高中数学建模的教学探究——以概率与统计教学内容为例

陈龙珠

（尤溪第一中学，福建 尤溪 365100）

数学建模是高中数学学科核心素养之一，然而，当前许多所谓的数学建模教学其本质却只是套模和解模，缺乏真正的模型构建的过程。［1］因此，教师应提高培养学生数学建模素养重要性的认识，要多让学生在课堂中通过自主探索与应用来提升建模的素养，而缺乏数学建模素养意识是很多高中数学教师迫切需要解决的问题。

数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力和数学应用的重要形式［2］。近年来的高考试题中，特别是先行试行新高考省份的高考数学试题，越来越注重从实际问题抽离背景，通过建立数学模型进行求解。鉴于高考命题对高中数学教学的导向作用，提高数学教师在课堂教学中建模意识、建模能力培养的重要性认识尤为必要。而高中数学中的概率与统计是天然的数学建模的知识载体，笔者就以“概率与统计”为例阐述培养学生数学建模素养的教学探究。

数学建模是建立数学模型、解决数学问题的一种方法，即对现实世界中某一特定对象，为了某个特定目的，做出一些必要的简化和假设，并运用适当的数学工具得到一个数学框架或结构。这个数学框架或结构就是数学模型，比如，函数、方程、规律，或者是一段符合数学框架或结构话语。从这一意义上讲，构建数学建模的教学课堂就有了丰富的耕作土壤，而不再是简单的套模和解模。我们不仅可以从学习循序渐进的规律出发，从了解建模、体验成模、拓展成模、模型选择、实践建模五个不同的层面来提升学生的数学建模素养，还可以将建模意识贯穿于数学教学全过程。

一、了解成模，对应问题

数学课本中有很多数学模型，如衡量一组数据集中趋势既可以用平均数、中位数和众数等数学模型，还可以根据茎叶图观察叶的分布状态并进行直观判断。教学中若有牢固的建模意识，必然要求教师将衡量数据集中趋势的各种模型梳理清楚，让学生明确这些模型的功能和应用要点，使学生达到灵活应用的层级要求。

在一次教学中，笔者给出下面例1，要求学生思考后回答问题。

例1.某学校记忆兴趣小组为验证两种方式记忆效率，开展了实验研究。他们随机选取40 名同年级同学，把他们随机地分成两组，每组20 人，第一组同学用第一种记忆方式，第二组同学用第二种记忆方式，对一组记忆材料进行记忆测试。根据各自得分情况制作了如下茎叶图（图1）：

图1

根据茎叶图判断哪种记忆方式的效率更高？并说明为什么？

结果全班同学都给出了第一种方式效率更高的“正确答案”，但问及这道题求解方法和过程时却出乎笔者的意料，绝大多数同学是用求平均数这一“最简单”的方法，却没有一个学生是从茎叶图叶的分布观察而得出结论。

本题以“记忆效率高低的研究”这个实际应用问题为切入口，既考查了茎叶图、总体、平均数、中位数等概念，也检验学生发现问题并转化、建立数学模型直至解决问题的思维能力。试验的结果表明，课堂教学没有达到预期的教学效果。

课后反思没有达到预期教学效果的原因，关键在于平时教学中没有对围绕衡量一组数据集中状态的问题建立各种数学模型，致使学生不能很好地理解、归纳和灵活选择应用。而其本质是对数学建模素养提升重视不够，流于形式，以至于学生对很多学习过的模型印象不深，无法从记忆中提取并用于解决问题。因此只有让学生充分了解现有的数学模型以及它所能解决的数学问题类型，才能为数学建模素养的培育打下较为坚实的基础。

二、体验成模，掌握应用

教材中有很多现成的数学模型，如离散型随机变量中的超几何分布，独立重复试验中的二项分布中的概率求解等。对于教材中现成的数学模型，教学中要让学生了解这个模型的建立过程，弄清这是为解决什么问题建立的模型，模型中的变量需满足什么条件，模型求解过程需要用到哪些数学知识、用到什么样的数学思想方法，以及在应用模型求解过程需要注意哪些问题。只有这样才能充分挖掘现成数学模型的教育功能，培养学生的数学建模素养。

以超几何分布为例，它是由有限个物件中抽出n个物件，成功抽出指定种类的物件的次数（不归还），在这个问题解决的过程中，经过抽象、归纳而建立起数学模型：在大小材质相同的N个彩色球中，有M个白色球（M≤N），现从中不放回抽取n（n≤N）次球，则抽到k，（k≤min(M,n)）次白球的概率为：P(X=k)=。

在解读这个数学模型的建立过程时，让学生说出超几何分布为解决哪类问题而提出？这个模型涉及的量有哪些？有什么特殊限制？在模型求解过程中用到哪些知识，应注意点是什么？试举例说明该模型可以解决的实际问题，然后再通过分析比较下面例题巩固模型应用。

例2.某大学生志愿者协会有6 名男同学，4 名女同学，在这10 名同学中随机抽取5 名同学到希望小学参加支教活动，求抽到的同学中恰有3 名女同学的概率。

例题分析过程的重点是引导学生如何将实际问题纳入抽象的数学模型。本例的10 名同学视为10个彩色球，其中4 名女同学视为模型中的4 个白色球，那么我们的问题变成：在这10 个球中随机不放回地抽取5 个球，求抽到3 个白球的概率，根据模型得出所求的结论为P(X=3)=。

