链接史实故事 凸显数学学科育人功能

王莹莹 （安徽亳州利辛高级中学）

高中数学传统的教学策略是练习、复习、归纳和总结，训练了学生的数学思维和逻辑思维。应在习题练习过程中，链接史实故事，帮助学生从人文观角度认识数学，理解某些数学知识产生的历史原因和背景，体验数学文化，培养学生高尚的数学情操，提升数学技能，当遇到数学难题时，会结合故事背景进行思维转换，最终的目的是培养学生的自主探究能力，在美学中提升审美能力，结合现代数学发展批判思维。

一、追溯概念发展，引导自主探究

高中数学是一门逻辑性很强的学科，也是一门概念性很强的学科，掌握概念才能理解数学原理，追溯概念的发展历程，才能引导学生对相关文化产生兴趣，愿意探究历史并自主探究，在历史的品鉴学习中，既掌握了数学知识又学到了前人探索的经验，凸显了数学的育人功能。

16 世纪，意大利数学家卡尔达诺首先在《大术》中最虚数进行记号，但仅仅是个形式表示。17 世纪法国数学家、哲学家笛卡尔正式提出“虚数”概念，并指出与“实数”相对应，最初认为是真实不存在的数字。直到19 世纪初，高斯系统地使用了i，并主张用a+bi 表示，虚数才开始进入数学历史。欧拉在很多地方都用了虚数，但又认为是虚幻的数字，挪威测量学家维塞尔提出平面表示复数，高斯提出了复平面的概念，复数才开始在数学、水利、地图乃至航空中得到应用。所以，虚数的发展经历了朝代更替，幸好数学家们没有放弃相应的研究，后人在前人研究的基础上进行了探究，最终促进了现代社会的发展。请学生课后查阅资料，指出虚数在水利、地图中的具体应用，并发挥想象，指出现在科技中还存在的问题，评估可能的发展方向。

通过历史追溯数学概念的发展历程，让学生意识到数学也是一项“科研项目”，是经过了几个世纪才有的比较系统化的知识。学生在自主探究过程中，可以领略前人追求真理的风采，培养了独立好学的精神。

二、理解数形结合，渗透融合思想

数形结合是数学中常用的思想之一，不管是数学计算思维培养还是逻辑思维验证，都起到了至关重要的作用，特别是函数解题和图形标识。没有形，数学没有直观概念，没有数，形没有存在的意义和价值，那么，数形结合思想是如何传承的，二者又是如何相互渗透的？

学习球体积的计算公式，中外很多人进行了研究，南北朝时期，祖冲之父子独立研究出了“祖暅原理”，祖暅在求球体积时，使用一个原理:“幂势既同，则积不容异”。“幂”是截面积，“势”是立体的高。意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等。更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等。

刘徽为《九章算术》作注时指出，原书的说法有些是不正确的，只有“牟合方盖”（垂直相交的两个圆柱体的共同部分的体积）与球体积之比，才正好等于正方形与其内切圆的面积之比。但刘徽没有求出两圆柱体垂直相交部分的体积公式，所以也就得不出球体积公式。祖冲之父子应用“等高处横截面积常相等的两个立体，其体积也必然相等”这一原理，求出了“牟合方盖”的体积。而球体体积等于π／4 乘以“牟合方盖”体积，从而最终算出球体积。

所以，通过数形结合的方式，将形象的数学语言与直观的图形有机地结合起来。使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，实现抽象概念与具体抽象、表象的联系与转化，化难为易、化抽象为直观。学生通过对数形结合历史的认知，理解古人的智慧，并产生强烈的民族自豪感。

三、挖掘美学内涵，提升审美能力

高中数学不仅是一项逻辑思维课程，更是一项美学课程，让学生在学习过程中感受思维美和逻辑美，可以引发学生对数学的兴趣，突破学生的思维枷锁，让学生跳离烦琐的公式计算和空间立体推理，在历史故事的长河中，看到数学家为了追求简洁美、对称美、奇异突变美所做的努力，帮助学生发现数学的形态美和思维严谨美，提升学生的逻辑审美能力。

