APP下载

正本清源理脉络熟能生巧解函数

2021-12-05施康琪

初中生世界 2021年15期
关键词:洗手液对称轴表达式

文 施康琪

函数是用来刻画现实世界变量关系的模型,概念较为抽象。而二次函数相较一次函数、反比例函数,表达方式更多样,图形更复杂,因此,涉及的考点也较多。下面,我们针对具体的中考题,围绕这些考点,谈谈解决策略。

一、巧用二次函数的图像与性质

例1(2020·黑龙江齐齐哈尔)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(4,0),其对称轴为直线x=1,结合图像给出下列结论:①ac<0;②4a-2b+c>0;③当x>2时,y随x的增大而增大;④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根。其中正确的结论有( )。

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【解析】通过函数图像,我们可以知道函数的开口方向、增减性、对称性;通过具体的对称轴以及与x轴的交点坐标,我们可以把图形补充完整,顺利地求得函数图像与x轴的另一交点,这是典型的利用数形结合思想解决问题的方法。审题时,我们不仅要利用好函数图像,更要关注图中x=1和数字4这两个细节所带来的隐藏作用。

①抛物线开口向上,故a>0;抛物线与y轴交于负半轴,故c<0,因此ac<0。①正确。

②令x=-2,则y=4a-2b+c,所以想到去寻求横坐标为-2的点。图中与x轴的一个交点为(4,0),结合抛物线的对称轴为x=1,易知抛物线与x轴另一个交点为(-2,0),于是有4a-2b+c=0。②错误。

③由图像可知,当x>1时,y随x的增大而增大。③正确。

④抛物线与x轴有两个不同交点,因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根。④正确。

故选C。

【点评】本题是利用二次函数性质解决参数相关问题,解决这类问题,除了要掌握相关知识点之外,更要仔细观察图像中的每一个显性条件(数字、点坐标)和隐性条件(增减性、对称性),不放过每一个细节。

二、求二次函数表达式

1.待定系数法。

例2(2020·四川成都)抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C(0,-2)。求抛物线的函数表达式。

【解析】A(-1,0)、B(4,0)是抛物线与x轴的交点,因此首选交点式。

设y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),则x1=-1,x2=4,代入(0,-2),得a(0+1)(0-4)=-2,解得a=

【总结】若已知抛物线任意三点坐标,且这三点没有明显特殊性,则采用一般式y=ax2+bx+c(a≠0);若已知抛物线顶点坐标或对称轴,则可采用顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0);若已知抛物线与x轴的两个交点坐标,则可设交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。

2.利用平移,直接求表达式。

例3(2020·黑龙江哈尔滨)将抛物线y=x2向上平移3个单位长度,再向右平移5个单位长度,所得到的拋物线为( )。

A.y=(x+3)2+5 B.y=(x-3)2+5 C.y=(x+5)2+3 D.y=(x-5)2+3

【解析】由“上加下减”的原则,将抛物线向上平移3个单位长度,得y=x2+3;由“左加右减”的原则,将抛物线y=x2+3向右平移5个单位长度,得y=(x-5)2+3。故选D。

【点评】本题考查的是函数图像的平移。这类题一般先将二次函数转化为顶点式y=a(x-h)2+k,再巧用口诀“上加下减,左加右减”解题。重点要注意“上加下减”是在k后面加减,而“左加右减”是指在括号里对x进行加减。

三、运用二次函数解决实际生活中的最值问题

例4(2020·辽宁抚顺)超市销售某品牌洗手液,进价为每瓶10元。在销售过程中发现,每天销售量y(瓶)与每瓶售价x(元)之间满足一次函数关系(其中10≤x≤15,且x为整数),当每瓶洗手液的售价是12元时,每天销售量为90瓶;当每瓶洗手液的售价是14元时,每天销售量为80瓶。

(1)求y与x之间的函数表达式;

(2)设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为W元,当每瓶洗手液的售价定为多少元时,超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大?最大利润是多少元?

【解析】(1)根据已知的一次函数关系,直接用待定系数法求解即可;

(2)根据利润表达式(总利润=单件利润×数量)表示出二次函数表达式,再根据二次函数的增减性以及实际要求,确定最值。

解:(1)设y与x的函数表达式为y=kx+b(k≠0)。根据题意,得∴y与x的函数表达式为y=-5x+150,10≤x≤15,且x为整数。

(2)根据题意,得W=(x-10)(-5x+150)=-5(x-20)2+500,∵a=-5<0,∴当x<20时,W随着x的增大而增大。∵10≤x≤15且x为整数,∴当x=15时,W有最大值,即W=-5(15-20)2+500=375。

答:当每瓶洗手液的售价定为15元时,超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大。最大利润为375元。

【点评】本题是销售类的经典题型,难点、易错点主要在第(2)问,即如何求最大利润。二次函数求最值主要有两种方法:一是配方法,利用顶点式的顶点坐标求最值;二是公式法,当时,最值为。值得注意的是,在实际问题中,往往要先确定自变量的取值范围,根据实际意义,结合图像增减性,求出最值。

猜你喜欢

洗手液对称轴表达式
你会选洗手液吗
既有建筑结构鉴定表达式各分项系数的确定分析
灵活选用二次函数表达式
轴对称图形的对称轴
浅析C语言运算符及表达式的教学误区
免洗洗手液能被点燃,是真的吗?
抓牢对称轴突破二次函数
有几条对称轴
议C语言中循环语句
生活中的轴对称检测题(一)