三、拓展成模，建立新模

数学教学本质是数学思维活动的教学，数学思维活动的教学可以延伸为从一个数学模型到另一个数学模型的思维教学。一个数学模型的扩展可视为新建了一个数学模型，它同样具备数学建模过程的要素，因此它必然成为数学建模教学的一个途径。拓展成模的建模方式，最大的优点是在掌握现成模型的基础上，用类似或类比的方法来建立既容易掌握，又能训练思维的建模方式；同时，它是一种比较受教师和学生欢迎的建模方式，只要教师预设，学生就容易生成，适合于高效课堂的创建。例如生活中常见的问题：一批产品中有20 件一等品，15 件二等品和5 件三等品，现从中随机抽取8 件产品，求抽到产品中有2 件二等品和1 件三等品的概率。

这个问题貌似超几何分布，但实际上并不完全相同。我们可以在超几何分布模型的基础上进行扩展，让学生自行建立相应的数学模型：在大小材质相同的N 个彩色球中，有M个白色球，R个红色球，（M+R≤N），现从中不放回抽取n（n≤N）次球，则抽到i次白球和j次红球（i≤M,j≤R,i+j≤min(M+R,n)）的概率为：P(X=i,Y=j)=。

有经验的教师在教学中很注意引导学生掌握二级结论，其实二级结论本身就可以视为一个数学模型的扩展模型，把建模的思想渗透其中，可收事半功倍之效。

四、选择模型，服务决策

从数学建模的过程可以看出，解决一个问题往往可能从不同的角度建立不同的数学模型。不同的模型对解决同一个数学问题在精确性、操作性等层面会存在一定的差别。特别是在解决一些预测性的问题上，数学模型的选择有极高的应用价值。一个数学模型建立后可以做统计推断，不同的模型推断的结果一般并不相同，因此通过比较推断结果的优劣将成为决策的重要依据。选择合理模型是数学建模的内在要求，我们务必在教学中给予足够的重视。

例3.甲、乙两家玩具厂扩大生产一种新玩具，需要招聘熟练工人。甲厂招工广告中薪资方案如下：每月底薪2400 元，其他按月生产玩具数量每件产品提成1 元；乙厂招工广告中规定薪资方案为：每月底薪3600 元，月生产玩具数量不超过1200 件只领底薪，若超过1200 件，则超过的部分每件按8 元提成。

（1）将这两家工厂招聘工人的月薪的y（单位：元）分别表示为月生产件数n 的函数关系式，建立了两个数学模型。

（2）现从两家工厂中各随机选取1 名熟练工人，收集他们之前12 个月的月生产玩具件数并进行统计。若记甲厂工人的月薪为X，乙厂工人的月薪为Y，张三是一名行业熟练工人，想应聘这份工作，但很难决定应聘哪一家工厂。请你根据前面收集的数据，利用你所学的概率统计学知识，从月薪角度考虑，帮助张三做出选择，并说明理由。

在这一问题的解决过程中，首先要求学生对两家工厂的月薪方案建立两个函数模型，然后应用统计抽样方法得出两家工厂对一个熟练工人生产产品件数的数学期望，进而得到他应聘两家工厂薪资的数学期望值，比较大小即可进行合理决策。

五、实践建模，融入场景

以现实生活为背景，以问题解决为导向，让学生亲身实践数学建模，是培养建模能力的重要途径。通过设计生动有趣的问题，引导学生学习数学建模，从根本上改变我们的教学，让学生感兴趣，体会学习数学的意义和乐趣。

例如，“三个臭皮匠顶个诸葛亮”是对人多办法多、人多智慧高的一种赞誉，其实这个问题完全可以通过概率的计算加以证实［3］。首先要建立数学模型，看三个臭皮匠能否合成一个诸葛亮，要看他们解决问题的能力是否相当，因此假定诸葛亮成功解决一个问题的概率为0.90，三个臭皮匠独自成功解决问题的概率分别为0.45，0.55，0.60。让学生根据所学的概率知识去论证。

概率统计知识在日常生活中使用较为频繁，因此课外实践的设计最好能具体地解决部分学生日常生活中常见的问题，并让学生更快地融入场景。教师在寻找实践素材的时候，可以让学生以组为单位去采集数据，再根据不同的情况来分析采集的数据，并建立数学模型。例如，学校期末要对全体学生期末成绩进行总体评价，但每次总会出现个别学生期考某些科目因事或因病缺考，那么缺考的学科成绩如何客观评价？是否可以利用所学随机变量的相关关系而采用建模的方法来解决此类的问题？我们可以让学生充分讨论后，自行收集、整理数据，然后建模解决，教师适时加以指导，并对学生实践活动过程进行评价。

渗透数学建模思想的课堂教学，是培养数学建模基本素养的主渠道，而发掘和利用教材中建模素材是培养数学建模素养主要方法。数学建模的教学方式能很好地构建知识与应用之间的联系，使得所学知识得以强化、应用能力得以提升，在培养创新能力和推进素质教育上将会发挥重要的作用。教学过程中还要注意与课外动手实践相结合，让学生学会如何收集数据、分析数据、尝试建立模型解决实际问题，体会成功的乐趣，增加学生学习概率与统计知识的积极性和主动性，也提高学生应用数学的能力。