学习等比数列时，教师引入黄金分割数列。该分割比例起源于毕达哥拉斯，据说在古希腊，有一天，毕达哥拉斯经过铁匠铺，突然发现铁匠打铁的声音非常悦耳，在驻足倾听后，他把这个规律用数理的方式表达出来。其学派研究的正五边形和正十边形作图被定义为初始黄金分割。学生都知道黄金分割比值约为1:0.618，这个数字在自然界和人们的生活中比较常见。人的肚脐是身高的黄金分割点，膝盖又是肚脐到脚跟的黄金分割点。当一个人的身材比例接近于黄金分割点时，会显得整个人匀称、美丽和大方。对于黄金分割数列，其数学表达形式为：0，1，1，2，3，5，8，13，21……需要特别指出的是，该数列有第0 项，为0，第1 项是1，要求学生观察数列并回答两个问题，数列中具体数字之间有什么联系？为什么将其称为黄金分割数列。学生进行演算发现，从第二项开始，都是前两项的和，而前一项和后一项的比值逐渐接近于黄金分割比值，被称为最具美感的数列。

在数学教学中加入美学内容，拓展了严谨的逻辑计算，开阔了学生的视野，帮助学生品位数学的美，同时加深学生对知识的理解，提升了审美能力。

四、转化经典题目，激发创新意识

数学题目万变不离其宗，通过转化经典的数学古题，向学生阐述古人的智慧，激发求知欲，将古题灵活用于现代式教学，挖掘思想精华，用于新题的思考，激活学生的创新意识。

杨辉三角，又被称为贾宪三角或帕斯卡三角，用于解释二项和的乘方规律。与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。请学生根据杨辉三角图示进行公式推导，提示，第三行中，三个数恰好对应两数的和的平方的展开式中每一项的系数，即(a+b)2=a2+2ab+b2，第四行中，每一个数有对应的是两个数和的立方展开式的系数，以此类推，向后的每一行都对应了两个数和的（n-1）次方展开式系数，学生很容易计算出第（n+1）行的计算公式。那么，三个数字的和是否有相似的规律？四个数字呢……

学生在一定思维的基础上，结合数学经验，对后续题目进行总结计算，从而开发学生的数学思维，进行数学命题的大胆猜测和验证，引导了学生正确的思维方向，学生在观察过程中，阐述了自己的逻辑思维，丰富了想象，创新了数学计算方法，最终实现数学综合能力的提高。

五、品鉴经典悖论，发展批判思维

高中数学课标要求学生在数学学习过程中，逐步认识数学的人文价值和科学价值，理解应用价值和文化价值，从数学历史中获得真知，在数学实践中品鉴经典，培养并发展学生的批判意识和批判思维，体会数学的美学意义，树立学生的辩证唯物主义观。

极限函数有一个很经典的问题，芝诺提出的“追龟说”。这个故事讲的是阿喀琉斯追乌龟的故事。阿喀琉斯是古希腊神话中有名的勇士，擅长跑步和打仗，公元前5 世纪，芝诺提出让乌龟先位于阿喀琉斯前面的1 千米处，二者赛跑，并假定阿喀琉斯的跑速是乌龟的十倍。比赛开始，假设阿基里斯跑了1 千米，耗时t，此时乌龟领先100 米，当阿喀琉斯跑完100 米，耗时t/10，乌龟在他前面10 米，继续跑10 米，乌龟依然继续领先，所以，无论该勇士如何跑，乌龟都在他前面，他只能无限接近乌龟，但永远追不上。这个结论正确么？学生指出存在的问题，因为大家都知道现实中有一种问题叫追击问题，当前者速度慢而后者速度快时，二者经过一定的时间间隔后总会相遇。请学生思考，这两个理论都是追击问题，阿喀琉斯的问题出现在什么地方？如何反驳这个理论。学生发现追击问题其实也是时间问题，在芝诺的追击问题中，将一个固定的时间长度进行了无穷项的划分，是数列{1000，100，10，1，0.1，···}的极限问题，引入极限的算法。那么跳出固定的时间长度，即当时间超过t 的间隔时，芝诺论还存在么？

通过引入经典故事，激发学生的认知冲突，通过引用经典入数学课程，通过批判经典，发展学生的批判思维，向学生展示不同的数学理论，指明相对和绝对区别，让学生学会辩证地看待问题，思考问题。

综上所述，在高中数学课程中链接历史故事，有助于活跃课堂氛围，为学生学习数学注入新的灵感，开动思维。让学生看到了数学的实用性和价值，不再单纯着眼于数学使用的思维方式，而是站在艺术和教育的层面上看数学对于人类社会的意义，从而愿意学习数学并应用数学。