具有弱迷向S 曲率的卷积芬斯勒度量∗

徐晓慧，张晓玲

(新疆大学 数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 830046)

0 引言

卷积度量是乘积度量的推广.Bishop 和O’Neil[1]为了研究具有负曲率的黎曼流形而引入了卷积度量.这种度量主要用于构造具有某些曲率条件的黎曼流形的新例子.后来有学者将卷积度量扩展到芬斯勒流形的情况[2−3]，这些度量被称为卷积芬斯勒度量.最近，卷积芬斯勒度量的研究取得重大进展[2−7].Liu和Mo刻画了具有消失的Douglas 曲率的卷积芬斯勒度量[6].Liu等研究了具有特殊黎曼性质的卷积芬斯勒度量[7].

在芬斯勒几何中，S 曲率是一类非常重要的非黎曼几何量.其最早是Shen 在研究体积比较定理时引入的[8].最近，学者们证明了S 曲率在芬斯勒几何中扮演着一个非常重要的角色[9−11].众所周知，若芬斯勒度量F 具有迷向S 曲率，即对于流形M 上的数量函数c(x)有S=(n+1)c(x)F，且F 具有数量曲率K=K(x,y)，则有+τ(x)，其中τ(x)是流形M 上的数量函数[12].

在本文中，我们研究了卷积芬斯勒流形.考虑n 维卷积流形M:=I×其中I 是R 上的一个区间，是一个具有黎曼度量的(n−1) 维流形.TM=∪u∈MTuM 是M 上的切丛，其中TuM 是u ∈M 的切空间，v 是TuM 上的非零切向量，上的非零切向量.在TM 上定义如下非负函数：

定理1n(≥3)维流形上的卷积芬斯勒度量F=φ(r,s),r=u1,s=具有弱迷向S 曲率当且仅当下式成立

应用此定理，我们构造很多具有消失S 曲率的Douglas 型卷积芬斯勒度量的例子.

1 预备知识

设M 是一个流形，TM=∪x∈MTxM 是M 上的切丛，其中TxM 是点x ∈M 的切空间，TM0=TM{0}为M 上带孔切丛.一个芬斯勒度量就是没有二次型限制的黎曼度量.

定义1设M 是一个n 维光滑流形.F :TM →[0,∞)是其切丛TM 上的非负函数.如果F 满足如下条件：

(1)F 在带孔切丛TM0上是C∞函数；

(2)F 关于向量y 正1 次齐次，即F(x,λy)=λF(x,y),∀λ>0,(x,y)∈TM；

(3)对于任意(x,y)∈TM，TM 上的对称双线性形式gy是正定的，其中

则称F 是流形M 上的芬斯勒结构或芬斯勒度量.具备芬斯勒度量的微分流形M 被称为芬斯勒流形或芬斯勒空间，记作(M,F).

流形M 上的一个喷射G 是带孔切丛TM0上的一个特殊向量场，它满足：

(i)在局部坐标系(xi,yi)下，

其中:Gi(x,λy)=λ2Gi(x,y)(∀λ>0)被称为喷射系数(或测地系数)；

(ii)Gi在非零点(x,y)是C∞的.特别地，芬斯勒度量F 在TM0上诱导一个特殊的喷射G，其测地系数为

下文涉及的测地系数Gi均指这种特殊喷射的测地系数.

在黎曼几何中，黎曼度量g=gij(x)dxi⊗dxj确定了唯一的黎曼体积元dVg=...∧dxn.但在芬斯勒几何中，可以有各种体积元.令dV=σ(x)dx1∧···∧dxn为流形M 的体积形式，其中σ=σ(x)是流形M上的数量函数.比较常用的体积元有两种：Busemann-Hausdorff体积元和Holmes-Thompson 体积元.当芬斯勒度量为黎曼度量时，这两种体积元都化成黎曼体积元.

引理1对于任一点x ∈M 和任一非零向量y ∈TxM，设γ=γ(t)是以γ(0)=x 为起点，γ′(0)=y 为初始向量的测地线.令

则S=S(x,y)称为芬斯勒流形的S 曲率.

设(x,y)是TM 的局部坐标，Gi(x,y)是喷射系数.在体积形式dV=σ(x)dx1∧···∧dxn下，S 曲率的表达式为

定义2设(M,F)是n 维芬斯勒流形，S(x,y)是它的S 曲率.设c=c(x)是M 上的一个数量函数，η=ηi(x)yi是M 上的1 形式.

(i)若

则称F 具有弱迷向S 曲率；

(ii)若(2)中1 形式η 是闭的，即dη=0,则称F 具有殆迷向S 曲率；

(iii)若(2)中η=0，则称F 具有迷向S 曲率；

(iv)若(2)中η=0，并且c 为常数，则称F 具有常数S 曲率.

2 具有弱迷向S 曲率的卷积芬斯勒度量

卷积芬斯勒度量的测地系数如下:

经直接计算，可得

由式(3)，通过直接计算可得

反之，显然成立.

注记：由定理1可知S 曲率不仅与体积元σ(u)相关，还与黎曼度量和函数φ 相关.

3 具有迷向S 曲率的卷积芬斯勒度量

由定理1可得如下定理.

定理2若卷积芬斯勒度量F=r=u1,s=具有消失的S 曲率当且仅当

注记:由定理2可知，具有消失的S 曲率的卷积芬斯勒度量不仅与黎曼度量和函数φ 相关，还依赖于流形的体积元σ(u).

性质1若卷积芬斯勒度量F=r=u1,s=具有消失的S 曲率，则(lnσ)r只是r 的函数，与无关.

证明因为卷积芬斯勒度量具有消失的S 曲率，令(8)式中(Φ−sΨ)s+(n+1)Ψ=t.则(8)式改写为

此式两边关于s 求偏导，得ts=(lnσ)r.

将此式代回(9)式，得t=sts.解之，存在函数q=q(r)使得t=sq(r)=s(lnσ)r.因此q(r)=(lnσ)r.故(lnσ)r只是r 的函数，与无关.

对Douglas 型卷积芬斯勒度量有如下定理.