与高阶Schrödinger-型算子相关的变分算子在Herz-型空间的有界性

王晓燕， 赵 凯

1. 青岛黄海学院 数学教学部，山东 青岛 266427；2. 青岛大学 数学与统计学院，山东 青岛 266071

Rn上的Herz-型空间和奇异积分算子及其交换子有界性的问题自20世纪90年代中后期以来得到了迅猛发展[1-9]．微分算子的空间理论和奇异积分算子理论在21世纪取得了丰硕的成果，与微分算子相关的变分算子也受到了许多学者的关注[10-16]．最近，文献[17]讨论了Rn(n≥5)上的与高阶Schrödinger-型算子相关的一类变分算子在Lq(Rn)空间的有界性问题，并得到了这类变分算子在一类与微分算子相关的Morrey空间上的有界性．

对于这类与高阶Schrödinger-型算子L生成的热半群相关的变分算子在函数空间上有界性的研究，我们的目的主要是建立此类变分算子在Herz-型空间上的有界性．

这里热半群e-tL的核Bt(x，y)满足(其中C和c1为常数)

(1)

定义1[17]设{ti}i∈N是正的单调减的趋于0的数列，令ρ>2，与高阶Schrödinger-型算子L生成的热半群相关的变分算子定义为

(2)

这里的上确界取遍所有正的单调减的趋于0的数列{ti}i∈N．

定义

(3)

特别地，当|x-y|

引理2[17]对任意N∈N，存在正常数C，c2和c3，使得对所有x，y∈Rn和0

‖Vρ(e-tL)f‖Lq(Rn)≤C‖f‖Lq(Rn)f∈Lq(Rn)，1

(4)

对于整数k，记Bk={x∈Rn：|x-x0|<2k}，Ck=BkBk-1，χk=χCk．有关齐型Herz空间以及齐型Herz-型Hardy空间的概念和主要结论如下：

其中

齐型Herz-Hardy空间定义为

则称a(x)为中心(α，q)-原子．

(5)

这里的下确界取遍f的所有分解．

其中

其中aj是中心(α，q)-原子，suppaj⊂Bj，且

则

对于I2，分为0

当0

当1

当|x-x0|≤γ(x0)时，由引理2知

所以，由Hölder不等式以及原子的大小条件，得

从而

当1

当|x-x0|>γ(x0)时，由定义1和引理2，并应用(3)式，得

(6)

(7)

同理，可以得到

因此

至此，完成了定理1的证明．

对于J2，由引理3，即变分算子的Lq有界性，有

再由不等式

(8)

并注意到α>λ，可以得到

所以得到

这样

这就完成了定理2的证明．