情感与趣味高度融合的高等代数网络课堂探索

陈 嘉，王纯杰，李纯净

（长春工业大学 数学与统计学院，长春 130012）

0 引言

自2000 年以来，互联网技术的快速发展极大地丰富了自幼小教育至高等教育各领域的资源［1-3］.就高等教育而言，互联网对其影响更大.无论是理工类抑或文史类，无论是学生抑或是教师，互联网都为其提供海量的课程相关的信息资源，而以往这些只掌握在教育者的手中.这就意味着传统的讲授式大班教学模式将面临极大的挑战，单一的灌入式教学模式越来越难吸引学生.教育工作者意识到囿于传统教学模式无法激发学生的学习愿望，满足其知识诉求，利用互联网工具的教学改革迫在眉睫.情感式课堂教学模式的改革探索是使得大学的课堂保持旺盛生命力的关键性突破.

地方院校高等代数教学经历使作者深刻体会学生们对这门课的感受.该课程具有高度抽象性：规则化的定义、逻辑严密的推导.在有限的学时内，学生对概念、定理往往无法理解，今日学明日忘，畏难情绪多.基于互联网这个强大的工具，教学模式的探索性改革才能在学时有限的情况下顺利开展［4］.

借助互联网工具对课堂教学融入情感与趣味的模式探索是较新的课题.将互联网信息及技术工具与线下的各种教学方法完美结合，使得课堂有 “情” 有 “趣” ，让学生对课程先通 “情” 而后 “达” 理.改变传统高等代数课程处处都是 “理” 的教学模式.

1 “历史再现式” 与 “趣味案例式” 教学新模式

1.1 “历史再现式” 教学模式

课堂教学探索了 “历史再现式” 和思政元素相融合的教学模式.融入历史情境、辅之问题引导，实现情境再现.

1.1.1 “历史再现式” 模式的理论基础

传统高等代数的课堂直接引入概念，为学生解读概念中的条件，再辅以例子解释定义，导致学生觉得概念的出现很突兀，不易产生学习兴趣.课堂处于高度严密的逻辑下，学生像是导航指引的汽车，按规则向左或向右，但其实并不知道自己身处哪里.我们尝试对概念追本溯源，让学生能站在概念产生的历史源头，与当年创造概念的科学家产生共情，通过 “情景再现” 及恰当的问题引导，让学生模拟数学家们当年是如何思考设计这个概念的，该概念的形式又经历了哪些演变才成为今天教科书上所展示的抽象的语言表述，让学生对概念有亲切感.当学生对概念产生了情感，抵触心理会大大降低.

1.1.2 教学设计范例

范例涉及知识内容是行列式，通常教材会从二元一次方程的解引出二阶行列式，然后通过逆序数给出n 阶行列式的抽象定义.即使教师反复对学生强调 “行列式是对数表的运算，最终得到的是数” ，但该章节结束后，学生依然困惑于行列式的本质.

新的教学模式中，教师在课前通过互联网工具（如雨课堂、腾讯课堂、钉钉等），将查阅整理的行列式产生的背景资料做成小视频（辅之文字材料）展示给学生（同时鼓励学生通过网络搜索更多信息，在平台上进行分享）.并预设如下一系列小问题：

联合国的任务讲规则、讲标准、讲计划，一般不采取突击的方式。但中国军人传统上习惯对领受的任务进行突击，抢进度，提前完成任务，导致联合国认为交给中国军人的任务过轻而增加工作量。结果，中国维和官兵始终处于高强度工作状态，不堪重负。此外，维和行动一般都是多国参与，意识形态、文化观念和风俗习惯等方面大相径庭，这些因素都会影响维和任务执行的效率和质量。

（1）代入历史数学研究者的角色，思考问题.问题：如果你是行列式最早提出者——日本数学家关孝和，面对求解大量多元（以三元、四元为例）线性方程时，会遇到什么困扰？

（2）体会科学家创新的不易，与科学家共情.问题：是否能发现方程的解与方程系数及常数项的密切关系？是哪些需求推动科学家的研究？在研究过程中，会遇到哪些困难，最终结论与科学家结论的一致与区别.

（3）体会科学研究永远处于不完美状态，是需要不断发展的，思维不要被书本所束缚，因为今天的教材内容也仅是昨天的研究成果，也是需要被发展的.问题：你认为引入行列式的符号是否解决了日本数学家关孝和当时遇到的问题？有什么益处和弊端？你是否理解了行列式的起源？关孝和所给出的行列式符号就是目前教材中广泛使用的吗？

让学生设想自己置身于行列式提出的当时情景中，以小组为单位，在课前讨论行列式的发现问题，最后以小论文形式提交对问题的认识，并于课前以电子文档形式发给教师.

