功能梯度材料Euler-Bernoulli梁单元模态应变能对损伤参数的灵敏度分析

黄立新, 韦 琦, 胡中明, 岳世燕

(1.广西大学 土木建筑工程学院, 南宁 530004; 2.上海交通大学 船舶海洋与建筑工程学院, 上海 200240;3.成都理工大学工程技术学院 资源勘查与土木工程系, 四川 乐山 641000)

0 引 言

功能梯度材料(functionally graded materials, FGM)是一种非均匀的新型复合材料, 其材料性能是空间位置的函数沿某一方向呈现梯度连续变化。由于功能梯度材料具有独特的梯度特性, 使得它在实际应用中表现出许多优良性能, 如耐高温、高强度、抗冲击、减少残余应力和应力集中度等[1]。功能梯度材料在航空航天、汽车、化工、医疗、土木和机械等很多工程领域具有潜在的应用前景, 因此功能梯度材料构件性能的研究引起了国内外研究人员的关注[1-6]。

梁是非常重要的构件, 在工程中得到广泛的应用。使用中的梁结构会不可避免地出现损伤, 如果没有及时发现梁结构的损伤而继续使用梁结构，将会导致整体结构的破坏, 甚至出现灾难性的后果。自然地, 包括梁结构在内的工程结构损伤识别研究成为一个非常重要的课题[7-10]。在众多的结构损伤识别方法中, 基于模态应变能的损伤识别方法具有灵敏度高、稳定性好和抗噪音能力良好等优点, 并且在这方面的研究取得了许多成果[11-16]。颜王吉等[17-18]提出单元模态应变能的灵敏度分析方法, 并应用于结构损伤识别中, 取得了很好的成果。然而, 针对功能梯度材料梁, 单元模态应变能灵敏度分析的研究尚属空白。功能梯度材料梁单元模态应变能的灵敏度包含许多结构参数的信息, 所以模态应变能的灵敏度分析是功能梯度梁损伤识别的重要基础。

本文基于各向同性均匀材料单元模态应变能灵敏度的思想[17-18], 根据Euler-Bernoulli梁理论, 推导出功能梯度材料Euler-Bernoulli梁的单元模态应变能公式。在此基础上, 进一步推导了功能梯度材料Euler-Bernoulli梁单元模态应变能一阶灵敏度表达式。在选定梁结构的损伤参数后, 进行了灵敏度分析, 并讨论了功能梯度材料Euler-Bernoulli梁单元模态应变能灵敏度变化的影响因素。

1 功能梯度材料Euler-Bernoulli梁的材料性能

如图1所示, 功能梯度材料Euler-Bernoulli简支梁为矩形截面, 梁长为l、宽为b、高为h。假设梁材料性能的弹性模量和质量密度沿梁高方向按幂指数连续变化[19], 材料性能可以表示为

图1 功能梯度材料Euler-Bernoulli 简支梁

P(z)=PL+(PU-PL)(z/h+1/2)k,

(1)

其中:PU和PL分别是横截面顶部和底部的材料属性(弹性模量和密度);k是非负的梯度指数, 表示梁高方向材料的不均匀程度;-h/2≤z≤h/2。

2 功能梯度材料Euler-Bernoulli梁单元模态应变能

2.1 功能梯度材料Euler-Bernoulli梁总应变能

由Euler-Bernoulli梁理论[19], 功能梯度材料Euler-Bernoulli梁任意一点的轴向位移和横向位移为

(2)

w(x,z)=w0(x)。

(3)

位移与应变关系为

(4)

根据胡克定律, 应力可以表示为

(5)

则功能梯度材料Euler-Bernoulli梁总应变能可表示为

(6)

其中:MSE表示梁的应变能；σx表示梁的正应力；εx表示梁的正应变。

2.2 单元模态应变能

如图2所示, 将功能梯度材料Euler-Bernoulli梁分成n个单元。忽略阻尼, 则可得动力特征方程

图2 功能梯度材料Euler-Bernoulli梁的有限单元网格

K(z)φi=λiM(z)φi,

(7)

其中：K(z)是结构整体刚度矩阵；M(z)是结构整体质量矩阵；φi和λi分别是第i阶振型和频率。K(z)和M(z)分别由单元刚度矩阵K(z)j和单元质量矩阵M(z)j组合而成, 即

(8)

(9)

梁的总应变能为各单元应变能之和, 即

(10)

其中，MSEj代表第j个单元的应变能, 即

(11)

