巧用辅助策略 妙解物理问题

胡道成

高考评价体系物理科考试提出了“理解能力、推理论证能力、模型建构能力、实验探究能力和创新能力”5种关键能力.高考解题过程中的创新能力应该是指學生在熟练掌握必备知识的基础上，依据基本的物理观念，通过对物理思想和方法的领悟，从而实现能够独辟蹊径地去顺利解决问题的心理品质.其特征是综合性、独特性和结构优化性.其实，有些物理问题本身就很难用“通性通法”去顺利解决，学生会有“山穷水尽疑无路”之感，若能寻找到新颖、独特、巧妙、简捷的辅助方法，就可以达到“柳暗花明又一村”的奇妙效果.引导学生巧设辅助量或妙用辅助过程来作为解题的桥梁和纽带，是培养学生创造性思维能力的一种有效途径，可以起到提高解题效率的作用.

一、巧设虚拟轨道，比较“异轨”卫星参量卫星都是在万有引力作用下绕中心天体做圆周运动或椭圆运动的，但对于卫星在不同的轨道上通过同一位置、不同轨道的不同位置的加速度、线速度、角速度和周期等参量的比较问题，若不能找到正确的比较思路，就很容易陷入无法比较的泥潭.解答这类问题需要灵活运用不同轨道的相关性和差异性作为解题的突破口，充分利用牛顿第二定律、圆周运动（离心运动、近心运动）的条件、功能关系、开普勒第二、三定律、几何知识来实现综合性的推理论证.有些题目还要借助基本规律，通过巧设虚拟轨道来参与推理论证过程，才能得到逻辑严密而令人信服的结论.

图1

例1 （2021年高考模拟黑白卷）如图1所示为某探测器围绕火星运行的两条预定轨道，轨道A为圆形轨道，轨道B为椭圆形轨道，M、N分别为椭圆轨道的近火点和远火点，P为A、B两条轨道的交点.已知圆形轨道的直径与椭圆轨道的半长轴相等，则下列说法正确的是（  ）.

A.探测器分别沿轨道A、B运动经过P点时的加速度大小相等

B.探测器沿A轨道运动的周期比沿B轨道运动的周期大

C.探测器沿B轨道运动时经过M点的速率比经过N点的速率大

D.探测器沿A轨道运动经过P点的速率比沿B轨道运动经过N点的速率小

答案：AC.

解析 设探测器和火星质量分别为M和m，探测器到火星的距离为r，则探测器沿轨道A、B运动经过P点时，根据牛顿第二定律，有GMmr2=ma，解得a=GMr2，所以加速度大小是相等的，选项A正确.值得注意的是探测器在轨道B上运动而经过P点时仅由万有引力的一个分力来提供向心力，探测器在轨道A上运动而经过P点时万有引力提供向心力，因此探测器在轨道A上运动而经过P点时的向心加速度大于在轨道B上运动而经过P点的向心加速度.由于圆形轨道的直径与椭圆轨道的半长轴相等，根据开普勒第三定律，探测器的周期满足R3T2=k，这里的中心天体都是火星，所以周期是相等的，选项B错误;探测器沿B轨道运动时是在同一个椭圆轨道，根据开普勒第二定律可以得出υMυN=rNrM，探测器经过M点的速率比经过N点的速率大，选项C正确;也可以从万有引力做功的角度来分析，探测器从M点向N点运动时，万有引力做负功，探测器的动能减小，速度减小.要比较探测器沿A轨道运动经过P点的速率与探测器沿B轨道运动经过N点的速率大小，由于探测器处于不同轨道上的不同位图2

置而难以比较，我们不妨添加一个与轨道A为同心圆，正好通过N点的虚拟圆轨道（图2），并选择这个圆轨道上的一点D来进行辅助推理，探测器如果在这个轨道上做匀速圆周运动，则根据GMmr2=mυ2r得υ=GMr，可知υD<υP，也即是“高轨低速”;再来看如果探测器通过N点做椭圆运动而需要让它做圆周运动，则需要在N点进行点火加速才行，这又是常规的变轨问题，显然υD>υN，所以必有υN<υP，选项D错误.

点评 对于卫星在圆轨道上运动与椭圆轨道上运动的参量比较问题，需要抓住相同和不同之处，从运动学、动力学、功能关系、轨迹的几何特点等角度去进行综合比较研究，必要时可以寻找一个辅助轨道来作为解题切入点，找到合适的“第三方”作为比较的标准，从而突破知识在不同情景下的变异特征，使问题得以顺利解决.