如果没有借助互联网，上述情景重现与问题引导很难直接在课堂上进行，因为短暂的课堂时间，学生们不易沉下心来思考数学家关孝和所面临的困难，并找到解决的关键所在—方程解与系数的关系；而且，在课堂上，很多学生也很难与老师面对面讨论.

通过问题引导、自己独立思考以及小组讨论，让学生清晰地看到行列式的起源，从而会对行列式的作用印象深刻：行列式产生的目的是为了让方程组解的表达简洁、书写方便，是一种符号，本质代表数.值得注意的是，行列式目前采用的定义并非是日本数学家关孝和的成果，而是归功于莱布尼兹 “创设采用两个数码的系数记号” 的行列式思想.这一思想是通过他与科学家洛必达的通信以及他本人的手稿被数学界所知晓的.经过新模式的学习，学生不再觉得符号是冷冰冰的，而是熟悉的工具.同时，科学家们的钻研精神也激励学生，使学生意识到教科书上的简单抽象的概念符号并不是一蹴而就的，而是多个科学家长期的研究结果，这样学生就不会产生 “一个概念都理解不了，学不会高等代数” 的消极心理.

1.2 “趣味案例式” 教学模式

针对某些抽象概念的特点，设计简单易懂的案例［5］，并制作成微课，在课前通过互联网平台（如雨课堂、腾讯课堂、钉钉、超星等）分享给学生，让学生对概念有直观的认知，感到有趣味性，课堂学习会更轻松.

1.2.1 趣味案例设计的特点

案例简洁，一目了然，要比概念本身更直观，如果案例抽象晦涩，那么这个案例就是失败的，无法激发学生的兴趣.借助互联网工具，可以在微课视频中引入案例或启发式问题：比如辗转相除法与数的除法的比较，逆矩阵的作用与除法作用的比较，矩阵方程与一元方程之间的联系等等，微课中也可以录制一些高等代数的历史趣味故事，在激发学生兴趣的同时，引出学习的内容，如由一元三次方程求解方法归属权的卡尔达诺与塔塔利亚之争引出多项式.

1.2.2 教学设计范例

范例涉及知识内容为向量组的极大无关组.极大线性无关组的定义，包含两部分内容：（1）作为向量组的部分组，它线性无关；（2）该向量组的任意向量都可由它线性表示.定义的语言抽象，举例子通常都是具体的向量，无法带来趣味性.

设计微课时，从真实世界入手，将五彩世界的每一种颜色看成一个三维向量，那么所有的颜色就构成一个庞大的向量组，而基本色——红、绿、蓝作为该向量组的一部分，满足：（1）这三种颜色中的任何一种都无法用另外两种来调配得到；（2）世界上的每一种颜色都可以由这三个基本色调配得到.所以这就是 “颜色世界” 的一组极大无关组，该案例通过颜色将极大线性无关组的定义条件解释得很清楚.当学生感到绚丽的颜色与枯燥抽象的向量的本质是相同的，向量就变得 “亲切” 了，而基本色能产生其他颜色和学生的常识很贴合，学生理解起来就会更容易，对此概念的记忆也就更加深刻.

案例教学法与问题驱动教学法是比较好的方法［6-8］，但以往课时紧张，如果引入案例会导致教学任务在课内无法完成.基于互联网的微课视频为这两种教学手段的顺利实施提供了强有力的保证，使得教师和学生的课上成就感更高.

2 思研教融合的高等代数课程教学新模式

2.1 前沿信息选取的意义

借助互联网，不断将与课程相关的最新科研信息融入课堂教学中，作为课程内容的延伸.课程内容的与时俱进和前瞻性，可以激发了学生对当代科学家的敬佩之情，自然而然地将思政元素融入课堂.

大部分学生并不能真正理解或者研读新的方法，但由于是科研的种子已经悄悄地洒播在他们心中.通过课程知识在科学研究的前沿领域的应用与发展，既能让学生意识到课程知识的重要性，激发其学习热情，同时也能拓宽学生的知识维度，提高科研创新能力.