离散功能梯度材料Euler-Bernoulli梁的有限单元采用2节点6自由度的梁单元, 如图3所示。

图3 2节点6自由度的梁单元

单元内截面轴向位移用一维拉格朗日多项式插值表示, 而横向位移则采用一阶Hermite多项式插值表示, 具体的位移为

(12)

(13)

其中：形函数N1=1-ξ;N2=1-3ξ2+2ξ3;N3=(ξ-2ξ2+ξ3)l;N4=ξ;N5=3ξ2-2ξ3;N6=(-ξ2+ξ3)l。

将式(4)和式(5)代入式(11), 则有

(14)

然后将式(12)和式(13)代入式(14), 整理得

(15)

式中:

(16)

(17)

其中：

(18)

(19)

3 功能梯度材料Euler-Bernoulli梁单元模态应变能灵敏度

由单元模态应变能式(15)可知, 第j单元在第i阶振型下单元模态应变能可表示为

(20)

其中,φi为质量归一化振型, 即

(21)

式中,p(z)是密度, 其变化规律服从式(1)。

将式(20)对任一变量r求偏导, 则有

(22)

(23)

因此, 第j单元在第i阶振型下单元模态应变能一阶灵敏度写成代数形式可表示为

(24)

基于代数算法[18, 20], 求特征值和特征矢量灵敏度, 然后代入式(24), 即可得到单元模态应变能灵敏度。对式(7)和式(21)求偏导得

(25)

(26)

将式(25)和式(26)合并, 求得一阶特征灵敏度, 即

将式(27)代入式(24), 得到j单元的模态应变能一阶灵敏度为

其中:

4 单元模态应变能对损伤参数的灵敏度分析

4.1 损伤参数的选取

工程结构在使用过程中, 结构损伤是不可避免的。在工程实践中, 假定结构的质量在损伤前后没有发生变化, 这个假定经实践证明是可以接受的。结构的损伤则表现为结构刚度的减少, 从功能梯度材料Euler-Bernoulli梁单元刚度矩阵式(17)和(19)得知, 可以用弹性模量的折减程度来模拟结构的损伤程度。考察式(1)可知, 功能梯度材料弹性模量与横截面顶部弹性模量EU、底部弹性模量EL和梯度指数k有关, 因此选取EU、EL和k作为损伤参数, 分析单元模态应变能对这些损伤参数的灵敏度, 这些单元模态应变能灵敏度分析的工作对结构损伤识别的应用具有重要意义。

4.2 损伤参数灵敏度矩阵

类似地, 可以得到损伤参数EU和EL的灵敏度矩阵。

4.3 算例分析

如图4所示的功能梯度材料Euler-Bernoulli简支梁, 梁的长l×宽b×高h=6 m×0.1 m×0.2 m。梁截面底部材料是钢, 弹性模量EL=210 GPa, 密度ρL=7 800 kg/m3; 梁横截面顶部材料是氧化铝, 弹性模量EU=390 GPa, 密度ρU=3 960 kg/m3。除了讨论梯度指数k的变化对灵敏度的影响之外,k的取值均为10。用平面梁单元把梁结构划分为15个单元, 共16个节点, 45个自由度。

图4 功能梯度Euler-Bernoulli简支梁模型

表1是计算得到的前三阶单元模态应变能对各损伤参数的灵敏度系数。单元模态应变能对损伤参数k的灵敏度数值要比对损伤参数EU和EL的灵敏度数值大很多个数量级, 这说明单元模态应变能对损伤参数k更为敏感。从单元模态应变能的表达式(20)可以看出,MSEj与E(z)有关, 而E(z)服从材料性能函数式(1)。材料性能函数式(1)中k是幂指数, 比EU和EL更能影响材料性能函数的变化, 从而导致单元模态应变能有更大的变化, 这符合单元模态应变能对损伤参数k更为敏感的现象。

表1 单元模态应变能对损伤参数的灵敏度

针对同一阶的单元模态应变能, 对损伤参数的敏感程度由高到低排列为k>EL>EU。高阶模态单元模态应变能对损伤参数的灵敏度数值均大于低阶模态单元模态应变能对应的灵敏度数值。

