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巧用基本不等式的变形结论妙解最值题

2021-12-03广东省汕头市澄海凤翔中学徐春生

关键词:凤翔汕头市春生

■广东省汕头市澄海凤翔中学 徐春生

结论1如果a,b∈R,那么a2+b2≥2|ab|,当且仅当|a|=|b|时,等式成立。

证明:因为a2+b2-2|ab|=|a|2-2|ab|+|b|2=(|a|-|b|)2≥0,所以a2+b2≥2|ab|,当且仅当|a|=|b|时,等式成立。

结论2如果a,b∈R,那么(a+b)2≥4ab,当且仅当a=b时,等式成立。

证明:因为(a+b)2-4ab=a2-2ab+b2=(a-b)2≥0,所以(a+b)2≥4ab,当且仅当a=b时,等式成立。

例2设a,b,c为正实数,且满足a-3b+2c=0,则的最小值是_____。

解析:由结论2 知,(a+2c)2≥8ac。因为a-3b+2c=0,所以3b=a+2c,9b2=(a+2c)2≥8ac,即b2≥ac。

因为a,b,c为正实数,所以,当且仅当a=2c时,等式成立。

例3已知x>0,y>0,若x+y+xy=8,则xy的最大值为( )。

解析:由结论2 知,(x+y)2≥4xy。因为x+y+xy=8,所以8-xy=x+y,也即(8-xy)2=(x+y)2≥4xy,(xy)2-20xy+64≥0,解得xy≤4或xy≥16。因为x>0,y>0,x+y+xy=8,所以xy≤4,当且仅当x=y=2时,等式成立。选C。

结论3如果a,b∈R,那么2(a2+b2)≥(a+b)2,当且仅当a=b时,等式成立。

证明:因为a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab,即2(a2+b2)≥(a+b)2,当且仅当a=b时,等式成立。

结论4如果ab≥0,那么a2+b2≤(a+b)2,当且仅当ab=0时,等式成立。

证明:因为2ab≥0,所以a2+b2+2ab≥a2+b2,即a2+b2≤(a+b)2,当且仅当ab=0时,等式成立。

故函数y=的最大值是2,最小值是。

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