巧用基本不等式的变形结论妙解最值题

■广东省汕头市澄海凤翔中学 徐春生

结论1如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2｜ab｜，当且仅当｜a｜＝｜b｜时，等式成立。

证明：因为a2＋b2－2｜ab｜＝｜a｜2－2｜ab｜＋｜b｜2＝（｜a｜－｜b｜）2≥0，所以a2＋b2≥2｜ab｜，当且仅当｜a｜＝｜b｜时，等式成立。

结论2如果a，b∈R，那么（a＋b）2≥4ab，当且仅当a＝b时，等式成立。

证明：因为（a＋b）2－4ab＝a2－2ab＋b2＝（a－b）2≥0，所以（a＋b）2≥4ab，当且仅当a＝b时，等式成立。

例2设a，b，c为正实数，且满足a－3b＋2c＝0，则的最小值是_____。

解析：由结论2 知，（a＋2c）2≥8ac。因为a－3b＋2c＝0，所以3b＝a＋2c，9b2＝（a＋2c）2≥8ac，即b2≥ac。

因为a，b，c为正实数，所以，当且仅当a＝2c时，等式成立。

例3已知x＞0，y＞0，若x＋y＋xy＝8，则xy的最大值为（ ）。

解析：由结论2 知，（x＋y）2≥4xy。因为x＋y＋xy＝8，所以8－xy＝x＋y，也即（8－xy）2＝（x＋y）2≥4xy，（xy）2－20xy＋64≥0，解得xy≤4或xy≥16。因为x＞0，y＞0，x＋y＋xy＝8，所以xy≤4，当且仅当x＝y＝2时，等式成立。选C。

结论3如果a，b∈R，那么2（a2＋b2）≥（a＋b）2，当且仅当a＝b时，等式成立。

证明：因为a2＋b2≥2ab，所以2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab，即2（a2＋b2）≥（a＋b）2，当且仅当a＝b时，等式成立。

结论4如果ab≥0，那么a2＋b2≤（a＋b）2，当且仅当ab＝0时，等式成立。

证明：因为2ab≥0，所以a2＋b2＋2ab≥a2＋b2，即a2＋b2≤（a＋b）2，当且仅当ab＝0时，等式成立。

故函数y＝的最大值是2，最小值是。