粗糙核奇异积分的Toeplitz-型算子的加权端点估计

高亚瑞， 陶双平

西北师范大学 数学与统计学院，兰州 730070

设t>0，at(x，y)为Rn×Rn上的函数，满足

其中σ为(0，∞)上非负有界的递减函数，并且存在ε>0，使得

设f∈Lp(Rn)(p≥1)，恒等逼近Dt定义为

定义1设T为L2(Rn)上的有界线性算子，并且存在K(x，y)，使得对每个具有紧支集的连续函数f，有

并且满足

(a) 存在恒等逼近{Bt：t>0}和常数c1，c2>0，使得T∘Bt的核函数kt(x，y)满足

(b) 存在恒等逼近{At：t>0}和常数c3，c4>0，以及δ>0，使得At∘T的核函数Kt(x，y)满足

和

则称T为粗糙核的奇异积分算子．

奇异积分及其交换子已被广泛研究[1-5]．文献[6]证明了分数次奇异积分算子的Lp(Rn)有界性．关于粗糙核奇异积分算子和变量核的分数次积分算子更多的研究结果可参见文献[7-10]．文献[11]给出了关于粗糙核奇异积分的Toeplitz算子从Lebesgue空间到Orlicz空间的有界性．关于Toeplitz-型算子的更多结论可见文献[12-13]．本文的主要目的是给出关于上面粗糙核奇异积分的Toeplitz-型算子的加权端点估计．

T为定义1中的粗糙核奇异积分，b为Rn上的局部可积函数，与T相关的Toeplitz-型算子定义为

其中Tk，1为T或±I(I为恒等算子)，Tk，2为线性算子(k=1，…，m)，Mb(f)=bf．

A1权的定义为

给定Rn中的方体Q和局部可积函数b，由文献[14]有

‖b-b2kQ‖BMO≤Ck‖b‖BMO

定义2令{At：t>0}为恒等逼近，ω为权函数，

(a) 关于{At：t>0}的加权BMO空间定义为

(b) 关于{At：t>0}的加权中心CMO空间定义为

其中，Q(0，r)表示中心为0 边长为r的方体，tQ=r2．

定义3设1

最近，文献 [15]研究了多线性分数次奇异积分在Herz空间和Herz-型Hardy空间上的端点估计．本文的主要结果如下：

定理1设T是粗糙核的奇异积分算子，Tk，2是L∞(ω)上的有界线性算子，ω∈A1．如果对于任意的g∈Lr(Rn)(1

定理2设T是粗糙核的奇异积分算子，1

引理1[14]设ω∈Ap，p≥1，则对Rn中的任意方体Q，存在一个绝对常数C>0，使得

ω(2Q)≤Cω(Q)ω(λQ)≤Cλnpω(Q)λ>1

则

引理3[7，16]粗糙核奇异积分算子T是(p，p)-型的和弱(1，1)-型的，其中1

引理4[16]设T是粗糙核奇异积分，ω∈A1，1

定理1的证明只需证：对于任意的方体Q，存在常数C>0，成立

不失一般性，假设Tk，1为T(k=1，…，m)．固定方体Q=Q(x0，d)，注意到T1(g)=0，有

Tb(f)(x)=Tb-bQ(f)(x)=T(b-bQ)χ2Q(f)(x)+T(b-bQ)χ(2Q)c(f)(x)=U1(x)+U2(x)

则

其中tQ=(l(Q))2，l(Q)表示Q的边长．

对于I1，因为ω∈A1，则ω满足反向Hölder不等式

其中1

下面估计I2．

由T的Lp(Rn)有界性得

对于J2，注意到当x∈Q，y∈2j+1Q2jQ时，有|x-y|≤2j-1tQ，则

因此

由于

所以

结合J1，J2的估计，得出

I2≤C‖f‖L∞(ω)‖b‖BMO

最后估计I3．注意到当x∈Q，y∈Rn2Q时，有|x-y|～|x0-y|，由K的条件有

将危重患者实际液体出入量情况与316张护理监护单液体出入量记录情况进行比较，记录每一处少记、错记、多记、漏记、误记等情况，分析每一处记录不正确情况发生的相关因素，找出存在的问题并制定相应对策。

至此，就完成了定理1的证明．

定理2的证明不失一般性，假设Tk，1为T(k=1，…，m)．对任意的方体Q=Q(0，d)，类似于定理1的证明，记tQ=d2，有

对L1，由引理4和Hölder不等式，对于任意的t>1，有

下面估计L2．

由于

所以

结合M1，M2的估计，就有

L2≤C‖f‖Bp(ω)‖b‖CMO

最后对L3做出估计．由于

因此，对任意的1

故得到了L3≤C‖f‖Bp(ω)‖b‖CMO．

至此，定理 2 证毕．