二、巧添辅助电荷，妙解电荷变化问题

静电场的许多问题都是基于电场在空间分布上的对称性及力的作用效果的对称性来命题的，所以可以充分利用对称性思想来启迪和培养学生的直觉思维能力，敏锐的看出并抓住事物在某一方面的对称性，利用对称法去分析和解决问题，可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，出奇制胜，快速简便地求解问题.

图3

例2 （2021年押题黑白卷）如图3所示，真空中有一正三角形ABC，O为正三角形中心，M、N分别是AC、AB的中点.第一次，在A、B、C分别放置电荷量为+Q、-2Q、-2Q的点电荷，放在O点的检验电荷+q受到的电场力为F1;第二次，在第一次的基础上仅将A处的+Q变为+2Q，在O点同样的检验电荷受到的电场力为F2.下列分析正确的是

A.F1∶F2=2∶3

B.F1∶F2=3∶4

C.第一次，检验电荷从O点移到M点过程中电势能增大

D.第二次，检验电荷从O点移到N点过程中电势能减小

答案：BC

解析 基于对称性的考虑，若在A点也放上一个-2Q的电荷，则A、B、C三点所放电荷完全相同，放在O点的检验电荷+q受到的电场力必然为零.而题目所给条件是A点的电荷为+Q，可以视为+3Q+（-2Q），现在只需要求+3Q对检验电荷的库仑力即为F1.设A点到O点的距离为r，则F1=k3Qqr2，第二次将A处的电荷变为+2Q，相当于+4Q+（-2Q），同理可得F2=k4Qqr2，选项B正确;分析电势能变化情况时，可将三个-2Q的电荷“视而不见”，则第一次检验电荷从O点移到M点过程中是靠近正电荷+3Q，需要克服电场力做功，电势能增大，选项C正确;第二次的情形与第一次相似，检验电荷靠近+4Q，电势能也是增大，选项D错误.

点评 根据对称性对静电场问题中的电荷分布情况进行“添加”，以便把“破缺”了的情景通过联想类比恢复成一种“完美”的状态，再根据典型问题的特殊条件或熟悉的结论就能寻找到求解新问题的简捷思路，这样处理既能使状态变化趋于明朗，又能使问题简化，往往是解决这类问题的巧妙思路.

三、巧用等效“移花接木”，妙析变质量问题

有些物理问题中物体的运动变化过程是一个不易理解的动态过程，学生很容易在追寻变化过程中迷失了方向而找不到解题突破口.其实，不同的物理现象、模型、过程在物理意义、作用效果或物理规律方面可能是相同的，只要换个角度通过“移花接木”的设想对过程进行熟悉化处理，就能在“等效思想”的帮助下找到效果完全相同的、规律比较明朗的物理过程，将问题化难为易，求得解决.

图4

例3 （2021年押题黑白卷）如图4所示，一段长为2h、质量为m的均匀链条搭在固定在墙面上的光滑铁钉上，铁链一端与质量为2m的物体（可看作质点）相连静止于地面，另一端自然下垂恰好与地面接触.现某人将物体缓慢拉起，当物体离地面h4时突然失手滑落，物体又落回地面.不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是（  ）.

A.当物体运动到h4时，人所做的功为3364mgh

B.当物体运动到h4时，人所做的功为3164mgh

C.物体落地时的速度为186gh24

D.物体落地时的速度为210gh24

答案：BC

解析 这是一个变质量问题，设想将链条左端长度为h4的铁链直接“剪下”放到右端去接上，而这部分链条相当于落到了右侧地面上，其重心降低了h8，重力势能减少了ΔEP1=m2h×h4g×h8=mgh64，物体上升h4的过程中重力势能增加ΔEP2=2mg×h4=mgh2，所以人做的功等于系统重力势能的增加量：W=ΔEP2-ΔEP1=3164mgh，选项B正确;物体落地时，链条的h4长度又被还回去了，其重力势能将增加ΔE′P1=mgh64，物体则从h4处下落到地面，其重力势能将减少ΔE′P2=mgh2，根据能量关系，整个系统势能加少量等于动能增加量：mgh2-mgh64=12（3m）υ2，解得物体落地速度为186gh24，选项C正确.

点评 对于涉及“链条”、有质量的“绳子”“电线杆”之类重心变化而引起的功能关系问题，解题的突破口往往都需要判定重心升高或降低，通常要采用“割补法”以“移花接木”的辅助方案来寻找解题思路，可以把难以判定的实际问题转化为简单的熟悉问题，以便抓住它的本质，找出其中的规律，迅速解决问题.

