巧用相似比，妙解几何题

李芳

【摘要】相似法是初中数学常用的几何方法，常考题型是运用相似比求解线段长度。在几何题中寻找相似比的思路变化多端，本文以一道广东中考题为例，探析构造相似比的思维视角和方法引领，与读者分享。

【关键词】线段;相似;比例

一、试题呈现

（2021年广东中考题第23题）如图1，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长。

二、试题分析

本题具有开放性、灵活性和包容性，求线段长度的思路可从多个角度分析，解法至少有二十余种，可运用三角函数、两点坐标、勾股定理和几何模型等知识求解。其中，相似法最为巧妙，且相似模型多种多样，思维空间非常开阔。下文重点探究如何应用相似法解题。由于线段CG是对角线AC的一部分，直线AC与BF相交形成了CG。因此，以点G为中心，构造CG与其它线段的比例，寻找相似模型可进行求解。

三、解法探究

四、解后反思

1.善用分析方法，提升解题思维

波利亚曾说：“解题的成功要靠正确思路的选择。”用相似法解几何题也必须有正确思维的引导，方能事半功倍。数学基本的逻辑推理方法是分析法和综合法。其中，分析法在构造几何相似比题目中尤为重要。分析法即“执果索因”的逆推法，从一个结果联想到尽可能多的原因，根据已知条件和图形凭直觉选取可能的原因，由这些可能的原因推出更多的原因，直到已知条件，这样探索一题多解的方法。本题的目的是求出线段CG长度，在多种方法中重点研究相似法。为了寻找相似三角形，先设想CG与哪条线段可能是对应边。由于正方形对角线AC与线段BF形成了X结构，CG是其中的一部分，猜想以点G为端点的线段可能是CG的对应边。结合正方形图形特点，第一條对应边是AG，可通过构造X模型和A模型求解;第二条对应边可能是OG，通过构造A模型尝试证明;在探究第二条对应边的过程中，OC与BF形成X结构，发现FG是第三条对应边。运用分析法可从不同角度联想，有助于打破思维定势，培养逆向思维，提升解题思考能力。

2.联想相似模型，开阔解题思路

几何模型有助于启发思维灵感，快速突破题目壁垒。应用相似法解题时，联想常见的相似模型和结论，寻找题目图形与之对应之处，用移花接木之法构造相似图形。本题为了构造与线段CG成比例的线段，关注CG所在的X结构，联想有类似特点的相似模型，比如，8字型和X字型。8字型结构必须有平行线，可结合正方形对边平行进行构造，如，解法1和2。X字型需聚焦中心点G，可设想线段BF与AC、BF与OC交叉形成模型，如解法7。除此之外，考虑画辅助线作出相似模型。由于多数相似三角形都有平行线或角相等，可画平行线或非平行线得到相等的角（如，偏A型）产生相似形，再得出比例线段。如解法3-6，根据正方形的边角性质，由点G向各个方向作垂线段，构造A字型。加强相似模型的积累和总结，善于联想类比，能更好地开阔解题思维空间。

3.构造相似比例，层层深入拓展

本题构造相似比的方法很多，围绕与CG有关的线段，同时以点G为中心向周围考查。设想AG是CG的比例线段，第一种构造X模型，通过直线AC与BF交叉形成，此法较简单易行;第二种构造A模型，借助正方形的边长与直线AC相交的特点，由点G出发向正方形的右方或下方边长作垂线段，将所求比例进行转化，再次寻找与新的比例有关的相似三角形，如解法4和5。根据角平分线的条件构造平行线，形成新的模型，如解法3和4。每一种相似比例都需要层层深入，进一步拓展延伸，进行第二次比例转化，方能得出真正的解题方法。这种螺旋式多次转化的解题分析过程有助于提高逻辑推理能力。

相似比是几何解题的“金钥匙”。巧妙构造相似模型，逐层分析解题思路，大胆设想解题方法，能快速找到解题规律，提高学生解题能力。

参考文献：

[1]温成科.解题后的反思[J].忻州师院学报，2000（9）：80-81.

[2]陆先富.相似三角形教学探索[J].安顺师范高等专科学校学报，2005（10）：83-86.

责任编辑  胡春华