一种适用于配网暂态数据的高阶求导方法

蒋文弢， 李世勉， 冯宗琮， 冉小康， 陈 勇

1. 国网重庆市电力公司北碚供电分公司，重庆 400700；2. 重庆理工大学/重庆市能源互联网工程技术研究中心，重庆 400054

电力系统安全可靠的运行离不开其底层数据的支持，在电力系统相关数据的处理和计算中，高阶求导的计算随处可见，如时域下分布参数线路模型的推导和计算[1-2]、电力系统等值参数模型的建立[3]、电力系统负荷模型辨识研究[4]、故障测距[5-6]等．高阶求导[7-8]已经渗透到电力系统的方方面面，它不仅和电网相关模型紧密相关，还与电力系统状态评估、故障处理、保护策略有着密切联系[9-11]．由此可见，高阶导数的准确计算在电力系统中是十分重要的基础工作．

电力系统中我们常处理的数据大都是电压电流信号的采样值，即离散数据，此时连续函数的求导公式不再适用，目前常用的方法有差分求导法和多项式拟合求导法．差分求导法是利用导数的定义和微分的思想，近似求取某点处的导数，采样频率越大，其精度就越高，实现简单方便[12]．但受边界效应的影响，采样区间首端或尾端的导数值不确定，即自由度减1，N点采样值只能确定N-1个一阶导数值，阶次每高一阶，自由度便少1，其根本原因是在对连续函数进行截断和采样处理时，必然会造成首尾信息缺失，而且不可避免，更关键的是差分法抗干扰能力极差，微弱的干扰便能造成很大的误差．多项式拟合法[13-15]用一串线性无关的多项式(x，x2，…，xn)对离散数据进行拟合，将离散数据转化成连续函数，以连续函数逼近的方式代替求解，此方法受拟合精度的影响，若拟合精度低，则误差大．此外，求导阶次受拟合多项式最高次数制约，n次多项式的n阶导数为常数，n-1阶导数为一元函数，以此类推，其求导阶次在接近多项式多高阶次后误差明显．

针对上述弊端，本文提出一种正弦多项式拟合的方法求取电网离散数据的高阶导数值，本方法在多项式拟合的基础上，针对电力系统电压电流暂态分量和稳态分量的特征，合理选取正弦多项式函数为基底，具有良好的抗干扰性和可靠性．

1 正弦多项式拟合原理

电网下的电压电流暂态信号通常可表示成以下形式[16-17]，以电流信号为例：

(1)

其中，i(t)，is(t)，it(t)分别表示电流信号、电流稳态分量、电流暂态分量，ω为工频下的角速度即100π，暂态分量it(t)由直流衰减分量和高频衰减分量g(t)组成，τ1为直流衰减分量的时间常数．

正弦多项式拟合不同于一般多项式拟合所选取的基底x，x2，…，xn，为了使所选多项式更贴合配网数据，在分析上述配网数据所呈现的特征后，将多项式中加入正弦函数，又考虑到实际运行中暂态分量会衰减并归零，如图1所示，因此在多项式中施加指数衰减函数以约束暂态分量，最终用正弦多项式p(t)拟合暂态信号的形式为

图1 配网暂态电流采样信号

(2)

其中：

A(t)=(a0+a1x+a2x2+…+anxn)e-(t/τ2)

B(t)=(b0+b1x+b2x2+…+bnxn)e-(t/τ2)

式(2)中，用带衰减的正弦多项式拟合暂态分量，其中，ω为工频下的角速度即100π，τ2为衰减时间常数，大小可根据实际电网数据进行调节和校正．

于是问题变成求取p(t)中未知系数A0，B0，a0，b0，…，an，bn的值以逼近目标值i(t)．求取未知系数的值可用最小二乘法实现[18]：

(3)

(4)

式(3)表示目标函数，误差平方和最小；式(4)中，下标i表示第i个采样序列，ti表示采样时间，p(ti)表示ti时刻的拟合值，i(ti)表示ti时刻的实际值，δi表示第i个采样值的拟合误差．

2 算法实现

将式(2)展开可得：

(5)

其中：

(6)

由此得：

(7)

则式(7)可表示为

(8)

为了方便用MATLAB实现，可将式(8)用矩阵表示[19]．

创建矩阵A，B，

其中φi(tj)表示函数φi(t)在tj时刻的值．

所以式(8)可表示为

(9)

3 仿真分析

以直流衰减和高频衰减信号模拟电流信号对本方法进行验证，并将其和传统差分法和多项式拟合法进行对比．

设故障后电流信号为

i(t)=5*e-t/0.02+e-t/0.02*sin (2ωt+π/3)

取采样频率为2 000 Hz，采样周期为0.02 ms，正弦多项式最高次数n=15，τ2=0.02，在不加干扰情况下验证求导阶次N分别取1，5，8，13，15时的情况，如图2所示．

在图2中，各阶导数标准值是根据电流信号表达式由导数计算公式计算而来，多项式拟合法计算的值是对拟合函数进行求导计算而来．由图可知，差分法难以摆脱边界效应的影响，在低阶导数情况下首尾已经出现明显误差，在N=1时还可以忽略微小误差，但当N增大到5之后，其误差不容忽视且随着N增大，误差越发严重，所以，后面在计算更高阶导数时没有呈现差分求导的结果，但其数据中部效果显著；多项式法在求解低阶导数时具有较高的准确度，在N增大到8(大约n/2)时，依然有较高的准确度，随着N接近n，多项式拟合法误差越发明显，当N达到其多项式最高次数15时，计算结果为一个常数；正弦多项式拟合法在求解低阶导数时基本和实际值吻合，其误差肉眼难辨，即使阶次增高，其大部分区间依然保持超高吻合度，整体误差小．不难看出，无论N取多少，正弦多项式精确度都远高于其他两种方法，低阶次情况下多项式法和正弦多项式法效果接近，阶次越高，正弦多项式的优势越明显．

图2 无干扰情况下N=1，5，8，13，15时各方法效果比较

在电流信号中加入微弱的白噪声，信噪比为20 dB，在加干扰后验证求导阶次N分别取1，3，5，8时的情况，如图3所示．

图3 有干扰情况下N=1，3，5，8时各方法效果比较

由图3可知，即使加入的干扰信号十分微弱，在低阶次情形下，差分法依旧表现极大误差，它的抗干扰性能最差．N=3时差分法求导出来的结果和标准值背离太大，因此在后面计算更高阶导数时同样没有呈现差分求导的结果．综合对比图2和图3，特别是从N=8的图像可知，在有干扰情况下，正弦多项式拟合法和多项式拟合法的计算结果和没干扰时几乎相同，都表现出优秀的抗干扰能力．

4 结 论

传统高阶求导计算方法因其自身局限性无法保证计算准确性；差分法的边界效应对首尾区间的影响在高阶次时无法忽视和避免，也没有抗干扰能力，在微弱干扰环境下便不再适用；多项式拟合法在实际应用中多项式必然是有限项，无法避免求导阶次受限于多项式最高次数的问题，无法在高阶次情况下保证精度，给计算结果带来巨大的偏差，对要求计算快速可靠将造成十分严重的影响．本文提出的正弦多项式拟合法在含直流衰减或高频衰减的情形下都具有优于传统方法的特性，一方面在大幅提高高阶次的精度的同时，在低阶次也可将误差控制得极小；另一方面由于算法中核心方程组具有唯一解，可使拟合函数的参数具有较强的稳定性，有利于表征相关物理特性，因而具有非常高的准确性和抗干扰能力．