表2 损伤参数变化范围

图5～7是单元模态应变能对损伤参数的灵敏度随着模态阶数和输入参数变化而变化的曲线, 其中横坐标分别为输入损伤参数k、EU和EL的变化, 纵坐标为灵敏度L。

为便于观察灵敏度变化规律, 当横坐标损伤参数k变化时, 纵坐标取对数坐标(图5)。随着损伤参数k的增大, 单元模态应变能对损伤参数k和EU的灵敏度逐渐减小; 当k在0～1时, 单元模态应变能对损伤参数EL的灵敏度迅速增大, 当k>1时, 灵敏度则趋于不变。由图6可知, 随着损伤参数EU的增大, 单元模态应变能对损伤参数k和EL的灵敏度缓慢增大, 而对损伤参数EU的灵敏度则逐渐减小。图7表明, 随着损伤参数EL的增大, 单元模态应变能对损伤参数EU的灵敏度逐渐增大, 对损伤参数EL的灵敏度逐渐减小, 而损伤参数k的灵敏度几乎保持不变。无论是损伤参数k、EU还是EL作为变化的参数, 高阶模态单元模态应变能的灵敏度数值总大于低阶模态单元模态应变能对应的灵敏度数值, 这种现象可以从以下角度分析：单元刚度矩阵K(z)j和单元质量矩阵M(z)j均与材料性能函数式(1)有关, 即与损伤参数k、EU和EL有关。因此从动力特征方程式(7)得知, 损伤参数k、EU和EL的变化均导致模态振型的变化。另一方面, 从模态振型的构型来看, 高阶模态比低阶模态变化更激烈, 从而损伤参数k、EU和EL的变化导致高阶模态振型更大的变化, 因此从第j单元在第i阶振型下单元模态应变能式(20)可知, 高阶模态单元模态应变能对损伤参数有更高的灵敏度数值。

图5 梯度指数k变化对灵敏度的影响

图6 顶部弹性模量EU变化对灵敏度的影响

图7 底部弹性模量EL变化对灵敏度的影响

5 结 论

通过建立有限元模型, 本文针对功能梯度材料Euler-Bernoulli梁进行了单元模态应变能对损伤参数的灵敏度分析, 得到以下结论:

(1)功能梯度材料Euler-Bernoulli梁采用2节点6自由度的梁单元离散后, 结合Euler-Bernoulli梁理论和梁的应变能公式, 推导出了功能梯度材料Euler-Bernoulli梁单元模态应变能公式。在此基础上, 通过对变量求偏导的方式得到了功能梯度材料Euler-Bernoulli梁单元模态应变能一阶灵敏度表达式, 并表示成了紧凑的形式, 为数值计算提供了方便。

(2)结构的损伤表现为结构刚度的减少, 通过分析功能梯度材料Euler-Bernoulli梁单元刚度矩阵, 选取与刚度有关的参数作为损伤参数, 即梁横截面顶部弹性模量EU、底部弹性模量EL和梁的梯度指数k作为损伤参数。数值算例表明, 单元模态应变能对损伤参数k的灵敏度数值要比对损伤参数EU和EL的灵敏度数值大很多个数量级, 并且单元模态应变能对损伤参数的敏感程度由高到低排列为k>EL>EU。单元模态应变能对损伤参数k更为敏感的现象可以解释为, 单元模态应变能MSEj与服从材料性能函数的E(z)有关, 而材料性能函数公式中k是幂指数, 比EU和EL更能影响材料性能函数的变化, 从而导致单元模态应变能有更大的变化, 即单元模态应变能对损伤参数k更为敏感。此外, 高阶模态单元模态应变能对损伤参数的灵敏度数值总比低阶模态单元模态应变能对应的灵敏度数值大。

(3)损伤参数的变化或模态阶数的不同均对单元模态应变能灵敏度产生不同的影响。损伤参数变化的影响与选取的材料梯度变化规律有关; 模态阶数不同的影响不仅与选取的材料梯度变化规律有关, 而且与模态振型的构型变化有关。通过单一损伤参数的变化, 探究单元模态应变能灵敏度变化的规律。数值算例表明: 随着损伤参数k的增大, 单元模态应变能对损伤参数k和EU的灵敏度减小, 而对损伤参数EL的灵敏度则增大; 随着损伤参数EU的增大, 单元模态应变能对损伤参数k和EL的灵敏度增大, 而对损伤参数EU的灵敏度则减小; 随着损伤参数EL的增大, 单元模态应变能对损伤参数EU的灵敏度增大, 对损伤参数EL的灵敏度减小, 而损伤参数k的灵敏度几乎保持不变; 单一损伤参数的变化, 高阶模态单元模态应变能的灵敏度数值总大于低阶模态单元模态应变能对应的灵敏度数值。

(4)单元模态应变能对损伤参数的灵敏度包含了结构损伤的信息, 通过灵敏度分析, 为进一步开展功能梯度材料Euler-Bernoulli梁结构损伤识别的研究提供了重要的基础。