四、巧做辅助线，妙析气体状态变化

做辅助线是解决几何问题中的一种很常见的重要方法，一旦通过观察而做出了合适的辅助线，就能使原先不明朗的几何关系变得清晰可见，问题的解决途径也就会豁然开朗.有些物理问题中的物理量也不一定都可以直接进行比较，这时若能转换思考问题的角度，通过做辅助线来架设已知量与待求量之间的桥梁，也许就可以找到解决问题的创新途径，使问题得以顺利解决.

例4 （2021年云南民中月考题）一定质量的理想气体，从初始状态A经状态B、C、D再回到状态A，其体积V与温度T的关系如图5所示.下列有关说法正确的是（  ）.

A.在A状态时的内能小于B状态时的内能

B.从B状态到C状态，单位时间内撞到器壁单位面积上的分子数增多

C.从C状态到D状态的过程中气体从外界吸热

D.从状态D到状态A的过程中外界对气体做功

E.气体在状态D时的压强小于状态B时的压强

图5          图6答案：ABE

解析 理想气体从A状态到B状态是等容过程，气体温度升高，理想气体的内能由温度决定，A状态时的内能小于B状态时的内能，选项A正确;从B状态到C状态是等温变化，分子的平均动能不变，体积减小，密度增大，根据玻意耳定理pBVB=pCVC可知气体的压强增大，所以单位时间内撞到器壁单位面积上的分子数增多，选项B正确;从C状态到D状态的过程中气体的温度降低，内能减小，体积减小，外界对气体做了正功，根据热力学第一定律：ΔU=W+Q可知，气体放出热量，选项C错误;从状态D到状态A是等压变化过程，气体的温度升高，体积增大，气体对外界做功，选项D错误;为了比较气体在状态D与状态B的压强，由于状态D与状态A压强相等，只要比较状态A与状态B的压强关系即可，由pATA=pBTB可知，TB>TA，所以pB>pA，于是pB>pD，选项E正确.还可以这样比较：因为理想气体的V-T图像中，过坐标原点的直线表示等压变化，根据pVT=C得：V=Cp·T，由此可知，過坐标原点的直线斜率越小，表示气体的压强越大，做辅助线连接OB，如图6所示，显然其斜率小于直线OD的斜率，于是pB>pD.

点评 对于一定质量理想气体的状态变化类图像问题，在V-T图上做等压线、在p-T图上作等容线、在p-V图上做等温线都是很常见的辅助思路.实际上，解决物理图象问题时都经常会用到“化曲为直”“以直代曲”等方法，也是通过寻找“中间量”或“平均值”来实现间接比较，做辅助线是很有效的途径.

五、巧做矢量三角形，妙解三力动态平衡题

对于“有一个力是恒力，另外两个力方向都在变化”的三力平衡问题，通常都是先对物体进行受力分析，如果能从空间几何关系上去寻找到力的矢量三角形与空间的几何三角形的相似关系，就可以根据“相似三角形对应边成比例”来进行推理论证，得出结论.对于三个力的大小都发生变化，两个力的方向发生变化的动态变化问题，任然可以通过做矢量三角形的辅助手段来解决问题.

图7

例5 （2021年押题黑白卷）如图7所示，用长度均为L的轻质细绳将质量均为m的小球A和B悬挂于O点，A、B间用原长为2L的弹簧相连，两小球在同一竖直面内均处于静止状态，细线间的夹角θ为60°.若只改变小球B的质量，使得A、B间距变为原来的一半，弹簧始终处于弹性限度内，则小球B的质量变为原来的（  ）.

A.3倍  B.4倍  C.5倍  D.6倍

答案：A

图8

解析 设弹簧的劲度系数为k，根据几何关系可知，开始时弹簧对小球B的弹力方向与轻绳对小球拉力的方向之间的夹角为120°，据此求出弹簧中弹力的大小为mg，此时弹簧形变量为L，根据胡克定律可得：kL=mg.当A、B间距变为原来的一半时，弹簧形变量为1.5L，可得弹簧中的弹力为k×1.5L=1.5mg，设此时小球B的质量为m′，本题中的三个力的大小都发生变化，其中两个力的方向也发生变化，两细线之间的夹角并不是30°，小球B并不在原来的AB连线上，做出新的力矢量三角形如图8所示，它与几何三角形OAB相似，根据相似三角形对应边成比例可知：1.5mgm′g=L2L，解得m′=3m，选项A正确.

