是上升过程还是漂浮过程，风速都是空飘气球运动的重要影响因素。风速是高度的函数，其大小和方向会随着高度的变化而变化，同一地域不同时间，同一时间不同地域，风速规律都不尽相同。通常可将风速分解为经向风和纬向风，对于经向风，正北方向定义为正方向，对于纬向风，正东方向定义为正方向，以保持与本文坐标系一致。

某地域冬季盛行西北风，采集该地域2018年至2020年的12月—3月期间，从地面至9000m高空风的大小和方向数据，并将其分解至经纬两个方向，获得经向风和纬向风大小。对纬向风vx、经向风vy、合成风vxy的采集数据进行拟合，得到这一段时间段内风速的平均值拟合函数表达式及其常系数

vx(h)=a1h5+a2h4+…+a5h+a6

vy(h)=b1h5+b2h4+…+b5h+b6

vxy(h)=c1h5+c2h4+…+c5h+c6

(8)

a=[2.896e-17，-5.653e-13，3.86e-9，

-1.113e-5，1.623e-2，-4.394]

b=[1.124e-17，-2.289e-13，1.586e-9，

-4.069e-6，6.416e-4，-0.792]

c=[2.192e-17，-4.122e-13，2.679e-9，

-7.339e-6，1.183e-2，1.148]

(9)

风场采集数据及拟合曲线如图2所示。

图2 风场数据及拟合曲线

3.3 空气阻力

对于空气中运动的物体，其阻力系数与气球雷诺数相关。根据文献[6，9]的资料可知，对于一般球型或椭球型物体，气球雷诺数在106左右，阻力系数CD取值在0.13-0.467之间。

为了验证不同空气阻力模型对气球飞行轨迹的模拟效果，本文引入文献[8]的空气阻力形式，并在下文仿真中与式(1)中的阻力形式进行对比。文献[8]将空气阻力在各个分轴上分别解耦进行计算，其计算式为

(10)

其中，α=1/2ρSCD，当气球为不规则形状时，各个轴方向的投影特征面积和阻力系数需要根据具体形状而更正。

4 仿真研究

对普通铝膜球形气球进行放飞仿真，模拟其从该地域地面放飞后上升及漂浮轨迹，气球参数如表1所示，气球总质量为12g，体积为0.0335m2，风速模型采用式(7)所示的该地域拟合平均风速模型。

表1 气球参数

气球上升速度曲线如图3所示。当气球被释放后，气球在浮力作用下，速度将会迅速增加到约2.9m/s，然后随着高度增加时逐渐减小，最后停止上升，在一定高度上达到稳定。

图3 气球释放后上升速度曲线

从动力学模型式(3)中，可进一步分析气球上升时速度变化的原理。根据式(3)，当气球稳定上升时，有

(11)

刚释放时，浮力大于重力，ρgV排>mg，因此vz>0，气球上升。随着气球高度增加，空气密度ρ逐渐减小，气球所受的浮力也逐渐减小，上式中mg/ρ逐渐增大，vz随之减小。当到达一定高度时，气球浮力、重力达到平衡，即ρgV排=mg，因此vz=0，气球停止上升，稳定在某高度层。另外，从式(11)还可知，气球质量越小，体积越大，阻力系数越小，vz越大，气球上升得更快。

图4为气球上升后高度随时间变化曲线。从图中可知，气球被释放后，高度稳定增加，在约55min时上升至5265m，然后稳定在此高度层。

图4 气球上升高度随时间变化曲线

根据上文分析可知，当高度稳定时，ρgV排=mg，即

m=ρV排

(12)

空气密度ρ是高度h的函数，随高度增加而减小。因此，对于给定体积的气球，质量越轻，飞得越高；而对于稳定在一定高度的气球，气球质量越大，体积也必须更大。

图5给出了气球水平方向漂移的距离和高度变化的对比图。从图中可见，气球在释放的初始阶段以上升运动为主，而在接近稳定高度层时以水平运动为主。当其上升到3000m高空时，水平方向只运动了8.6km。而从3000m上升到稳定高度层5265m处，气球漂浮了40km。需要指出的是，本文中5265m高空风速为82.5km/h，而气球水平漂移距离与空中当前风速有关，当风速越大时，横向漂移距离会随之增加。

图5 气球高度方向和水平方向位移图

图6给出气球升空后的三维轨迹示意图。从图中可见，气球在风场和浮力作用下迅速上升，最后于5265m高度沿117.6度方向稳定飞行，与该高度层的风速方向保持一致。

图6 气球升空后的三维轨迹示意图

最后，进一步给出了采用式(10)中空气阻力解耦模型与采用式(1)中阻力耦合模型的仿真效果对比图，如图7所示。从图中可见，虽然式(10)将阻力分解为三个轴分别计算，但这对气球模型的仿真计算效果影响甚微。与原阻力模型相比，两者几乎具有相同的上升轨迹特性，在20km处高度差距小于30m。这说明两个模型均可用于气球飞行轨迹仿真，式(1)中的模型在力学上更容易解释，而式(10)的模型更有利于区别气球在不同方向上受到不同阻力系数和特征面积的影响。

图7 不同阻力模型气球升空效果对比图

5 结论

本文对空飘气球升空后的受力情况进行了详细分析，建立了空飘气球的动力学和运动学模型，并对某地域高空风速历史数据进行拟合，建立了大气环境模型。仿真结果表明，提出的模型可以有效的模拟气球升空后的速度变化和轨迹变化特性，其反映出的规律与实际经验相一致。在实际应用中，需要进一步进行气球放飞试验，获取不同气球的阻力系数、附加质量系数、特征面积等参数，以不断提高模型的精确性和适应性，更好实现空飘气球的轨迹实时预测。