2.2 教学设计范例

范例涉及的教学内容为特征值与特征向量，是高等代数学习的重点内容.传统求解特征值与特征向量的基本方法是：利用特征多项式求出特征值，构造齐次线性方程组并求解得到特征向量，而代数领域前沿发展告诉我们：2019年三名物理学家研究中微子振荡时发现了 “中微子的电子、µ子、τ子三种类型相当于空间中三个向量之间的变换，而特征值和特征向量本质上也是矢量的旋转伸缩变换，那么特征向量和特征值之间的几何本质也有可能存在普遍的规律”［9］.三人猜想了特征值与特征向量的新公式，基本思路是通过原始矩阵构建子矩阵，而利用子矩阵与原始矩阵得到原始矩阵的特征向量.他们求助于数学天才陶哲轩对猜想的公式进行证明.

3 有 “人情味” 的课程复习和巩固新模式

基于互联网提供的技术手段，将复习巩固模式及考核评价方式进行多样化调整，使复习巩固方式更有趣，考核成绩更有 “人情味” .

3.1 设计趣味性、情感性的复习巩固游戏

组织一些复习游戏，增加教师与学生、学生与学生之间的课程内容互动.平时课堂上学生无论是提问还是回答问题都会很拘谨，更多时候选择沉默，但依托网络平台后，学生顾虑少，能够积极与教师配合.教学设计范例如下：

在教学中不难发现，学生经常混淆矩阵的乘法、数乘运算及行列式运算的运算规则，所以，设计群接龙游戏，即每个学生出一道涉及上述矩阵运算的题目，并计算完毕，一次只能允许一位学生发到群里.游戏开始后，会有学生第一个发出自己做的题目，此时其他同学不能再发了，只能进行抢批（抢先批改）上一道题目，批改完的同学，将批改结果发到群里，第一个将批改结果发到群里的同学，就可以将自己设计并求解的题目发到群里，如果大家发现他批注错误，学生们会对其有小惩罚.这个游戏增加了学生对矩阵运算的趣味性，提高运算速度，同时通过互相找错误，对运算规则更清晰.

3.2 多样化的高等代数习题课教学模式

传统的教学模式中，复习往往为单一的课后习题及课堂习题讲解，对于自觉性差的学生，课后习题就是走过场，即使教师批注也无法次次监督到位，课堂讲解效果也无法检验.借助互联网工具，以及慕课共享资源等，可以实现复习教学活动的多样化开展.

3.2.1 学生讲解习题视频的复习模式

学生自己录制讲解一道题目的小视频，并上传网络平台（如雨课堂、腾讯课堂、钉钉、超星等）.比如证明题，将每一步的推导利用了哪些定义、定理等都清楚地讲出来，如若讲不清楚，就说明证明过程逻辑性差，或定义定理理解不到位.学生的问题和学习情况一目了然，而且因为上传之后，所有学生都能看到，这也给上传的学生增加压力，迫使其好好准备视频讲解内容.更重要的是，如果能正确完整清晰地将做过的题目讲出来，必然是对相关知识点已经掌握，这也是强制复习的过程.

3.2.2 现有网络慕课资源的复习模式尝试

利用已有课程的慕课，结合地方院校学生特点，服务于习题课课堂，鼓励学生对网络已有的慕课进行 “挑错” ，让观看慕课的复习活动更有趣，让学生更自信，也让复习不再枯燥无情感.

网上已有的慕课是较好的课程资源［10］，比如厦门大学林亚楠教授带领的团队在网上发布了完整的高等代数课程教学视频，但是由于学校层次不同，部分内容对地方院校的学生而言，听起来会有困难，所以，我们选取一些合适的内容章节，推荐给学生作为复习资源，并留一些提示性问题，遇到慕课中的小错误，提示学生找出来，增加了观看的趣味性.这通常作为补充资源供有较高学习目标的学生复习选用.

3.3 依托网络平台，实现多样化评价方式

传统考核是单一的闭卷考试方式，会有片面性，对知识的理解程度、学生的学习状态一张试卷无法全部展示，所以评价方式也可以向多样化调整，让学生在课程学习中的表现更立体化.比如，小组提交论文、讲解题目视频、游戏参与时的反馈速度等都可作为考核评价的因素.

4 结语

以上是在互联网下对高等代数课程教学模式改革的一点探索.这种新模式以激发学生的兴趣、培养学生与课程的感情、让知识变得有温度为目标.这就要求教师自身要对课程充满喜爱，才能真正感染学生，同时教师要密切关注代数学发展，时刻保持对新研究方向的高度敏感度.该项改革要求查阅大量资料文献，备课强度大，这些对教师的职业素养和责任感都提出了更高的要求.