培养初中生数学思维深刻性的策略研究

肖文记

摘  要：数学思维的深刻性主要表现为三个方面：一是纵向思维，向后能追根溯源，向前能预见未来;二是由表及里，洞悉本质，揭示事物的发展规律;三是由此及彼，在关联中呈现事物之间的相互关系。文章主要就初中生数学思维的深刻性进行探讨。

关键词：思维深刻性;洞悉本质;揭示规律;内外关联

在初中数学教学中，发现学生对知识的理解存在单一化和片面化的现象;对问题的探讨停留在固定层面上，对方法的研究没有归纳提炼，造成学生思维的浅层次发展。为了将学生的思维引向深刻，可从以下三个方面进行探索。

一、在洞悉本质的过程中发展数学思维的深刻性

大部分学生对两位数乘法的计算停留在竖式计算层面，能否优化算法？我们可以尝试探究计算中的规律。例如，[152=225，] [352=1 225，] 积末尾两位数字都是25，前面数字为十位数字和比它大1的两数之积，由此通过口算便可以得到[452]的结果;[11×19=209，] [13×17=221，] 积末尾两位数字为个位数字之积，前面数字为十位数字和比它大1的两数之积，由此可得到[14×16]的结果;[11×12=132，] [14×17=238，] 积的结果也有规律，[11×12=][11+2×10+1×2=132，14×17]= [14+7×10+4×7=238，] 由此可推算[23×24=23+4×][20+3×4=552。] 深层次思考，如何验证与推广？这个算法模型可以用多项式乘法法则来验证，[10a+m ·][10a+n=10a+m+n · 10a+mn，] 适用于十位数字相同的两位数相乘。此算法从特殊到一般，从数到式，追寻本质，在洞悉本质的过程中，学生的思维从粗浅到深刻。

二、在揭示规律的过程中发展数学思维的深刻性

学生对规律的探究大多停留在直观层面，教师应该从简单到复杂，加强联系，建立对应，呈现规律。例如，下面的图形都是由同样大小的平行四边形按照一定規律组成的，第1个图形中共有1个平行四边形，第2个图形中共有5个平行四边形，第3个图形中共有11个平行四边形，…，按照此规律，第6个图形中平行四边形的个数为           。[图1][图2][图3]

生1：画出第4个图形有19个平行四边形，发现相邻两个图形个数之差依次为4，6，8，猜想它们的差为连续的偶数，即4，6，8，10，12，14，于是第5个图形有29个平行四边形，第6个图形有41个平行四边形。

师：还有其他思路吗？

生2：画出第4个图形有19个平行四边形后，发现[19=42+3，11=32+2，5=22+1，1=12+0，] 于是第6个图形中平行四边形的个数应[62+5=41。]

师：思路很好，联想到了平方数。

生3：画出第4个图形有19个平行四边形后，发现19 = 4 × 5 - 1，11 = 3 × 4 - 1，5 = 2 × 3 - 1，1 = 1 × 2 - 1，于是第6个图形中平行四边形的个数应为6 × 7 - 1，即41。

师：很特别，联想到了相邻两数之积。那能求出第100个图形中平行四边形的个数吗？

生2：我先求出第n个图形中平行四边形的个数为[n2+n-1，] 求得第100个图形中平行四边形的个数为10 099。

生3：我先求出第n个图形中平行四边形的个数为[n×n+1-1，] 再求出第100个图形中平行四边形的个数为10 099。

师：谁能给出提供帮助？

生4：2+4+6+8+…+[2n-1=2n+2n2-1，] 也可以求出第100个图形中平行四边形的个数为10 099。

如果没有对问题的深入探究，思维的发展就会停留在初始层面，没到精彩处就止步了。对问题的深度挖掘，引发对规律的思考，在前后项中寻找关联，在变化中找到对应，用字母表示数触发了代数式的萌动，式的生成揭示了数串的不同运算形式，化简的结果让不同的形式趋于一致，规律的呈现再现了数列的深度，体现了思维的深刻。

三、在内外关联的过程中发展数学思维的深刻性

学生对问题的探究大多数始于一个维度，不会从多角度去分析。因此，教师应该引导学生从结果到原因，从外部到内部，从现象到本质，深层次、多方位理解事物之间的关联。例如，已知n是正整数，[1+1n2+][1n+12]是一个有理式A的平方，求A的值。学生会从式的运算出发，先通分得到[n2n+12+n+12+n2n2n+12=][n2n+12+2n2+2n+1n2+n2。] 接下来，要考虑把分子转化成平方的形式，学生在运算的过程中会发现不仅项数增多了，而且还出现了高次项，探究就此止步。有些教师会直接告知学生，只需要把分子中的两项提公因式，即可得到一个平方式，即[n2n+12+2nn+1+1=][n2n+1+12。] 这样做学生虽然知道结果是对的，但是心里还有疑问，[n2n+12]为什么不展开呢？[2n2+2n]为什么要提公因式呢？这种教学方法的问题在于让学生知其然，而不知其所以然，对问题的探究仅仅停留在式的运算技巧层面，没有理性分析。数式结合，令n = 1，则有[1+11+14=94=322=31×22;] 令n = 2，则有[1+14+19=4936=762=2×3+12×32;] 令n = 3，则有[1+][19+116=169144=13122=3×4+13×42。] 于是可以猜想原式的运算结果应为[n×n+1+1n×n+12。] 分子的目标是化成平方式，所以[n2n+12]不展开，[2n2+2n]要提公因式化为[2nn+1。] 这样就有了两个平方项与积的2倍，形成了一个标准的完全平方式，学生的疑问迎刃而解。式的运算可以借助数的运算来分析，数式关联，使学生的思维获得深刻发展。

从以上案例可以看出，初中生数学思维的深刻性就是由表及里，对内要纵向深掘，洞悉事物本质;对外要横向关联，理清事物之间的相互关系;在变化过程中，向后能回归基点，向前能掌握趋势，在呈现本质与规律的过程中发展思维的深刻性。

参考文献：

[1]王莹. “高阶思维”与学生数学“深度学习”[J].数学教学通讯（上旬），2018（7）.

[2]陈小彬. 高阶思维：超越“低阶”认知的全息思维[J]. 江苏教育，2017（73）.