全称量词与存在量词问题导学

■徐彩娥

学问学问,边学边问。遇到问题,不耻下问。那么在全称量词与存在量词中,我们会遇到哪些问题呢?

问题一:什么是全称量词与存在量词

全称量词及表示:表示全体的量词在逻辑中称为全称量词。例如:“所有”“任意”“每一个”等。通常用符号“∀x”表示,读作“对任意x”。如命题:“对任意实数x,都有x2≥0”可表示为“∀x∈R,x2≥0”。

存在量词及表示:表示部分的量词在逻辑中称为存在量词。例如:“有一个”“存在一个”“有”“有些”等。通常用符号“∃x”表示,读作“存在x”。如命题:“存在有理数x,使x2-2=0”可表示为“∃x∈Q,x2-2=0”。

问题二:什么是全称量词命题与存在量词命题

全称量词命题:含有全称量词的命题称为全称量词命题,一般形式为:“∀x∈M,p(x)”。其中M为给定的集合,p(x)是关于x的命题。

存在量词命题:含有存在量词的命题称为存在量词命题,一般形式为:“∃x∈M,p(x)”。其中M为给定的集合,p(x)是关于x的命题。

问题三:如何判断全称量词命题与存在量词命题的真假

要判断一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中,找到一个元素x,使命题p(x)为真,否则命题为假。要判断一个全称量词命题为真,必须对给定的集合中的每一个元素x,命题p(x)都为真,但要判断一个全称量词命题为假,只要在给定的集合中,找到一个元素x,使命题p(x)为假即可。

例1判断下列命题的真假:(1)∃x∈R,x2>x;(2)∀x∈R,x2>x;(3)∃x∈Q,x2-8=0;(4)∀x∈R,x2+2>0。

解:(1)因为当x=2 时,x2>x成 立,所以“∃x∈R,x2>x”是真命题。

(2)因为当x=0时,x2>x不成立,所以“∀x∈R,x2>x”是假命题。

(3)因为使x2-8=0成立的数只有x=,但它们都不是有理数,所以“∃x∈Q,x2-8=0”是假命题。

(4)因为对任意实数x,都有x2+2>0成立,所以“∀x∈R,x2+2>0”是真命题。

问题四:如何书写全称量词命题与存在量词命题的否定

1.书写命题的否定时,一定要抓住决定命题性质的量词,从对量词的否定入手,书写命题的否定。

例2判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并写出它们的否定。(1)p:对任意的x∈R,x2+x+1=0 都成立。(2)q:∃x∈R,x2+2x+5>0。

解:(1)是全称量词命题。由于“任意的”否定为“存在一个”,因此,﹁p:∃x∈R,使x2+x+1≠0成立。

(2)是存在量词命题。由于“存在一个”的否定为“任意一个”,因此,﹁q:∀x∈R,x2+2x+5≤0。

2.书写命题的否定时,一定要注重理解数学符号的意义。有些数学符号,表面上看比较熟悉,如x∈R,很多同学会认为其否定是x∉R。其实,x∈R 表示x是任意实数,其否定应是x不是任意实数。

例3由命题“存在x0∈R,使+2x0+m≤0”是假命题,求得m的取值范围是(a,+∞),则实数a的值是_____。

解:由命题“存在x0∈R,使+2x0+m≤0”是假命题,可知命题“∀x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,故Δ=22-4m<0,即m>1,可知a=1。