排除表面干扰洞察问题本质
2021-12-05唐荣喜
文 唐荣喜
函数本身的抽象性和形式化，使得我们在学习函数知识时，有时会出现只知其表面，不能洞察其本质的现象，从而造成知识间的混淆不清。本文就同学们容易出错的问题进行分类剖析，以帮助大家更好地复习函数。
一、概念理解不清
在展现一次函数、反比例函数、二次函数的概念时，教材给出了三种形式化的定义。因此，在解决某些含参数的函数问题时，我们要注意挖掘定义中有关系数的隐藏条件，否则就会因为考虑不周导致解题出错。
例1若函数y=（m-3）xm2+2m-14-5是一次函数，则m=。
【错解】因为已知函数是一次函数，所以m2+2m-14=1，解得m=3或-5。
【剖析】错解只考虑了最高次项的次数是1，忽视了一次项系数不为0这一隐藏条件，从而导致出错。
【正解】根据题意，得m2+2m-14=1，解得m=3或-5。但已知函数是一次函数，所以m-3≠0，即m≠3，故m的值只能是-5。
二、函数性质掌握不牢
在解题时，我们常常会因为对函数性质的理解产生混淆或者偏差而导致解题错误。三种函数的性质各有不同，我们在复习的过程中要注意区别，可以借助图像的直观性理解函数的性质。
例2已知一次函数y=kx+b中，自变量x的取值范围是-1＜x＜5时，相应函数值的取值范围是-3＜y＜9，求此函数的表达式。
【错解】由题意可知，当x=-1时，y的对应值是-3；当x=5时，y的对应值是9。将x=-1，y=-3和x=5，y=9分别代入y=kx+b中，得从而所求函数的表达式是y=2x-1。
【剖析】错解只考虑了函数图像上升（k＞0）的情况，而忽视了函数在当k＜0时变量之间不同的对应关系。显然k≠0。
【正解】当k＞0时，y随着x的增大而增大。所以，当x=-1时，y的对应值是-3；当x=5时，y的对应值是9。将x=-1，y=-3和x=5，y=9分别代入y=kx+b中，得解得从而所求函数的表达式是y=2x-1。
当k＜0时，y随着x的增大而减小。所以，当x=-1时，y的对应值是9；当x=5时，y的对应值是-3。将x=-1，y=9和x=5，y=-3分别代入y=kx+b中，得解 得从而所求函数的表达式是y=-2x+7。
所以所求函数的表达式是y=2x-1或y=-2x+7。
例3已知反比例函数的图像上的三点A（-3，y1）、B（-2，y2）、C（1，y3），则下列关系成立的是（ ）。
A.y1＜y2＜y3B.y3＜y2＜y1
C.y2＜y1＜y3D.y3＜y1＜y2
【错解】因为反比例函数的比例系数k=m2+1＞0，故y随着x的增大而减小，而-3＜-2＜1，所以y3＜y2＜y1。故选B。
【剖析】我们知道，反比例函数的比例系数k＞0时，在每个象限内y随着x的增大而减小，而本题中点A、B、C并不在同一个象限，故不能完全用增减性解决问题。
【正解】因为反比例函数的比例系数k=m2+1＞0，所以点C在第一象限，点A、B在第三象限，从而确定y3＞0，y1＜0，y2＜0。在第三象限内，y随着x的增大而减小，而-3＜-2，故y2＜y1，所以y2＜y1＜0＜y3。故选C。
例4已知二次函数当0≤x≤3时，函数值y的取值范围是 。
【错解】当x=0时，y=0；当x=3时。所以y的取值范围是
【剖析】结合函数图像，我们知道，当0≤x≤3时，函数值y随着x的增大并没有持续地增大，所以错解抓住两个特殊值求y的取值范围是错误的。
【正解】首先求得函数的对称轴是直线x=1，顶点坐标是。所以当0＜x＜1时，y随着x的增大而减小；当1＜x＜3时，y随着x的增大而增大。结合函数图像，可知当0≤x≤3时，y的最小值是，最大值是当x=3时y的对应值所以y的取值范围是
三、忽视问题的实际意义
在利用函数解决实际问题时，我们要注意问题中各个数量的实际意义，在得到数学问题的解后，还要把它放回到实际问题中进行检验。问题的解如果脱离了实际意义，也会导致解题出错。
例5某汽车出租公司以每辆汽车月租费2880元租出时，100辆汽车可以全部租出。若每辆汽车的月租费每增加50元，则将少租出1辆汽车。已知每辆租出的汽车需支付月维护费200元，则该出租公司的最大月收益是多少？
【错解】设每月租出x辆汽车，月收益为y元，则y=［2880+50（100-x）-200］x=-50（x-76.8）2+294912，所 以 当x=76.8时，y最大值=294912，即该出租公司的最大月收益是294912元。
【剖析】错解在于求实际问题中的最值时忽视了问题的实际意义，即x表示的是出租公司每月租出汽车的辆数，必须是自然数。
【正解】设每月租出x辆汽车，月收益为y元，则y=［2880+50（100-x）-200］x=-50（x-76.8）2+294912，因为x必须是自然数，且76.8-76＞77-76.8，所以当x=77时，y最大值=294910，即该出租公司的最大月收益是294910元。