点评 常见的“一个恒力，两个方向变化的力”这类三力平衡问题，是根据题中的空间关系做出几何三角形（需要通过观察来做辅助线构建几何三角形）和力矢量三角形，寻找几何三角形与力三角形的相似性，由对应边成比例写出等式进行计算、推理.需要指出的是并非“有一个恒力，两个方向变化的力”这类题型都能通过相似三角形法来处理，有的题目情景中并没有这种相似關系，实际上这种方法只适用于几何三角形有两个边的长度保持不变的情形.六、巧用“对称关系”，妙寻解题思路

物理中的对称现象比比皆是，对称的作用、对称的结构、对称的电路、对称的物和像等等.对称通常表现为研究对象在结构上的对称性、物理过程在时间上和空间上的对称性、物理量在分布上的对称性及作用效果的对称性等.“对称”作为一种重要的思想和方法，在高考命题中随处可见，意在考查学生的直觉思维能力和猜想推理能力，有利于引导中学物理教学过程中注重培养学生的美学素养和学科素养.

例6 （2021·河南）如图9所示，四个电荷量均为q（q>0）的点电荷分别放置于菱形的四个顶点，其坐标分别为（4l，0）、（-4l，0）、（0，y0）、（0，-y0），其中x轴上的两个点电荷位置固定，y轴上的两个点电荷可沿y轴对称移动（y0≠0）.下列说法正确的是（  ）.

A.除无穷远处之外，菱形外部电场强度处处不为零

B.当y0取某值时，可使得菱形内部只存在两个电场强度为零的点

C.当y0=8l时，将一带负电的试探电荷由点（4l，5l）移至点（0，-3l），静电力做正功

D.当y0=4l时，将一带负电的试探电荷放置在（l，l）处，其所受到的静电力方向与x轴正方向成45°倾斜向上

图9           图10答案：ACD

解析 将x轴上和y轴上的两个点电荷作为

研究对象，显然它们连线的中点电场强度，同时考虑两者，菱形内部只有O点的电场强度为零;菱形外部则可以将4个电荷向O点集中视为一个正电荷，显然其周围的电场线是“光芒四射”的形状，电场强度除无穷远处之外处处不为零，选项A正确;根据对图中电荷分布的对称性分析可知，无论y0取值如何，菱形内部只有O点电场强度为零，选项B错误;根据对称性，可知点（0，-3l）与点（0，3l）关于x轴对称，两个点电势相等，所以将一带负电的试探电荷由点（4l，5l）移至点（0，-3l），从静电力做功的视角来考察，完全可以视为移至点（0，3l），此时若只考虑位于（0，8l）及（4l，0）这两个点电荷，从空间关系上看，其实点（4l，5l）与点（0，-3l）是关于两个点电荷连线对称的（见图10），在这两个点电荷组成的电场中，在这两点间移动负电荷的过程静电力做功为零，现在只需要考虑位于（-4l，0）和（0，-8l）这两个点电荷的静电力对负电荷的做功情况即可，显然上述移动过程中，负电荷靠近两个正电荷，静电力做正功，选项C正确;当y0=4l时，四个电荷关于O点对称，将位于（-4l，0）、（0，y0）和位于（0，y0）（4l，0）分别视为一对等量同种电荷，显然它们的合场强沿着与x轴正方向成45°倾斜的直线上，点（l，l）距离后面两个电荷较近，这里的场强方向沿直线倾斜向下，带负电的试探电荷放置在（l，l）处，其所受到的静电力方向与x轴正方向成45°倾斜向上，选项D正确.

点评 本题自始至终围绕着寻找对称点来思考，回归到“等量同种电荷”周围的电场分布情况去，这是大家较为熟悉的情况，以便达到“以题攻题”的目的.将点（0，-3l）用（0，3l）来取代是一种能量观念的指引，这样再次发现点（4l，5l）移与点（0，-3l）是关于两个点电荷连线对称，最终使推理论证过程“步步为营”，得出可靠的结论;将位于（-4l，0）、（0，y0）和（0，y0）（4l，0）的点电荷分别视为一对等量正电荷，也是因为这样看待问题容易与题给直线产生联系，使问题变得易于解决.通过这样的几次“辅助”处理，避免了陷入复杂的数学计算陷阱，“难题”也就迎刃而解了.

基于辅助策略去寻找创造性解决物理问题的方法，实际上是在用物理思想来有效地指导解题，以实现用新颖、独特、巧妙、简捷的思维方法来提高解题效率的目的，需要通过对知识的掌握，方法的提炼，思想的领悟，才能增强学生对这种辅助手段的深刻理解与灵活运用，切实提高学生的创造性思维能力.

基金项目：本文系2019年贵州教育科学规划立项课题“核心素养视域下高中学生物理能力培养的实践研究”（编号：2019B025）的阶段性成果.

（收稿日期：2021-09-12）