运用数学思维解决影视作品中的数学问题——以运用递推数列研究《轮到你了》中的概率问题为例

黄煜可 闵祥伟 胡细宝 李晓花

（北京邮电大学理学院 北京 100876）

1 求解数学问题的四个步骤

如何使用数学思维解决生活中的问题呢？G.波利亚[1]给出了求解数学问题的四个步骤：理解题目、拟订方案、执行方案、回顾。这与数学建模思想基本一致（图1）。

图1：数学建模的全过程

其中：（1）表述是将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳法。（2）数学模型的求解则属于演绎法。（3）解释是把数学模型的解答“翻译”回到现实对象，给出分析、预报、决策或者控制的结果。（4）最后，这些结果需要用实际的信息加以验证[2]。

下面我们利用这个过程求解影视作品《轮到你了》中的一个数学问题。

2 交换杀人事件与装错信封问题

《轮到你了》是日本电视台2019年播出的高收视率悬疑推理剧。讲述了东京某座公寓中发生的“交换杀人事件”。故事的开端，13名公寓住户抱着有趣的心态玩了一个桌面游戏。每个人都在纸条上写下自己最希望杀死的人，之后进行抽签。如果某位住户写下的人被害，他就必须杀死自己抽到的人。没想到纸条上的人真的一个接一个地死去。

这里有一个数学问题：13个住户全都被卷入这场“交换杀人事件”的概率是多少呢？剧中数学专业学生黑岛沙和对这个问题进行分析（图2）。

图2：黑岛沙和及她给出的计算过程和结果

她认为“顺利实现交换”的概率等于“每个人都没有抽到自己写的纸条”的概率。从这个角度出发，我们尝试按照数学建模的四个步骤还原黑岛的分析。

第2步：数学模型求解。常见解法有：容斥原理法[3]、递推数列法[4]和概率公式法。

第4步：用实际信息加以验证。如上，我们还原了黑岛的分析。那么她的分析真的正确吗？看一个反例：第1、2号住户抽中了对方的纸条；第i号住户抽中了第号住户的纸条，；第号住户抽中了第3号住户的纸条。这样的抽签方式符合黑岛提出的“每个人都没有抽到自己写的纸条”的要求，但并不能从“一个人死亡”开始将全部个住户都卷入。可见，黑岛的分析是错误的。

取13的概率约为7.69%。它远小于黑岛给出的结论36.7%。

小结：这个例子很好地展示了运用数学思维解决问题时，不断修正优化的理念。在用数学语言表示现实对象的过程中，如果出现偏差，即使在后续分析中使用了十分精彩、高级的数学工具，也会造成严重的错误。只有经受住现实检验的结果才是好结果。另一方面，上面的概率问题随着《轮到你了》的热播，产生了很高的讨论度。不少网友运用数学思维进行了分析，但都没有指出黑岛分析中的错误。可见，众口铄金并不一定是真相，要敢于质疑“权威”，才能够拨开迷雾。

3 影视作品中的数学问题及其在教学中的应用

本文中我们以日剧《轮到你了》为例，展示了如何运用数学思想解决影视作品中的数学问题。将影视作品应用于数学教学，是一个非常值得研究的课题[5,6]。经过影视作品包装后的数学元素散发出诱人的魅力，有助于培养学生对数学的兴趣。王庚[5]将数学影视作品分为三大类：（1）数学观念篇：演绎数学观念、普及数学知识的影片，如电影《蝴蝶效应》等；（2）数学应用篇：反映数学应用的影片，如连续剧《数字追凶》等；（3）数学人文篇：反映数学文化的影片，如电影《美丽心灵》等。在课堂教学中，影视作品是为教学目标服务的，需要控制时长。因此我们认为：如本文中展示的这类涉及数学应用的影视片段更加适合在课堂教学中使用；其他类型的数学影视作品，则更适用于学生课后观看。

4 总结

本文以日剧《轮到你了》中的一个片段为例，展示了运用数学思维解决数学问题的一般方法。良好的数学思维习惯让我们一生受益。